1、11 计数原理及其应用计数原理及其应用 11.1 分类加法计数原理与分布乘法计数分类加法计数原理与分布乘法计数 原理原理 题型题型1 分类加法技术原理的应用分类加法技术原理的应用 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 分析：完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑 按十位上的数字情况或按个位上的数字情况进行分类 解析：方法一：按十位数上的数字分别是 1、2、3、4、5、6、7、8 的情况分为 8 类， 在每一类中满足题目条件的两位数分别是 8 个、7
2、 个、6 个、5 个、4 个、3 个、2 个、1 个 由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有 87654321 36(个) 方法二：按个位数字是 2、3、4、5、6、7、8、9 分成 8 类，在每一类中满足条件的两 位数分别是 1 个、2 个、3 个、4 个、5 个、6 个、7 个、8 个，所以按分类加法计数原理共 有 1234567836(个) 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 规律方法： 分类加法计数原理是涉及完成一件事的不同方法的计数种类， 每一类中的各 种方法都是相互独立的， 且每一类方案中的每一种方法都可以独立地完成这件事
3、， 在应用该 原理解题时，首先要根据问题的特点，确定好分类的标准分类时应满足：完成一件事的任 何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类 变式训练 1(1)某班有男生 26 人，女生 24 人，从中选一位同学为数学科代表，则不同选法的种 数有( ) A50 种 B26 种 C24 种 D616 种 (2)一项工作可以用 A 或 B 这两种方法中的一种方法完成，有 4 人会用 A 方法完成，另 外 8 人会用 B 方法完成，从中选出 1 人来完成这项工作，不同选法的种数是( ) A12 种 B32 种 C24 种 D64 种 解析：(1)由分类加法计数原理知，不同选法的种数有 262450(种)故选
4、 A. (2)由分类加法计数原理知，不同选法的种数有 4812(种)故选 A. 答案：(1)A (2)A 题型题型2 分步乘法计数原理的应用分步乘法计数原理的应用 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 2 (1)某人有 3 个不同的电子邮箱， 他要发 5 个电子邮件， 发送的方法的种数为( ) A8 种 B15 种 C243 种 D125 种 (2)有 8 本不同的书，任选 3 本分给 3 名同学，每人一本，不同的分法有_种 解析：(1)每个电子邮件都有 3 种不同的发送方法 根据分步乘法计数原理，共有 35243(种) (2)完成这件事分三
5、步，每名同学取一本书，第 1，2，3 名同学分别有 8，7，6 种取法， 由分步乘法计数原理知，不同的分法共有 876336(种) 答案：(1)C (2)336 规律方法：应用分步乘法计数原理解题时要注意以下三点： (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，怎样才算完成了这件事 (2)完成这件事情需要分成 n 个步骤，每一步骤都不能完成这件事情，只有各个步骤都 完成了，这件事情才能完成 (3)选取的标准不同，分的“步”也不同，完成这件事的任何一种方法，都要分成若干 个步骤 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 2已知 a1，2，3，
6、b4，5，6，7，r8，9，则方程(xa)2(yb)2r2可 表示不同的圆的个数为(D) A9 个 B12 个 C8 个 D24 个 解析：完成表示不同的圆这件事有三步：第一步，确定 a 有 3 种不同的选取方法；第二 步，确定 b 有 4 种不同的选取方法；第三步，确定 r 有 2 种不同的方法由分步乘法计数原 理，方程(xa)2(yb)2r2可表示不同的圆共有 34224 个故选 D. 题型题型3 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合应用 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 3 现有 5
7、幅不同的国画、2 幅不同的油画、7 幅不同的水彩画 (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 解析：(1)分为三类：从国画中选，有 5 种不同的选法；从油画中选，有 2 种不同的选 法；从水彩画中选，有 7 种不同的选法根据分类加法计数原理，共有 52714 种不同 的选法 (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有 5 种、2 种、7 种不同的选法，根据分步乘法计 数原理，共有 52770 种不同的选法 (3)分为三类： 第一类是一幅选自国画，一幅选自油
8、画，由分步乘法计数原理知，有 5210 种不同 的选法 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有 5735 种不同的选法 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有 2714 种不同的选法 所以有 10351459 种不同的选法 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 规律方法：(1)解决此类综合题的关键在于区分该问题是“分类”还是“分步”如果 完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其 中一种情况中任取一种方法只能完成一部分事件， 且只有依次完成各种情况， 才能完成这件 事，则是分步 (2)注意：运用分类加法计
9、数原理和分步乘法计数原理解决既有“分类”又有“分步” 的综合问题时，应“先分类，后分步” 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 解析：(1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类，选东面的空闲凳子，有 8 种选法； 第二类，选西面的空闲凳子，有 6 种选法 根据分类加法计数原理，小明爸爸共有 8614 种坐法 (2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成； 第一步，小明先就坐，从东西两面共 14 个凳子中选一个坐下，共有 14 种坐法(小明坐 下后，空闲凳子数变成 13)； 第二步，小明爸爸再就坐，从东西两面余下的 13 个空闲凳子中选一个坐下，共 13
10、种坐 法 由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就座共有 1413182 种不同的坐法 变式训练 3某公园休息处东面有 8 个空闲的凳子，西面有 6 个空闲的凳子，小明与爸爸来这里 休息 (1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？ (2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？ 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 分不清是“分类”还是“分步”致错 【典例】 下图中一共有多少个矩形(顶点不完全相同就视作不同的矩形)? 学习目标学习目标 预习导学预习导学
11、典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 解析：我们只要在 A、B、C、D 四条横线中选取 2 条，在 1、2、3、4、5、6 这 6 条竖 线中选取两条， 就能确定一个矩形， 如图中矩形B2D2D5B5是由横线 B2B5， D2D5和竖线B2D2、 B5D5围成的 选取横线有 AB、AC、AD、BC、BD、CD 共 6 种不同方法，选取竖线有(1，2)，(1，3)， (1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)， (4，6)，(5，6)共 15 种不同方法，由分步乘计数原理知，共有不同的矩形 61590 个 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 【易错剖析】 完成一个矩形， 既要考虑横线由哪两条构成， 也要考虑竖线由哪两条构成， 只有当两条横线与两条竖线都确定时，这个矩形才算完成，故这是分步乘法计数原理本题 易错成用分类计数原理求解，错解如下： 按横行进行分类： 第一类，由 A 行和 B 行组成的矩形有 15 个 第二类，由 B 行和 C 行组成的矩形有 15 个 第三类，由 C 行和 D 行组成的矩形有 15 个 由分类加法原理知，不同的矩形共有 15151545 个
