1、1.2 排列与组合排列与组合 1.2.1 排排 列列 考考 纲纲 定定 位位 重重 难难 突突 破破 1.理解排列的概念理解排列的概念 2.了解排列数的概念了解排列数的概念 3.掌握排列数公式的推导方法掌握排列数公式的推导方法 4.能用排列知识解决简单的实际问题能用排列知识解决简单的实际问题. 重点：重点：排列的概念；排列数公排列的概念；排列数公 式；用排列知识解决简单的实式；用排列知识解决简单的实 际问题际问题 难点：难点： 排列数公式的推导方法排列数公式的推导方法. 01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业 自主梳理自主梳理 1排列的有关概念排列的有关概念
2、 (1)定义：一般地，从定义：一般地，从 n 个个 元素中取出元素中取出 m(mn)个元素，按照个元素，按照 排成一列，叫作从排成一列，叫作从 n 个个 元素中取出元素中取出 m 个元素的一个排列个元素的一个排列 (2)相同排列：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素相同排列：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 ，且元素的，且元素的 也相同也相同 排列顺序排列顺序 不同不同 一定的顺序一定的顺序 不同不同 完全相同完全相同 2排列数与排列数公式排列数与排列数公式 (1)排列数： 从排列数： 从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m(mn)个元素的个元素的 叫叫 作从作从 n 个不同元素中取
3、出个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号个元素的排列数，用符号 表示表示 (2)排列数公式：排列数公式：Am n ；特别地，；特别地，An n (m，nN*且且 mn)，规定：，规定：0！ . 所有不同排列的个数所有不同排列的个数 Am n n(n1)(n2)(nm1) n！ nm ！ n(n1)(n2)21 n！ 1 双基自测双基自测 1下列问题属于排列问题的是下列问题属于排列问题的是( ) 从从 10 个人中选个人中选 2 人分别去种树和扫地；人分别去种树和扫地； 从从 10 个人中选个人中选 2 人去扫地；人去扫地； 从班上从班上 30 名男生中选出名男生中选出 5 人组成一个篮球
4、队；人组成一个篮球队； 从数字从数字 5,6,7,8 中任取两个不同的数作幂运算中任取两个不同的数作幂运算 A B C D 解析：解析：由排列的定义可知，由排列的定义可知，为排列问题为排列问题 答案：答案：A 2456(n1)n 等于等于( ) AA4 n BAn 4 n C(n4)! DAn 3 n 解析：解析： 从从 4,5到到 n 共共 n41n3 个数， 所以根据排列数公式知个数， 所以根据排列数公式知 456(n 1)nAn 3 n . 答案：答案：D 3从从 5 本不同的书中选两本给本不同的书中选两本给 2 名同学，每人名同学，每人 1 本，共有给法的种数为本，共有给法的种数为(
5、) A5 B10 C20 D60 解析：解析：共有共有 A2 5 5420 种给法种给法 答案：答案：C 探究一探究一 排列数公式的应用排列数公式的应用 典例典例 1 (1)计算计算 2A3 4 A4 4； ； (2)计算计算4A 4 8 2A5 8 A8 8 A5 9 ； (3)求求 3Ax 8 4Ax 1 9 中的中的 x. 解析解析 (1)2A3 4 A4 4 2432432172. (2)4A 4 8 2A5 8 A8 8 A5 9 4A4 8 24A4 8 432A4 8 9A4 8 48 249 4 5. (3)原方程原方程 3Ax 8 4Ax 1 9 可化为可化为 38！ 8x
6、！ 49！ 10x ！， ， 即即 38！ 8x ！ 498！ 10x 9x 8x ！. 化简化简，得得 x219x780，解得解得 x16，x213. 由题意知由题意知 x8， x19， 解得解得 x8. 所以原方程的解为所以原方程的解为 x6. 应用排列数公式时的注意事项：应用排列数公式时的注意事项： (1)准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确 (2)合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算 (3)合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组
