1、1 1.1 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.通过实例,总结分类加法计数原理与分步乘法计数原理的意义, 分清它们的条件和结论. 2.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理,理解两个原理的 区别与联系. 3.能根据具体问题的特征,选择分类加法计数原理或分步乘法计 数原理解决一些简单的实际问题. 1 2 3 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在 第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同 的方法. 知识拓展知识拓展完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同 的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法在第n类方案中
2、有mn 种不同的方法,则完成这件事情共有N=m1+m2+mn种不同的方法. 【做一做1】 从甲地到乙地一天之中有三次航班、两趟火车,某 人利用这两种交通工具在当天从甲地赶往乙地的方法有( ) A.2种 B.3种 C.5种 D.6种 解析:当天从甲地赶往乙地的方法有3+2=5种. 答案:C 1 2 3 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有 n种不同的方法,那么完成这件事共有N=mn种不同的方法. 知识拓展知识拓展完成一件事需要n个步骤,完成第1步有m1种不同的方法, 完成第2步有m2种不同的方法完成第n步有mn种不同的方法,那 么完成这件事共有N=m
3、1m2mn种不同的方法. 1 2 3 【做一做2】 已知集合A=1,2,B=3,4,5,从集合A和集合B中各 取一个元素,分别作为平面直角坐标系中的点的横坐标与纵坐标, 则不同点的个数为( ) A.5 B.6 C.10 D.12 解析:完成这件事可分两步:第一步,从集合A中任取一个元素作为 点的横坐标,有2种不同的方法;第二步,从集合B中任取一个元素作 为点的纵坐标,有3种不同的方法.由分步乘法计数原理,共有23=6 种不同的方法,故有6个不同的点. 答案:B 1 2 3 3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 分类加法计数原理和分步乘法计
4、数原理,解决的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题 区别 一 分类加法计数原理针对的是 “分类”问题 分步乘法计数原理针对的 是“分步”问题 区别 二 各种方法相互独立 各个步骤中的方法互相依 存 区别 三 任何一种方法都可以完成这 件事 只有各个步骤都完成才算 完成这件事 1 2 3 温馨提示温馨提示1.分类加法计数原理是对完成这件事的所有方法的一 个分类,分类时,首先要根据问题的特点确定一个分类的标准,然后 在确定的分类标准下进行分类;其次,分类时要注意满足一个基本 要求:完成这件事的任何方法必属于其中的某一类,并且分别属于 不同类的两种方法都是不同的方法.只有满足这些条件,才能使
5、用 分类加法计数原理. 2.分步乘法计数原理是指完成这件事的任何一种方法,都要分成 n个步骤.分步时,首先要根据问题的特点确定一个分步标准,其次, 分步时还要注意满足完成一件事情必须且只需连续完成这n个步 骤后才能完成.只有满足这些条件,才能使用分步乘法计数原理. 1 2 3 【做一做3】 某单位职工举行无偿献血活动,在体检合格的人 中,O型血的共有18人,A型血的共有10人,B型血的共有8人,AB型血 的共有3人.完成下面两件事:从中任选1人去献血;从四种血型 的人中各选1人去献血.不同选法的种数分别是( ) A.4 320,39 B.39,39 C.39,4 320 D.4 320,4 3
6、20 解析:任选1人去献血,即不论选哪种血型的哪个人,这件“任选1 人去献血”的事情都可以完成,所以用分类加法计数原理,共有 18+10+8+3=39种不同选法.要从四种血型的人中各选1人去献 血,即要在每种血型的人中依次选出1人后,这件“各选1人去献血”的 事情才能完成,所以用分步乘法计数原理,共有181083=4 320 种不同的选法. 答案:C 1 2 1.如何使用分类加法计数原理和分步乘法计数原理 剖析分类加法计数原理和分步乘法计数原理的根本区别在于:一 个与分类有关,一个与分步有关.区分的主要依据是分类时各类方 法都能独立完成这件事,并且各种方法互不影响;而分步时每一步 都不能独立完
