1、 【课标要求】 1.掌握几种有限制条件的排列. 2.能应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题. 自主学习自主学习 基础认识基础认识 解决排列问题常用的方法 (1)特殊元素优先法：对于有特殊元素的排列问题，一般应先考 虑特殊元素，再考虑其他元素 (2)特殊位置优先法：对于有特殊位置的排列问题，一般先考虑 特殊位置，再考虑其他位置 (3)相邻问题捆绑法：对于要求某几个元素相邻的排列问题，可 将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大”元素，与其他元素一 起排列，然后再对捆绑元素内部进行排列 (4)不相邻问题插空法：对于要求有几个元素不相邻的排列问 题，可先将其他元素排好，然后将不相邻的元素插入在已
2、排好的元 素之间及两端空隙处 |自我尝试自我尝试| 1用数字 1,2,3,4,6 可以组成无重复数字的五位偶数有( ) A48 个 B64 个 C72 个 D90 个 解析：满足条件的五位偶数有 A1 3 A 4 472.故选 C. 答案：C 2用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的 个数为( ) A24 B48 C60 D72 解析：由题意，可知个位可以从 1,3,5 中任选一个，有 A1 3种方 法，其他数位上的数可以从剩下的 4 个数字中任选，进行全排列， 有 A4 4种方法，所以奇数的个数为 A 1 3A 4 43432172.故选 D. 答案：D 36 名学
3、生排成两排，每排 3 人，则不同的排法种数为( ) A36 B120 C720 D240 解析：由于 6 人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种 数为 A6 6720. 答案：C 4要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一 排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( ) A1 440 种 B960 种 C720 种 D480 种 解析：从 5 名志愿者中选 2 人排在两端有 A2 5种排法，2 位老人 的排法有 A2 2种， 其余 3 人和老人排有 A 4 4种排法， 共有 A 2 5A 2 2A 4 4960 种不同的排法 答案：B 5若把英语单词“good”的字
4、母顺序写错了，则可能出现的 错误共有_种 解析： 因为 good 有两个相同字母， 所以可能出现 A4 43A 2 2A 2 2 111 种错误 答案：11 课堂探究 互动讲练 类型一 数字排列问题 例1 用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数 (1)如果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少 个？ (2)如果组成的四位数大于 6 500，那么这样的四位数有多少？ 【解析】 (1)第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是 偶数，个位数字只能是 2,4,6 之一，所以有 A1 3种排法；第二步排千、 百、 十这三个数位上的数字， 有 A3 6种排法 根据分步乘法
5、计数原理， 符合条件的四位数的个数是 A1 3 A 3 63654360.故这样的四 位数有 360 个 (2)因为组成的四位数要大于 6 500，所以千位上的数字只能取 7 或 6.排法可以分两类第一类：千位上排 7，有 A3 6种不同的排法； 第二类：若千位上排 6，则百位上可排 7 或 5，十位和个位可以从 余下的数字中取 2 个来排，共有 A1 2 A 2 5种不同的排法根据分类加 法计数原理，符合条件的四位数的个数是 A3 6A 1 2 A 2 5160.故这样 的四位数有 160 个. 方法归纳 用分步排位的方法计算排列数，必须注意三个方面： (1)在题设条件的限制下， 根据哪些元
6、素可取、 哪些元素不可取， 对每一步排法； (2)在某一步排位后，下一步排位可取元素的个数，应视具体情 况而定； (3)若某一步必须分类，则分类后各步都必须按各类分别计算. 跟踪训练 1 (1)由数字 0,1,2,3,4,5 组成的奇偶数字相间无重复 数字的六位数有多少个？ (2)在由 0,1,2,3,4,5 六个数字组成的数中，数字 1 排在奇数位上 的六位数有多少个？ 解析：(1)第一类，首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的 六位数 第一步，把 1,3,5 三个数排列在奇数位上，有 A3 3种方法； 第二步，把 0,2,4 三个数排列在偶数位上，有 A3 3种方法 根据分步乘法计数原理，
7、首位为奇数的奇偶数字相间且无重复 数字的六位数有 A3 3 A 3 336(个) 第二类，首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数 第一步，把 1,3,5 三个数排列在偶数位上，有 A3 3种方法； 第二步，把 0,2,4 三个数排列在奇数位上，有 2A2 2种方法 根据分步乘法计数原理，首位为偶数的奇偶数字相间且无重复 数字的六位数有 A3 32A 2 224(个) 根据分类加法计数原理，满足条件的六位数共有 3624 60(个) (2)第一类，当数字“1”在首位时，数字“0”有 5 种选择，其 他数字不受限制， 其排列方法有 A4 4种， 所以当数字“1”在首位时， 满足条件的六位数共