7、合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组 合，可以提高运算的速度和准确性合，可以提高运算的速度和准确性 1设设 mN*，且，且 m15，则，则(15m) (16m) (20m)等于等于( ) AA6 15 m BA15 m 20 m CA6 20 m DA5 20 m 解析：解析：这是一个连乘积的形式，最大数为这是一个连乘积的形式，最大数为 20m，最小数为，最小数为 15m，故共有，故共有(20m) (15m)1 个数相乘， 因此若用一个排列数来表示， 则其下标是个数相乘， 因此若用一个排列数来表示， 则其下标是 20m， 上标为， 上标为 6， 即原式应为即原
8、式应为 A6 20 m. 答案：答案：C 探究二探究二 无限制条件的排列问题无限制条件的排列问题 典例典例 2 沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路 部门应为沪宁线上的这六个大站准备部门应为沪宁线上的这六个大站准备(这六个大站间这六个大站间)_种不同的火车票？种不同的火车票？ 解析解析 对于两个大站对于两个大站 A 和和 B，从，从 A 到到 B 的火车票与从的火车票与从 B 到到 A 的火车票不同，因为的火车票不同，因为 每张车票对应于一个起点站和一个终点站每张车票对应于一个起点站和一个终点站 因此，
9、每张火车票对应于从因此，每张火车票对应于从 6 个不同元素个不同元素(大站大站)中取出中取出 2 个元素个元素(起点站和终点站起点站和终点站)的的 一种排列一种排列 所以问题归结为求从所以问题归结为求从 6 个不同元素中每次取出个不同元素中每次取出 2 个不同元素的排列数个不同元素的排列数 A2 6 65 30(种种) 答案答案 30 求解无限制条件的排列问题的方法：求解无限制条件的排列问题的方法： 无限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问无限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问 题相对简单，分清元素和位置、准确利用排列数公式求解
10、即可题相对简单，分清元素和位置、准确利用排列数公式求解即可 2小明申请了一个电子邮箱，他打算设计密码，准备用三个数字和三个字母组成密小明申请了一个电子邮箱，他打算设计密码，准备用三个数字和三个字母组成密 码数字是从码数字是从 1,2,3,4,5 中选三个，字母是用中选三个，字母是用 x，y，z，而且字母排在前面，数字放在，而且字母排在前面，数字放在 后面，则他可选的密码个数共有后面，则他可选的密码个数共有( ) AA6 6 BA6 8 CA3 5 A3 3 DA3 5 A 3 3 解析：解析：分两步第一步选分两步第一步选 3 个数字安排在后三位，有个数字安排在后三位，有 A3 5种方法，第二步
11、把 种方法，第二步把 3 个字母个字母 安排在前三位，有安排在前三位，有 A3 3种方法，故共有 种方法，故共有 A3 5 A 3 3个密码 个密码 答案：答案：D 探究三探究三 “在在”与与“不在不在”的问题的问题 典例典例 3 7 位同学站成一排位同学站成一排 (1)若甲站在中间的位置，则共有多少种不同的排法？若甲站在中间的位置，则共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (3)甲、乙不能站在排头和排尾的排甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？法共有多少种？ (4)甲不能站排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？甲不能站排头、乙
12、不能站排尾的排法共有多少种？ 解析解析 (1)先考虑甲站在中间，有先考虑甲站在中间，有 1 种排法，再在余下的种排法，再在余下的 6 个位置排另外个位置排另外 6 位同学，位同学， 共共 A6 6 720 种排法种排法 (2)先考虑甲、乙站在两端，有先考虑甲、乙站在两端，有 A2 2种排法，再在余下的 种排法，再在余下的 5 个位置排另外个位置排另外 5 位同学，有位同学，有 A5 5种排法，共 种排法，共 A2 2A 5 5 240 种排法种排法 (3)解法一解法一 先考虑在除两端外的先考虑在除两端外的 5 个位置中选个位置中选 2 个安排甲、乙，有个安排甲、乙，有 A2 5种排法，再在 种