7、成这件事,各个步骤相互依存,步与步之间有连续性. 在应用两个计数原理处理具体问题时,一般要按五个步骤进行: (1)明确完成的这件事是什么; (2)思考如何完成这件事; (3)判断它属于分类还是分步; (4)确定运用哪个计数原理; (5)进行运算. 1 2 示例 某校有 12 名语文教师、 13 名 数学教师和 15 名英语教师, 市教育局拟召开一个新课程 研讨会.该校若从语文、数学 或英语教师中选派 1 名教师 参会,求不同选派方法的种数 某大学食堂备有 6 种荤菜、5 种素菜、 3 种汤.现要配制 “一荤一素一汤”的 套餐,求可以配制 的不同套餐的种数 分 析 完成的这件 事是什么 选派 1
8、 名教师 配制套餐 如何完成 这件事 从语文、数学或英语教师中 任意选派 1 名 先配一种荤菜,再 配一种素菜,最后 配一种汤 1 2 分 析 它属于分类 还是分步 属于分类 属于分步 运用哪个 计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 进行运算 12+13+15=40(种) 653=90(种) 1 2 2.对于两个计数原理的综合应用问题,是应该先分类还是先分步 剖析对于两个计数原理的综合应用问题,一般是先分类再分步, 分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏;分步时要 注意步与步之间的连续性,同时应合理设计步骤的顺序,使各步互 不干扰. 我们也可以根据题意恰当合理地画出示意图或
9、者列出表格,使问 题的实质直观地显现出来,从而便于我们解题. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 分类加法计数原理的应用 【例1】 某校从高二的4个班中抽出一些同学组成数学课外小 组,其中一、二、三、四班分别抽出了4名、5名、6名、7名同学. 若任选其中1名同学担任组长,有多少种不同的选法? 分析本题要完成的一件事是“任意选出1名同学担任组长”,所以 只要从4个班抽出的同学中任意选出1名同学就算完成任务,故应用 分类加法计数原理求解. 解:分四类:第一类,从一班抽出的同学中选1名同学担任组长,有4 种不同选法;第二类,从二班抽出的同学中选1名同学担任组长,有5 种不同选法;第三类,从三班抽
10、出的同学中选1名同学担任组长,有6 种不同选法;第四类,从四班抽出的同学中选1名同学担任组长,有7 种不同选法.根据分类加法计数原理,共有4+5+6+7=22种不同选法. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思分类加法计数原理要求每一类方案中的各种方法都是相互独 立的,且每一类方案中的每一种方法都可以独立地完成这件事.在 应用该原理解题时,要根据问题的特点,确定好分类的标准.分类时 应满足:完成一件事的任何一种方法,必属于某一类且仅属于某一 类. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 在所有两位数中,个位上的数字大于十位上的数 字的两位数,共有多少个? 解:方法一:按十位上的数字分别是
11、1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类, 在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4 个、3个、2个、1个, 根据分类加法计数原理,符合题意的两位数的个数共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36. 方法二:按个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9的情况分成8类,在 每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6 个、7个、8个,根据分类加法计数原理知,符合题意的两位数的个 数共有1+2+3+4+5+6+7+8=36. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 分步乘法计数原理的应用 【例2】 已知集合M=-3,-2,-1,0,1,2,P(a,b)
12、(a,bM)表示平面上 的点,问: (1)点P可表示平面上多少个不同的点? (2)点P可表示平面上多少个第二象限内的不同的点? 分析完成“确定点P”这件事,需要依次确定点P的横坐标和纵坐标, 应运用分步乘法计数原理求解. 解:(1)确定平面上的点P(a,b),可分两步完成:第一步确定a的值,有6 种不同方法;第二步确定b的值,也有6种不同方法.根据分步乘法计数 原理,得到平面上不同的点P的个数为66=36. (2)确定平面上第二象限内的点P(a,b),可分两步完成:第一步确定a 的值,因为a0,所以 有2种不同方法.由分步乘法计数原理,得到平面上第二象限内不同的 点P的个数为32=6. 题型一
