1、第二课时第二课时 排列的综合应用排列的综合应用 典例典例 用用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个符合下这六个数字可以组成多少个符合下 列条件的无重复的数字？列条件的无重复的数字？ (1)六位奇数；六位奇数； (2)个位数字不是个位数字不是 5 的六位数；的六位数； (3)不大于不大于 4 310 的四位偶数的四位偶数 数字排列问题数字排列问题 解解 (1)第一步，排个位，有第一步，排个位，有 A1 3种排法； 种排法； 第二步，排十万位，有第二步，排十万位，有 A1 4种排法； 种排法； 第三步，排其他位，有第三步，排其他位，有 A4 4种排法 种排法 故共有故共有 A1 3A
2、 1 4A 4 4 288 个六位奇数个六位奇数 (2)法一法一： (直接法直接法)十万位数字的排法因个位上排十万位数字的排法因个位上排 0 与不与不 排排 0 而有所不同，因此需分两类而有所不同，因此需分两类 第一类，当个位排第一类，当个位排 0 时，有时，有 A5 5个； 个； 第二类，当个位不排第二类，当个位不排 0 时，有时，有 A1 4A 1 4A 4 4个 个 故符合题意的六位数共有故符合题意的六位数共有 A5 5 A1 4A 1 4A 4 4 504(个个) 法二：法二： (排除法排除法)0 在十万位和在十万位和 5 在个位的排列都不对应符合题在个位的排列都不对应符合题 意的六位
3、数， 这两类排列中都含有意的六位数， 这两类排列中都含有 0 在十万位和在十万位和 5 在个位的情况在个位的情况 故符合题意的六位数共有故符合题意的六位数共有 A6 6 2A5 5 A4 4 504(个个) (3)分三种情况，具体如下：分三种情况，具体如下： 当千位上排当千位上排 1,3 时，有时，有 A1 2A 1 3A 2 4个 个 当千位上排当千位上排 2 时，有时，有 A1 2A 2 4个 个 当千位当千位上排上排 4 时，形如时，形如 40，42的各有的各有 A1 3个； 个； 形如形如 41的有的有 A1 2A 1 3个； 个； 形如形如 43的只有的只有 4 310 和和 4 3
4、02 这两个数这两个数 故共有故共有 A1 2A 1 3A 2 4 A1 2A 2 4 2A1 3 A1 2A 1 3 2110(个个) 一题多变一题多变 1变设问变设问本例中条件不变，能组成多少个被本例中条件不变，能组成多少个被 5 整除的五位数？整除的五位数？ 解：解：个位上的数字必须是个位上的数字必须是 0 或或 5若个位上是若个位上是 0，则有，则有 A4 5个； 个； 若个位上是若个位上是 5， 若不含， 若不含 0， 则有， 则有 A4 4个； 若含 个； 若含 0， 但， 但 0 不作首位，不作首位， 则则 0 的位置有的位置有 A1 3种排法， 其余各位有 种排法， 其余各位有
5、 A3 4种排法， 故共有 种排法， 故共有 A4 5 A4 4 A1 3A 3 4 216(个个)能被能被 5 整除的五位数整除的五位数 2变设问变设问本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺 序组成一个数列序组成一个数列an，则，则 240 135 是第几项？是第几项？ 解：解：由于是六位数，首位数字不能为由于是六位数，首位数字不能为 0，首位数字为，首位数字为 1 有有 A5 5个数， 首位数字为 个数， 首位数字为 2， 万位上为， 万位上为 0,1,3 中的一个有中的一个有 3A4 4个 个 数， 所以数， 所以 240 135 的项数是的
6、项数是 A5 5 3A4 4 1193， 即， 即 240 135 是数列的第是数列的第 193 项项 3变条件，变设问变条件，变设问用用 0,1,3,5,7 五个数字，可以组成多少个五个数字，可以组成多少个 没有重复数字且没有重复数字且 5 不在十位位置上的五位数不在十位位置上的五位数 解：解：本题可分两类：第一类：本题可分两类：第一类：0 在十位位置上，这时，在十位位置上，这时，5 不在不在 十位位置上，所以五位数的个数为十位位置上，所以五位数的个数为 A4 4 24； 第二类：第二类：0 不在十位位置上，这时，由于不在十位位置上，这时，由于 5 不能排在十位位置不能排在十位位置 上，所以
7、，十位位置上只能排上，所以，十位位置上只能排 1,3,7 之一，有之一，有 A1 3 3(种种)方法方法 又由于又由于 0 不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排 5 或或 1,3,7 被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，有被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，有 A1 3 3(种种) 十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可， 有有 A3 3 6(种种) 根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为 A1 3 A 1 3 A 3 3 5
8、4 由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有 2454 78(个个) 数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项 (1)解题原则：排列问题的本质是解题原则：排列问题的本质是“元素元素”占占“位子位子”问题，有问题，有 限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子 上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按 “优先优先”原则， 即优先排特殊元素或优先满足特殊位子， 若一个
