1、 12.3 组组 合合 (一一) 题型题型1 组合的概念的理解组合的概念的理解 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 1 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合 Aa，b，c，d，e，则集合 A 的子集中含有 3 个元素的有多少个？ (2)某铁路线上有 5 个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ (3)2015 年元旦期间，某班 10 名同学互送贺年卡表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？ 解析：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题 (2)因为甲站到乙站的车票，与乙站到甲站的车票是不同的，故是排列问题，但票价与 顺
2、序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题 (3)甲给乙写贺卡，与乙给甲写贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题 规律方法： 区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关， 若交换某两个元素 的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是 组合问题，也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 1判断下列各事件是排列问题，还是组合问题 (1)某小组有 8 人，从中选出 3 人参加一个表彰会，有多少种选法？ (2)某小组有
3、8 人，从中选出 3 人参加 3 项不同的社会实践活动，每人参加一项，有多 少种选法？ (3)8 支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？ (4)8 支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ 解析：(1)选出的 3 人与顺序无关，是组合问题 (2)选出的 3 人与顺序有关，是排列问题 (3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别 (4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、 乙队得冠军是不一样的， 是有顺序区别的 题型题型2 与组合数有关的计算与组合数有关的计算 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典
4、例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 2 (1)计算：C96 99C 97 99； (2)求 C38 n 3n C3n n21的值； (3)证明：Cm n m1 n1 Cm 1 n1 n nmC m n1. 分析：(1)先用组合数两个性质化简，再用组合数公式的乘积形式计算 (2)Cm n的限制条件为：m，nN *，且 mn，以此得到 n 的值，再求值 (3)利用组合数公式的阶乘形式证明 解析：(1)C96 99C 97 99C 97 100C 3 100 1009998 321 161 700. (2) 038n3n， 03n21n，即 19 2 n38， 0n21 2 . nN
5、*，n10. C38 n 3n C3n 21nC 28 30C 30 31C 2 30C 1 31466. 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 (3)m1 n1C m1 n1 m1 n1 （n1）！ （m1）！（nm）！ n！ m！（nm）！C m n， n nmC m n1 n nm （n1）！ m！（n1m）！ n！ m！（nm）！C m n， Cm n m1 n1C m1 n1 n nmC m n1. 规律方法：组合数公式的应用 (1)公式 Cm n Am n Am m n（n1）（n2）（nm1） m！ ，一般用于求值、计算 (2)公式
6、 Cm n n！ m！（nm）！(m，nN *且 mn)，一般用于化简证明 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 2计算下列各式： (1)C10 12C 0 12； (2)C4 10C 3 7A 3 3. 解析：(1)C10 12C 0 12C 2 121 1211 21 165. (2)C4 10C 3 7A 3 3C 4 10A 3 7 10987 4321 765 2102100. 题型题型3 含组合数的方程或不等式含组合数的方程或不等式 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 3
7、 (1)解方程：Cx2x16C5x 5 16 ； (2)解不等式：Cm 4 m Cm 6 m1C 6 m1. 解析：(1)Cx2x16C5x 5 16 ， x2x5x5， 或 x2x5x516. 解得 x1 或 x5. 解得 x3 或 x7. 经检验知，原方程的解是 x1 或 x3. (2)原不等式可化为 C4 mC 5 m1C 6 m1，即 C 4 mC 6 m， m！ 4！（m4）！ m！ 6！（m6）！. 30(m4)(m5)， 即 m29m100， 1m10. 又m7 且 mN*， m7，8 或 9. 规律方法： 利用组合数的概念及公式将组合式化为常规方程或不等式， 再解方程或不等 式
8、 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 3方程 Cx 2 x2C x3 x2 1 10A 3 x3的解是 x_ 解析：原方程可化为 Cx 2 x3 1 10A 3 x3， 所以 （x3）！ 5！（x2）！ （x3）！ 10 （x33）！ 所以 1 120（x2）！ 1 10x（x1） （x2）！， 所以 12x(x1)， 即 x2x120， 解得 x4 或 x3， 经检验，x4 是原方程的解 题型题型4 组合数的简单应用组合数的简单应用 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 4 要从
9、12 个人中选出 5 人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)A，B，C 三人必须当选； (2)A，B，C 三人不能当选； (3)A，B，C 三人中只有一人当选 解析：(1)A，B，C 三人必须当选，再从其他 9 个人中选出 2 人，则可组成 5 人小 组，共有选法 C2 9 98 2 36(种) (2)A，B，C 三人不能当选，须从其他 9 个人中选出 5 人，共有选法种数为 C5 9C 4 9 9876 4321126(种) (3)从 A，B，C 中选 1 人，有 C1 3种选法，再从 A，B，C 之外的其他 9 个人中选出 4 人， 有 C4 9种选法由分步乘法计数原理
10、，共有选法种数为 C 1 3C 4 93126378(种) 规律方法：根据组合数的概念先判断是否是组合问题，若是，则用组合数公式表示，再 求出结果 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 4一个口袋里装有 7 个白球和 1 个红球，从口袋中任取 5 个球 (1)共有多少种不同的取法？ (2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？ (3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？ 解析： (1)从口袋里的8个球中任取5个球， 不同取法的种数是C5 8C 3 8 876 32156(种) (2)从口袋里的 8 个球中任取 5 个球，其中恰有一个红球，可以分两步完成： 第一步：从 7 个白球中任取 4 个白球，有 C4 7种取法； 第二步：把 1 个红球取出，有 C1 1种取法 故不同取法的种数是：C4 7C 1 1C 4 7C 3 735(种) (3)从口袋里任取 5 个球，其中不含红球，只需从 7 个白球中任取 5 个白球即可，不同 取法的种数是 C5 7C 2 7 76 2121(种)