13、 题型二 题型三 题型四 反思反思利用分步乘法计数原理解决问题时应注意:(1)要按事件发生 的过程合理分步,即分步是有先后顺序的;(2)各步中的方法互相依 存,缺一不可,只有各个步骤都完成才算完成这件事. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练2】 现要排一份5天的值班表,每天有1人值班,共有5 人,每人都可以值多天班或不值班,但相邻两天不准由同一人值班, 问此值班表有多少种不同的排法? 解:先排第1天,可排5人中任意一人,有5种排法; 再排第2天,此时不能排第1天已排的人,有4种排法; 再排第3天,此时不能排第2天已排的人,有4种排法; 同理第4,5天均有4种排法. 由分步乘法计数原理,
14、知值班表不同排法的种数是 54444=1 280. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三 两个计数原理的综合应用 【例3】 用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色,每个区域涂 一种颜色,若要求相邻(有公共边)的区域不同色,求不同的涂色方法 的种数. 分析因为要求相邻(有公共边)的区域不同色,所以可按“1号区域 与4号区域同色”和“1号区域与4号区域不同色”两种情况分类,然后 根据两个原理分别求解. 1 2 3 4 题型一 题型二 题型三 题型四 解:第一类:1号区域与4号区域同色,此时可分三步来完成,第一步, 涂1号区域和4号区域,有5种涂法;第二步,涂2号区域,只要不与1号 区域和4号区域同
15、色即可,因此有4种涂法;第三步,涂3号区域,只要 不与1号区域和4号区域同色即可,因此也有4种涂法.由分步乘法计 数原理知,有544=80种涂法.第二类:1号区域与4号区域不同色, 此时可分四步来完成,第一步,涂1号区域,有5种涂法;第二步,涂4号 区域,只要不与1号区域同色即可,因此有4种涂法;第三步,涂2号区 域,只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此有3种涂法;第四步, 涂3号区域,只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此也有3种涂 法.由分步乘法计数原理知,有5433=180种涂法.依据分类加 法计数原理知,不同涂色的方法的种数为80+180=260. 题型一 题型二 题型三 题型四
16、 反思反思涂色(种植)问题一般是综合应用两个计数原理求解,但也有 几种常用方法:(1)按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法 计数原理分析;(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论,适用于“区域、 点、线段”等问题,用分类加法计数原理分析.其中,涂色问题中有关 空间几何体的,将空间问题平面化,转化成平面区域的涂色问题. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练3】 编号为A,B,C,D,E的五个小 球,放到如图所示的五个盒子中,要求每个盒子 只能放一个小球,且A球不能放到1,2号,B球必 须放到与A相邻的盒子中,求不同的放法的种数. 解:根据A球的位置分三类: (1)若A球放入3号盒里,则
17、B球只能放在4号盒里,剩下的三个盒子 分别放C,D,E三球,共有321=6种放法. (2)若A球放入5号盒子里,则B球只能放入4号盒中,剩下的三个盒 子分别放C,D,E三球,共有321=6种放法. (3)若A球放入4号盒子里,则B球可以放到2号、3号或5号盒子中, 剩下的三个盒子分别放C,D,E三球,只有3321=18种放法. 综合上述,由分类加法计数原理得不同放法的种数共有 6+6+18=30种. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四 易错辨析 易错点:因混淆分类与分步而致错 【例4】 某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中 7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人,求不同的 选法的种数. 错解第一步,从会英语的7人中选一人,有7种选法; 第二步,从会日语的3人中选一人,有3种选法; 故共有73=21(种)不同的选法. 错因分析错误的根本原因是未分清楚会英语的是7人还是9人,实 际上有一人既会英语又会日语. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:既会英语又会日语的有7+3-9=1人,仅会英语的有6人,仅会日 语的有2人. 先分类后分步,从仅会英、日语的人中各选1人有62种选法;从 仅会英语与英、日语都会的人中各选1人有61种选法;从仅会日 语与英、日语都会的人中各选1人有21种选法. 根据分类加法计数原理,共有62+61+21=20种不同选法.
