1、 11.2 两个原理的应用两个原理的应用 题型题型1 分配问题分配问题 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 1 (1)8 本不同的书，任选 3 本分给 3 个同学，每人 1 本，有多少种不同的分法？ (2)将 4 封信投入 3 个邮筒，有多少种不同的投法？ (3)3 位旅客到 4 个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？ 解析：(1)分三步，每位同学取书一本，第 1，2，3 个同学分别有 8，7，6 种取法，因 而由分步乘法计数原理，不同分法共有 N876336(种) (2)完成这件事情可以分作四步，第一步投第一封信，可以在 3 个邮筒中任选一
2、个，因 此有 3 种投法；第二步投第二封信，同样有 3 种投法；第三步投第三封信，也同样有 3 种投 法；第四步，投第四封信，仍然有 3 种投法由分步乘法计数原理，可得出不同的投法共有 N333381(种) (3)分三步，每位旅客都有 4 种不同的住宿方法，因而不同的方法共有 N444 64(种) 规律方法：此类分配问题，实际上是分步计数问题，解题的关键是弄清分几步和每一步 的方法总数 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 1一个袋子里装有 10 张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有 12 张不同的中国 联通手机卡 (1)某人要从两
3、个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取法？ (2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共 有多少种不同的取法？ 解析：(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况： 第 1 类，从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有 10 种取法； 第 2 类，从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有 12 种取法 根据分类加法计数原理，共有 101222 种取法 (2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行： 第 1 步，从第一个袋子中任到一张移动手机卡，共有 10 种取法； 第 2 步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有 12 种取法 根据分步乘法计数原理，共有
4、1012120 种取法 题型题型2 组数问题组数问题 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 2 用 0，1，2，3，4，5 可以组成多少个无重复数字的比 2 000 大的四位偶数？ 分析：按末位是 0，2，4 分三类或千位是 2，3，4，5 分四类计数或用间接法 解析：法一 按末位是 0，2，4 分为三类 第一类：末位是 0 的有 44348(个)； 第二类：末位是 2 的有 34336(个)； 第三类：末位是 4 的有 34336(个) 则由分类计数原理有 N483636120(个) 法二 按千位是 2，3，4，5 分四类 第一类：千位是
5、2 的有 24324(个)； 第二类：千位是 3 的有 34336(个)； 第三类：千位是 4 的有 24324(个)； 第四类：千位是 5 的有 34336(个) 则由分类计数原理有 N24362436120(个) 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 法三 (间接法) 用 0，1，2，3，4，5 可以组成的无重复数字的四位偶数分两类 第一类：末位是 0 的有 54360(个)； 第二类：末位是 2 或 4 的有 244396(个) 共有 6096156(个) 其中比 2 000 小的千位是 1 的有 34336(个) 所以符合条件的四位偶数共
6、有 15636120(个) 规律方法： 数字问题的解题策略 (1)对于组数问题， 一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类， 分类中再按特殊位置(或 特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解 (2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘；排数时 要注意特殊位置、特殊元素优先的原则 (3)用 09 十个数字组成一些特定的数，是两个计数原理的典型应用，往往涉及奇数、 偶数及数位的关系等 (4)解决数字问题常用的策略；可以数位入手，逐位探究可能的选取方法，再利用两个 原理计算 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏
7、目 链 接 变式训练 2用 0，1，2，3，4 这五个数字可以组成多少个无重复数字的四位密码？四位奇数？ 解析：(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取 左边第一个位置上的数字，有 5 种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有 4 种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有 3 种选取方法；第四步，选取左边 第四个位置上的数字，有 2 种选取方法由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共 有 N5432120(个) (2)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事， 可以分四步： 第一步定个位， 只能从 1， 3 中任取一个，有 2 种方法；第二
8、步定首位，把 1，2，3，4 中除去用过的一个还有 3 个可 任取一个，有 3 种方法；第三步，第四步把剩下的包括 0 在内的还有 3 个数字先排百位有 3 种方法，再排十位有 2 种方法由分步乘法计数原理共有 233236(个) 题型题型3 涂色问题涂色问题 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 3 把一个圆分成 3 个扇形，现在用 5 种不同的颜色给 3 个扇形涂色，要求相邻扇形 的颜色互不相同，问： (1)有多少种不同的涂法？ (2)若分割成 4 个扇形呢？ 解析：(1)不同的涂色方法是 54360 种 (2)如图所示，分别用 a，b，
9、c，d 记这四个扇形先考虑给 a，c 涂色，分两类：第一 类给 a，c 涂同种颜色，共 5 种涂法；再给 b 涂色，有 4 种涂法；最后给 d 涂色，也有 4 种 涂法由分步乘法计数原理知，此时共有 544 种涂法 第二类给 a，c 涂不同颜色，共有 54 种涂法；再给 b 涂色，有 3 种方法；最后给 d 涂色，也有 3 种方法此时共有 5433 种涂法由分类加法计数原理知，共有 544 5433260 种涂法 规律方法：涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法：(1)按区域 的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色为主分类讨论，适用 于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析；(3)将空间问题平面化，转化成 平面区域的涂色问题 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 3将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只 有 5 种颜色可供使用，求不同的染色方法总数 解析：按照 SABCD 的顺序分类染色 第一类：A，C 染相同颜色，有 54313180(种)； 第二类：A，C 染不同颜色，有 54322240(种) 故共有 180240420 种不同的染色方法