8、有 15A4 4120(个)； 第二类，当数字“1”不在首位时，根据数字“1”只能在奇数 位上， 数字“1”的位置只能在千位和十位， 有 2 种选择， 数字“0” 不能在首位，有 4 种选择，其他数字不受条件限制，其排列方法为 A 4 4种，所以当数字“1”不在首位时，满足条件的六位数共有 24A4 4192(个) 根据分类加法计数原理，满足条件的六位数共有 120192 312(个). 类型二 排队问题 例 2 三个女生和五个男生排成一排 (1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生必须全分开，有多少种不同排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同排法？ (4)如
9、果两端不能都排女生，可有多少种不同排法？ 【解析】 (1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以 先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素， 排成一排有 A6 6种不同的排法 对于其中的每一种排法， 三个女生之 间又有 A3 3种不同的排法因此共有 A 6 6 A 3 34 320(种)不同的排法 (2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个 相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生 外侧的两个位置， 共有六个位置， 再把三个女生插入这六个位置中， 只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不 相邻 由于五个男生排成一排有
10、A5 5种不同的排法， 对于其中任意一 种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有 A3 6种排 法，因此共有 A5 5 A 3 614 400(种)不同的排法 (3)方法一 (位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只 能挑选五个男生中的两个， 有 A2 5种不同的排法， 对于其中的任意一 种不同的排法， 其余六个位置都有 A6 6种不同的排法， 所以共有 A 2 5 A 6 6 14 400(种)不同的排法 方法二 (间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A8 8种不同 的排法，从中扣除女生排在首位的 A1 3 A 7 7种排法和女生排在末位的 A1 3 A 7 7种排法， 但两
11、端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时 被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还 需加回来一次，由于两端都是女生有 A2 3 A 6 6种不同的排法，所以共 有 A8 82A 1 3 A 7 7A 2 3 A 6 614 400(种)不同的排法 方法三 (元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排 入，有 A3 6种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置 又都有 A5 5种不同的排法，所以共有 A 3 6 A 5 514 400(种)不同的排法 (4)方法一 (位置分析法)因为只要求两端不都排女生，所以如 果首位排了男生， 那么末位就不再受条件限制了， 这样
12、可有 A1 5 A 7 7种 不同的排法；如果首位排女生，有 A1 3种排法，那么末位就只能排男 生，这样可有 A1 3 A 1 5 A 6 6种不同的排法，因此共有 A 1 5 A 7 7A 1 3 A 1 5 A 6 6 36 000(种)不同的排法 方法二 (间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A8 8种不同 的排法，从中扣除两端都是女生的排法 A2 3 A 6 6种，就得到两端不都 是女生的排法种数因此共有 A8 8A 2 3 A 6 636 000(种)不同的排法. 方法归纳 排队问题的解题策略 排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不 相邻、定序等问题 (1)对于相
13、邻问题，可采用“捆绑法”解决即将相邻的元素视 为一个整体进行排列 (2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决即先排其余的元 素，再将不相邻的元素插入空中 (3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决即用不限制的排 列数除以顺序一定元素的全排列数. 跟踪训练 2 分别求出符合下列要求的不同排法的种数 (1)6 名学生排 3 排，前排 1 人，中排 2 人，后排 3 人； (2)6 名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾； (3)6 人排成一排，甲、乙不相邻 解析：(1)分排与直排一一对应，故排法种数为 A6 6720. (2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有 A1 4种选法， 然后其他 5
