1、13 二项式定理二项式定理 1.3.1 二项式定理与二项展开式二项式定理与二项展开式 题型题型1 二项式定理的正用、逆用二项式定理的正用、逆用 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 1 (1)用二项式定理展开 11 x 4 _； (2)设 n 为自然数，化简 C0 n2 nC1 n2 n1 (1)kCk n2 nk (1)nCn n _ 解析：(1)法一 11 x 4 1C1 4 1 x C2 4 1 x 2 C3 4 1 x 3 1 x 4 14 x 6 x2 4 x3 1 x4. 法二 11 x 4 1 x 4 (x1)4 1 x 4 (
2、x4C1 4x 3C2 4x 2C3 4x1)1 4 x 6 x2 4 x3 1 x4. (2)原式C0 n2 n10C1 n2 n111(1)kCk n2 nk(1)nCn n2 0(21)n 1. 答案：(1)14 x 6 x2 4 x3 1 x4 (2)1 规律方法： 解决这一问题的关键是弄清二项式展开式左右两边的结构特征， 这样我们就 能够将一个二项式展开， 若一个多项式符合二项展开式右边的结构特征， 我们也能够将它表 示成左边的形式 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 1化简：(1)12C1 n4C 2 n2 nCn n；
3、(2)(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1) 解析：(1)原式12C1 n2 2C2 n2 nCn n(12) n3n. (2)原式(x1)5C1 5(x1) 4C2 5(x1) 3C3 5(x1) 2C4 5(x1)C 5 51(x1)1 5 1x51. 题型题型2 求二项式展开式中的特定项求二项式展开式中的特定项 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 2 (1)(2014 高考湖南卷) 1 2x2y 5 的展开式中 x2y3的系数是( ) A20 B5 C5 D20 (2)二项式 x2 1 2 x 10 的展开式中的
4、常数项_ 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 解析： (1)由二项式定理得第 n1 项的展开式为 Cn 5 1 2x n (2y)5 n， 则 n2 时， Cn 5 1 2x n (2y)5 n10 1 2x 2 (2y)320x2y3，所以 x2y3的系数为20.故选 A. (2)设第 r1 项为常数项，则 Tr1Cr10(x2)10 r 1 2 x r Cr10x205 2r 1 2 r (r0，1，10) 令 205 2r0，得 r8， T9C8 10 1 2 8 45 256. 第 9 项为常数项，其值为 45 256. 答案：(1)A
5、 (2) 45 256 规律方法：根据二项展开式的通项公式，即可求展开式中的特定项 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 2 (2013 揭阳一模)若二项式 x 1 2 x n 的展开式中， 第4项与第7项的二项式系数相等， 则展开式中 x6的系数为_(用数字作答) 解析：由题意可得，C3 nC 6 n，解得 n9. 因为 x 1 2 x 9 的展开式的通项为 Tr1 1 2 r Cr9x9 rxr 2 1 2 r Cr 9x9 3r 2 ，令 93r 2 6，解 得 r2.此时的系数为 1 2 2 C2 99. 答案：9 题型题型3
6、展开式通项的应用展开式通项的应用 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 3 若 x 1 24x n 的展开式中前三项系数成等差数列求： (1)展开式中含 x 的一次幂的项； (2)展开式中所有 x 的有理项 分析：首先由“前三项系数成等差数列”，得到关于 n 的方程，解得 n 的值，然后根据 题目的要求解答每一问每问都与二项展开式的通项公式有关 解析：通项为 Tr1Crn( x)n r 1 24x r . 由已知条件知：C0 nC 2 n 1 222C 1 n 1 2，解得 n8 或 n1(舍去) (1)Tr1Cr8( x)8 r 1 24x
7、 r Cr82 rx43 4r. 令 43 4r1，解得 r4. 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 则含 x 的一次幂的项为 T41C4 82 4x35 8 x. (2)令 43 4r Z(r8)， 则只有当 r0， 4， 8 时， 对应的项才为有理项， 有理项分别为： T1x4，T535 8 x，T9 1 256x2. 规律方法： 利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特性的项是关于二项式定理 的一类典型题型 常见的有求二项展开式中的第 r 项、 常数项、 含某字母的 r 次方的项等 其 通常解法就是根据通项公式确定 Tk1中 k 的值或取值范围，以满足题设的条件 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 3(2014 高考浙江卷)在(1x)6(1y)4的展开式中，记 xmyn项的系数为 f(m，n)，则 f(3， 0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)(C) A45 B60 C120 D210 解析：(1)依题意可得 f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)C3 6C 2 6C 1 4C 1 6C 2 4C 3 420 60364120.故选 C.