13、排法，再在 余下的余下的 5 个位置排另外个位置排另外 5 位同学，有位同学，有 A5 5种排法，共 种排法，共 A2 5A 5 5 2 400 种排法种排法 解法二解法二 考虑特殊位置优先法，即两端位置的排法有考虑特殊位置优先法，即两端位置的排法有 A2 5种，中间 种，中间 5 个位置有个位置有 A5 5种， 种， 共共 A2 5A 5 5 2 400 种排法种排法 (4)解法一解法一 分两类：乙站分两类：乙站在排头和乙不站在排头乙站在排头的排法共有在排头和乙不站在排头乙站在排头的排法共有 A6 6种，乙 种，乙 不站在排头的排法总数为先在除甲、乙外的不站在排头的排法总数为先在除甲、乙外的
14、 5 人中选人中选 1 人安排在排头，方法有人安排在排头，方法有 5 种，种， 中间中间 5 个位置选个位置选 1 个安排乙，方法有个安排乙，方法有 5 种，再在余下的种，再在余下的 5 个位置排另外个位置排另外 5 位同学，排位同学，排 法有法有 A5 5种，故共有 种，故共有 A6 6 55A5 5 3 720 种排法种排法 解法二解法二 间接法，总排法种数为间接法，总排法种数为 A7 7，甲站排头和乙站排尾的排法种数均为 ，甲站排头和乙站排尾的排法种数均为 A6 6，但这 ，但这 两种情况均包含了甲站排头和乙站排尾的情况， 故共有两种情况均包含了甲站排头和乙站排尾的情况， 故共有 A7
15、7 2A6 6 A5 5 3 720 种排法种排法 排列问题的实质是排列问题的实质是“元素元素”占占“位子位子”问题， 有限制条件的排列问题的限制条件主要问题， 有限制条件的排列问题的限制条件主要 表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素， 解决该类排列问题的方法表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素， 解决该类排列问题的方法 主要是按主要是按“优先优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子 3从从 1 到到 9 这这 9 个数字中取出不同的个数字中取出不同的 5 个数进行排列个数进行排列 问：问：(1)奇数的位置上是奇数的有多
16、少种排法？奇数的位置上是奇数的有多少种排法？ (2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？ 解析：解析：(1)奇数共有奇数共有 5 个，奇数位置共有个，奇数位置共有 3 个；偶数共有个；偶数共有 4 个，偶数位置共有个，偶数位置共有 2 个个 第一步先在奇数位置上排上奇数共有第一步先在奇数位置上排上奇数共有 A3 5种排法； 种排法； 第二步再排偶数位置，第二步再排偶数位置，4 个偶数和余下的个偶数和余下的 2 个奇数可以排，排法有个奇数可以排，排法有 A2 6种 种 由分步计数原理知排法种数为由分步计数原理知排法种数为 A3 5A 2 6 1 8
17、00. (2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法有因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法有 A2 4种， 种， 余下的余下的 2 个偶数与个偶数与 5 个奇数全可排在奇数位置上，排法有个奇数全可排在奇数位置上，排法有 A3 7种 种 由分步计数原理知排法种数为由分步计数原理知排法种数为 A2 4A 3 7 2 520. 探究四探究四 “相邻相邻”与与“不相邻不相邻”问题问题 典例典例 4 7 人站成一排人站成一排 (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？甲、乙两人相邻的排法有多少种？ (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人不分开
18、的排法有多少种？甲、乙、丙三人不分开的排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ 解析解析 (1)(捆绑法捆绑法)将甲、乙两人将甲、乙两人“捆绑捆绑”为一个元素，与其余为一个元素，与其余 5 人全排列，共有人全排列，共有 A6 6 种排法甲、乙两人可交换位置，有种排法甲、乙两人可交换位置，有 A2 2种排法，故共有 种排法，故共有 A6 6 A2 2 1 440 种排法种排法 (2)解法一解法一 (间接法间接法)7 人任意排列， 有人任意排列， 有 A7 7种排法， 甲、 乙两人相邻的排法有 种排法， 甲、 乙两人相邻的排法有 A2