14、 人排，有 A5 5种排法，故排法种数为 A 1 4A 5 5480. (3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余 4 人先排好；第二 步，甲、乙在已排好的 4 人的左、右及之间的空位中排，共有 A4 4A 2 5 480(种)排法. 类型三 排列的综合应用 例 3 从数字 0,1,3,5,7 中取出不同的三个数作系数，可以组 成多少个不同的一元二次方程 ax2bxc0？其中有实根的方程 有多少个？ 【解析】 先考虑组成一元二次方程的问题 首先确定 a，只能从 1,3,5,7 中选一个，有 A1 4种，然后从余下的 4 个数中任选两个作 b，c，有 A2 4种 由分步乘法计数原理知，共组成一元
15、二次方程 A1 4 A 2 448(个) 方程要有实根，必须满足 b24ac0. 分类讨论如下： 当 c0 时，a，b 可以从 1,3,5,7 中任取两个，有 A2 4种； 当 c0 时，分析判别式知 b 只能取 5,7 中的一个 当 b 取 5 时，a，c 只能取 1,3 这两个数，有 A2 2种； 当 b 取 7 时，a，c 可取 1,3，或 1,5 这两组数，有 2A2 2种 此时共有(A2 22A 2 2)个由分类加法计数原理知，有实根的一元 二次方程共有： A2 4A 2 22A 2 218(个). 方法归纳 该例的限制条件较隐蔽，需仔细分析，一元二次方程中 a0 需要考虑到，而对有
16、实根的一元二次方程需有 0.这里有两层意 思：一是 a 不能为 0；二是要保证 b24ac0，所以需先对 c 能否 取 0 进行分类讨论实际问题中，既要能观察出是排列问题，又要 能搞清哪些是特殊元素，还要根据问题进行合理分类、分步，选择 合适的解法因此需做一定量的排列应用题，逐渐掌握解决问题的 基本思想. 跟踪训练 3 从 1,2,3，9 这 9 个数字中任取 2 个不同的数 分别作为一个对数的底数和真数，一共可以得到多少个不同的对数 值？其中比 1 大的有几个？ 解析： 从 2,3， ， 9 这 8 个数中任取 2 个数组成对数， 有 A2 8个， 在这些对数值中，log24log39，lo
17、g42log93，log23log49，log32 log94，重复计数 4 个，又 1 不能作为对数的底数，1 作为真数时， 不论底数为何值，其对数值均为 0. 所以可以得到 A2 84153(个)不同的对数值 要求对数值比 1 大， 分类完成： 底数为 2 时， 真数从 3,4,5， ， 9 中任取一个，有 7 种选法；底数为 3 时，真数从 4,5，9 中任 取一个，有 6 种选法；依次类推，当底数为 8 时，真数只能取 9，故有 765432128(个)但其中 log24log39，log23 log49，所以其中比 1 大的对数值有 28226(个) |素养提升素养提升| 1“在”与
18、“不在”排列问题解题原则及方法 (1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可 以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先 (2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元 素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其 他位置 提醒： 解题时， 或从元素考虑， 或从位置考虑， 都要贯彻到底 不 能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题 错误 2固定顺序的排列问题的求解方法 这类问题的解法是采用分类法n 个不同元素的全排列有 An n种 排法，m 个元素的全排列有 Am m种排法因此 A n n种排法中，关于 m 个元素的不同分法有 A
19、m m类，而且每一分类的排法数是一样的当 这 m 个元素顺序确定时，共有 An n Am m种排法 |巩固提升巩固提升| 1高三(1)班需要安排毕业晚会的 4 个音乐节目，2 个舞蹈节 目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同 排法的种数是( ) A1 800 B3 600 C4 320 D5 040 解析： 利用插空法， 先将 4 个音乐节目和 1 个曲艺节目全排列， 有 A5 5种，然后从 6 个空中选出 2 个空将舞蹈节目插入，有 A 2 6种排 法，所以共有 A5 5 A 2 63 600 种排法 答案：B 26 人站成一排，甲、乙、丙 3 个人不能都站在一起的排法种 数为( ) A720 B144 C576 D324 解析：6 个人的全排列数是 A6 6，而甲、乙、丙三人都站在一起 的排法是 A4 4A 3 3，故甲、乙、丙不能都站在一起的排法种数是 A 6 6 A4 4A 3 3576.故选 C. 答案：C 3用 1,2,3,4,5,6,7 这 7 个数字排列组成一个七位数，要求在其 偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有 _个 解析：先排奇数位有 A4 4种，再排偶数位有 A 3 3种，故共有 A 4 4A 3 3 144 个 答案：144