9、位子原则， 即优先排特殊元素或优先满足特殊位子， 若一个位子 安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论 (2)常用方法：直接法、间接法常用方法：直接法、间接法 (3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰 当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理的处理 排队问题排队问题 典例典例 3 名男生，名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同名女生，按照不同的要求排队，求不同 的排队方案的方法种数的排队方案的方法种数 (1)全体站
10、成一排，其中甲只能在中间或两端；全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； (2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； (3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端； (4)全体站成两排，前排全体站成两排，前排 3 人，后排人，后排 4 人，其中女生甲和女生人，其中女生甲和女生 乙排在前排，另有乙排在前排，另有 2 名男生丙和丁因个子高要排在后排名男生丙和丁因个子高要排在后排 解解 (1)先考虑甲有先考虑甲有 A1 3种方案，再考虑其余六人全排列，故 种方案，再考虑其余六人全排列，故 NA1 3A 6 6 2
11、160(种种) (2)先安排甲、乙有先安排甲、乙有 A2 2种方案，再安排其余 种方案，再安排其余 5 人全排列，故人全排列，故 N A2 2 A 5 5 240(种种) (3)法一法一 特殊元素优先法特殊元素优先法 按甲是否在最右端分两类：按甲是否在最右端分两类： 第一类，甲在最右端有第一类，甲在最右端有 N1A6 6(种 种)， 第二类，甲不在最右端时，甲有第二类，甲不在最右端时，甲有 A1 5个位置可选，而乙也有 个位置可选，而乙也有 A1 5个位置，而其余全排列 个位置，而其余全排列 A5 5，有 ，有 N2A1 5A 1 5A 5 5， ， 故故 NN1N2A6 6 A1 5A 1
12、5A 5 5 3 720(种种) 法二法二 间接法间接法 无限制条件的排列数共有无限制条件的排列数共有 A7 7， ， 而甲在左端或乙在右端的排法而甲在左端或乙在右端的排法 都有都有 A6 6， ，且甲在左端且乙在右端的排法有且甲在左端且乙在右端的排法有 A5 5， ，故故 NA7 7 2A6 6 A5 5 3 720(种种) 法三法三 特殊位置优先法特殊位置优先法 按最左端优先安排分步按最左端优先安排分步 对于左端除甲外有对于左端除甲外有 A1 6种排法 种排法，余下六个位置全排有余下六个位置全排有 A6 6， ，但但 减去乙在最右端的排法减去乙在最右端的排法 A1 5A 5 5种 种，故故
13、 NA1 6A 6 6 A1 5A 5 5 3 720(种种) (4)将两排连成一排后原问题转化为女生甲、乙要排在前将两排连成一排后原问题转化为女生甲、乙要排在前 3 个位置，男生丙、丁要排在后个位置，男生丙、丁要排在后 4 个位置，因此先排女生甲、乙个位置，因此先排女生甲、乙 有有 A2 3种方法，再排男生丙、丁有 种方法，再排男生丙、丁有 A2 4种方法，最后把剩余的 种方法，最后把剩余的 3 名同学全排列有名同学全排列有 A3 3种方法 种方法 故故 NA2 3 A 2 4 A 3 3 432(种种) 排队问题的解题策略排队问题的解题策略 (1)合理归类，要将题目大致归类，常见的类型有特
14、殊元素、合理归类，要将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、 特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应的特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应的 方法解题方法解题 (2)恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用，恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用， 解题过程中要恰当结合两个计数原理解题过程中要恰当结合两个计数原理 (3)正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可 起到事半功倍的效果起到事半功倍的效果 活学活用活学活用 排一张有排一张有 5 个歌唱节目和个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节
15、目单个舞蹈节目的演出节目单 (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 解：解：(1)先排歌唱节目有先排歌唱节目有 A5 5种，歌唱节目之间以及两端共有 种，歌唱节目之间以及两端共有 6 个空位，从中选个空位，从中选 4 个放入舞蹈节目，共有个放入舞蹈节目，共有 A4 6种方法，所以任 种方法，所以任 何两个舞蹈节目不相邻的排法有何两个舞蹈节目不相邻的排法有 A5 5 A 4 6 43 200 种方法种方法 (2)先排舞蹈节目有先排舞蹈节目有 A4 4种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有 种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有 5 个空位， 恰好供个空位， 恰好供 5 个歌唱节目放入 所以歌唱节目与舞蹈节个歌唱节目放入 所以歌唱节目与舞蹈节 目间隔排列的排法有目间隔排列的排法有 A4 4 A 5 5 2 880 种方法种方法 “多练提能多练提能熟生巧熟生巧”见见“课时跟踪检测课时跟踪检测(四四)” ( (单击进入电子文档单击进入电子文档) )