19、2 A6 6种， 种， 故甲、乙不相邻的排法有故甲、乙不相邻的排法有 A7 7 A2 2 A6 6 3 600(种种) 解法二解法二 (插空法插空法)将其余将其余 5 人全排列，有人全排列，有 A5 5种排法， 种排法，5 人之间及两端共有人之间及两端共有 6 个位置，个位置， 任选任选 2 个排甲、乙两人，有个排甲、乙两人，有 A2 6种排法故共有 种排法故共有 A5 5 A2 6 3 600 种排法种排法 (3)(捆绑法捆绑法)将甲、乙、丙三人将甲、乙、丙三人“捆绑捆绑”在一起与其余在一起与其余 4 人全排列，有人全排列，有 A5 5种排法，甲、 种排法，甲、 乙、丙三人有乙、丙三人有 A
20、3 3种排法，共有 种排法，共有 A5 5 A3 3 720 种排法种排法 (4)(插空法插空法)将其余将其余 4 人排好，有人排好，有 A4 4种排法将甲、乙、丙插入 种排法将甲、乙、丙插入 5 个空中，有个空中，有 A3 5种排 种排 法故共有法故共有 A4 4 A3 5 1 440 种排法种排法 “相邻相邻”与与“不相邻不相邻”问题的解题策略：问题的解题策略： 限制条件限制条件 解题策略解题策略 元素相邻元素相邻 通常采用通常采用“捆绑捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体并法，即把相邻元素看作一个整体并 与其他元素进行排列与其他元素进行排列 元素不元素不 相邻相邻 通常采用通常采用“插空插
21、空”法，即先考虑不受限制的元素的排法，即先考虑不受限制的元素的排 列，再将不相邻元素插在前面元素形成的空当中列，再将不相邻元素插在前面元素形成的空当中 46 把椅子摆成一排，把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A144 B120 C72 D24 解析：解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有 4 个位置，再把三人带椅子插放在个位置，再把三人带椅子插放在 四个位置，共有四个位置，共有 A3 4 24 种放法，故选种放法，故选 D. 答案：答案：D 因忽视因忽视 Am n中的隐含条件而致误
22、 中的隐含条件而致误 典例典例 解不等式解不等式：Ax 96Ax 2 9 . 解析解析 原不等式即原不等式即 9！ 9x ！ 6 9！ 9x2 ！，由排列数定义知 ，由排列数定义知 0x9， 0x29， 2x9，xN*. 化简得化简得(11x)(10x)6， x221x1040， 即即(x8)(x13)0，x13. 又又 2x9，xN*， 2x8，xN*. 故故 x2,3,4,5,6,7. 错因与防范错因与防范 求解本题求解本题易忽视易忽视 0x9,0x29.解含排列数的方程或不等式时，解含排列数的方程或不等式时， 要注意排列数要注意排列数 Am n中， 中，m，nN*，且，且 mn 这些限制
23、条件，要注意含排列数的方程和这些限制条件，要注意含排列数的方程和 不等式中未知数的取值范围不等式中未知数的取值范围. 随堂训练随堂训练 1已知已知 A2 n 132，则，则 n 等于等于( ) A11 B12 C13 D14 解析：解析：A2 n n(n1)132，即，即 n2n1320，解得，解得 n12 答案：答案：B 2从从 2,3,5,7 四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有( ) A6 个个 B10 个个 C12 个个 D16 个个 解析：解析：符合题意的商有符合题意的商有 A2 4 4312 个个 答案：答案：C 3用数字用数字 1,2,
24、3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为组成的无重复数字的四位偶数的个数为( ) A8 B24 C48 D120 解析：解析：从从 2,4 中取一个数作为个位数字，有中取一个数作为个位数字，有 2 种取法；再从其余四个数中取出三个种取法；再从其余四个数中取出三个 数排在前三位， 有数排在前三位， 有 A3 4种排法 由分步乘法计数原理知， 这样的四位偶数共有 种排法 由分步乘法计数原理知， 这样的四位偶数共有 2A3 4 48 个个 答案：答案：C 4A，B，C，D，E 五人并排站成一排，如果五人并排站成一排，如果 A，B 必须相邻且必须相邻且 B 在在 A 的右边，那的右边，那 么不同的排法种数有么不同的排法种数有( ) A60 B48 C36 D24 解析：解析：把把 A，B 视为一人，且视为一人，且 B 固定在固定在 A 的右边，则本题相当于的右边，则本题相当于 4 人的全排列，共人的全排列，共 A4 4 24 种种 答案：答案：D 课时作业
