1、预习课本预习课本 P2124，思考并完成以下问题思考并完成以下问题 1组合的概念是什么？组合的概念是什么？ 2什么是组合数？组合数公式是怎样的？什么是组合数？组合数公式是怎样的？ 3组合数有怎样的性质？组合数有怎样的性质？ 122 组组 合合 第一课时第一课时 组合与组合数公式组合与组合数公式 新知初探新知初探 1组合的概念组合的概念 从从 n 个不同的元素中取出个不同的元素中取出 m(mn)个元素个元素 ， 叫做从叫做从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m 个元素的一个组合个元素的一个组合 2组合数的概念、公式、性质组合数的概念、公式、性质 组合数组合数 定义定义 从从 n 个不同元素
2、中取出个不同元素中取出 m(mn)个元素的个元素的 的个数，叫做从的个数，叫做从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m 个元素的组合数个元素的组合数 表示法表示法 _ 合成一组合成一组 所有所有 不同组合不同组合 Cm n 乘积式乘积式 Cm n 组合数组合数 公式公式 阶乘式阶乘式 Cm n 性质性质 Cm n ，Cm n 1 备注备注 n，mN*且且 mn，规定：规定：C0 n 1 Am n Am m n n1 n2 nm1 m！ n！ m！ nm ！ Cn m n Cm n Cm 1 n 点睛点睛 排列与组合的联系与区别排列与组合的联系与区别 联系： 二者都是从联系： 二者都是从 n
3、 个不同的元素中取个不同的元素中取 m(nm)个元素个元素 区别： 排列与元素的顺序有关， 组合与元素的顺序无关，区别： 排列与元素的顺序有关， 组合与元素的顺序无关， 只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列只只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列只 要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的 组合组合 小试身手小试身手 1判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”) (1)从从 a， b， c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是三个不同的元素中任取两个元
4、素的一个组合是 C2 3 ( ) (2)从从 1,3,5,7 中任取两个数相乘可得中任取两个数相乘可得 C2 4个积 个积 ( ) (3)1,2,3 与与 3,2,1 是同一个组合是同一个组合 ( ) (4)C3 5 54360 ( ) 2C2 n 10，则，则 n 的值为的值为 ( ) A10 B5 C3 D4 答案：答案：B 3 从 从 9 名学生中选出名学生中选出 3 名参加名参加“希望英语希望英语”口语比赛， 不同选口语比赛， 不同选 法有法有 ( ) A504 种种 B729 种种 C84 种种 D27 种种 答案：答案：C 4计算计算 C2 8 C3 8 C2 9 _ 答案：答案：
5、120 典例典例 判断下列问题是组合问题还是排列问题：判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合设集合 Aa，b，c，d，e，则集合，则集合 A 的子集中含有的子集中含有 3 个个 元素的有多少个？元素的有多少个？ (2)某铁路线上有某铁路线上有 5 个车站， 则这条线上共需准备多少种车票？个车站， 则这条线上共需准备多少种车票？ 多少种票价？多少种票价？ (3)3人去干人去干5种不同的工作， 每人干一种， 有多少种分工方法？种不同的工作， 每人干一种， 有多少种分工方法？ (4)把把 3 本相同的书分给本相同的书分给 5 个学生，每人最多得个学生，每人最多得 1 本，有几种本，有几种
6、 分配方法？分配方法？ 组合的概念组合的概念 解解 (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题 (2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列 问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种 票价，故是组合问题票价，故是组合问题 (3)因为分工方法是从因为分工方法是从 5 种不同的工作中取出种不同的工作中取出 3 种，按一定次种，按一定次 序分给序分给 3 个人去干，故是排列问题个人去干，故是排列问题 (4)因为因为 3 本书是相
7、同的，无论把本书是相同的，无论把 3 本书分给哪三人，都不需本书分给哪三人，都不需 考虑他们的顺序，故是组合问题考虑他们的顺序，故是组合问题 区分排列与组合的方法区分排列与组合的方法 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的 标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选 择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看 是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有
8、顺序，是排列问 题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题 活学活用活学活用 判断下列问题是组合问题还是排列问题：判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)把把 5 本不同的书分给本不同的书分给 5 个学生，每人一本；个学生，每人一本； (2)从从 7 本不同的书中取出本不同的书中取出 5 本给某个同学；本给某个同学； (3)10 个人相互写一封信，共写了几封信；个人相互写一封信，共写了几封信； (4)10 个人互相通一次电话，共通了几次电话个人互相通一次电话，共通了几次电话 解：解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，由于书不同，每人每
9、次拿到的也不同，有顺序之分， 故它是排列问题故它是排列问题 (2)从从 7 本不同的书中，取出本不同的书中，取出 5 本给某个同学，在每种取法中本给某个同学，在每种取法中 取出的取出的 5 本并不考虑书的顺序，故它是组合问题本并不考虑书的顺序，故它是组合问题 (3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它 是排列问题是排列问题 (4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题 有关组合数的计算与证明有关组合数的计算与证明 典例典例 (1)计算计算 C4 10 C3 7 A 3 3； ； (
10、2)证明：证明：mCm n nCm 1 n 1 解解 (1)原式原式C4 10 A3 7 10 987 4321 765 2102100 (2)证明：证明：mCm n m n！ m！ nm ！ n n1 ！ m1 ！ nm ！ n n1 ！ m1 ！ nm ！ nCm 1 n 1 关于组合数公式的选取技巧关于组合数公式的选取技巧 (1)涉及具体数字的可以直接用涉及具体数字的可以直接用 n nmC m n 1 n nm n1 ！ m！ n1m ！ n！ m！ nm ！ Cm n进行计算 进行计算 (2)涉及字母的可以用阶乘式涉及字母的可以用阶乘式 Cm n n！ m！ nm ！计算 计算 (3)
11、计算时应注意利用组合数的性质计算时应注意利用组合数的性质 Cm n Cn m n 简化运算简化运算 活学活用活学活用 1计算：计算：C38 n 3n C3n n 21的值的值 解：解： 38n3n， 3n21n， 95n105 nN*，n10 C38 n 3n C3n 21 nC28 30 C30 31 C2 30 C1 31 30 29 21 31466 2求使求使 3Cx 7 x 35A2 x 4成立的成立的 x 值值 解：解：根据排列数和组合数公式，原方程可化为根据排列数和组合数公式，原方程可化为 3 x3 ！ x7 ！4！ 5 x4 ！ x6 ！， ， 即即3 x 3 4！ 5 x6，
12、即为 ，即为(x3)(x6)40 x29x220，解得，解得 x11 或或 x2 经检验知经检验知 x11 时原式成立时原式成立 3证明下列各等式证明下列各等式 (1)Cm n m 1 n1 Cm 1 n 1； (2)C0 n C1 n 1C2 n 2Cm 1 n m1Cm 1 n m 解：解：(1)右边右边m 1 n1 n1 ！ m1 ！ n1 m1 ！ m 1 n1 n1 ！ m1 ！ nm ！ n！ m！ nm ！ Cm n左边， 左边，原式成立原式成立 (2)左边左边(C0 n 1C1 n 1)C2 n 2C3 n 3Cm 1 n m1 (C1 n 2C2 n 2)C3 n 3Cm 1
13、 n m1(C2 n 3C3 n 3) Cm 1 n m1(C3n4C4 n 4)Cm 1 n m1 Cm 2 n m1Cm 1 n m1Cm 1 n m右边，右边，原式成立原式成立 简单的组合问题简单的组合问题 典例典例 在一次数学竞赛中，某学校有在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了初人通过了初 试，学校要从中选出试，学校要从中选出 5 人去参加市级培训，在下列条件中，人去参加市级培训，在下列条件中， 有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？ (1)任意选任意选 5 人；人； (2)甲、乙、丙三人必须参加；甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加甲、乙、丙三人不能参加 解
14、解 (1)C5 12 792 种不同的选法种不同的选法 (2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的 9 人中选人中选 2 人，人， 共有共有 C2 9 36 种不同的选法种不同的选法 (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的 9 人中选人中选 5 人，人， 共有共有 C5 9 126 种不同的选法种不同的选法 解答简单的组合问题的思考方法解答简单的组合问题的思考方法 (1)弄清要做的这件事是什么事；弄清要做的这件事是什么事； (2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组
15、合 问题；问题； (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果结合两计数原理利用组合数公式求出结果 活学活用活学活用 一个口袋内装有大小相同的一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和个白球和 1 个黑球个黑球 (1)从口袋内取出从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出从口袋内取出 3 个球， 使其中含有个球， 使其中含有 1 个黑球， 有多少种取法？个黑球， 有多少种取法？ (3)从口袋内取出从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：解：(1)从口袋内的从口袋内的 8 个球中取出个球中取出 3 个球，个球， 取法种数是取法种数是 C3 8 8 76 321 56 (2)从口袋内取出从口袋内取出 3 个球有个球有 1 个是黑球，于是还要从个是黑球，于是还要从 7 个白球中个白球中 再取出再取出 2 个，取法种数是个，取法种数是 C2 7 7 6 21 21 (3)由于所取出的由于所取出的 3 个球中不含黑球，也就是要从个球中不含黑球，也就是要从 7 个白球中取个白球中取 出出 3 个球，取法种数是个球，取法种数是 C3 7 7 65 321 35 “多练提能多练提能熟生巧熟生巧”见见“课时跟踪检测课时跟踪检测(五五)” ( (单击进入电子文档单击进入电子文档) )
