1、1 1.3 3.1 1 二项式定理 1.理解二项式定理及二项展开式的特征,掌握二项展开式的通项. 2.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式,运用通项求某些 特定项、二项式系数或项的系数. 3.二项式定理的逆用是对二项式定理考查的一个重点,对应二项 式的结构特征,要寻找每一项的规律与联系,学习中应注意次数的 变化及系数与组合数的联系. 1 2 1.二项式定理 二项展开式:(a+b)n=C 0 + C1 1 + + C + + C (nN*)叫做二项式定理,其中各项的系数C (k 0,1,2,n)叫做二项式系数. 归纳总结归纳总结二项式(a+b)n的展开式有(n+1)项,是和的形式,各项的 幂指
2、数的规律是: (1)各项的次数都等于二项式的幂指数n. (2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按 升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n. 解:(a+2b)6=C6 0a6+C61a5(2b)+C62a4(2b)2+C63a3(2b)3+C64a2(2b)4+C65 a(2b)5+C6 6(2b)6=a6+12a5b+60a4b2+160a3b3+240a2b4+192ab5+64b6. 【做一做1】 写出(a+2b)6的展开式. 1 2 2.二项展开式的通项 名师点拨名师点拨1.利用二项展开式的通项可以求出展开式中任意指定 的项(或系数).如常数项、有理项等
3、. 2.(a+b)n与(b+a)n的值相同,但展开式的第k项却不一定相同. (a+b)n的二项展开式中的第 k+1项C an-kbk叫做二项展开式的通 项,用 Tk+1表示,即 Tk+1=C an-kbk (其中 0kn,kN,nN*). 【做一做2】 (x-y)8的二项展开式中,第4项的系数 为 .(用数字回答) 答案:-56 解析:由已知 T4=C8 3x5(-y)3=-56x5y3,则第 4 项系数为-56. 1 2 1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数 剖析两者是不同的概念.C (r=0,1,2,n)叫做二项式系数,而某 一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x
4、)7的二项展开式的 第 4 项的二项式系数为C7 3=35,而其第 4 项的系数为C73 23=280. 1 2 2.如何用组合的知识理解二项式定理 剖析由于(a+b)n=( + )( + )( + ) 个 ,将(a+b)看作是含有 红球(a)、 白球(b)的盒子,则(a+b)n的展开式的每一项可以理解为从 n 个盒子中的每个盒子里取出一个球的可能结果,而其前面的系数则 是这种结果的方法数,如 an-rbr是从这 n 个盒子中取出 r 个白球(b)、 (n-r)个红球(a)的情况,其方法数为n r,因此有 (a+b)n=n 0an+ n 1a n-1 b+n ran-rbr+ n nbn(nN
5、*). 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 二项式定理的正用与逆用 【例 1】 (1)求 2 + 1 4 的展开式; (2)化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1). 分析(1)可直接用二项式定理展开或先对括号内式子化简再展开. (2)分析式子的结构形式,逆用二项式定理求解. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)方法一:直接利用二项式定理展开并化简: 2 + 1 4 = C4 0(2 )4 1 0 + C4 1(2 )3 1 + C4 2 (2 )2 1 2 + C4 3(2 ) 1 3 + C4 4 (2 )0 1 4 =16x2+32x+
6、24+8 + 1 2. 方法二: 2 + 1 4 = 2+1 4 = 1 2(2x+1) 4 = 1 2 C4 0(2x)4 10+C41 (2x)3 11+C4 2 (2x)2 12+C4 3(2x) 13+C44 (2x)0 14 = 1 2(16x 4+32x3+24x2+8x+1) =16x2+32x+24+8 + 1 2. (2)原式 =C5 0(x-1)5+C51(x-1)4+C52(x-1)3+C53(x-1)2+C54(x-1)+C55-1=(x-1)+15-1= x5-1. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思1.形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对 于形式
7、较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进 行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式 (a+b)n的展开式是正确解答与二项式定理有关的问题的前提. 2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点,a的指数是从 高到低,b的指数是从低到高,a,b的指数和都相等,如果项的系数是 正负相间,那么是(a-b)n的形式. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练 1】 (1)求 2- 3 22 5 的展开式; (2)化简:C 0(x+1)n-C1(x+1) n-1 +(-1)rC (x+1)n-r+(-1)nC ; (3)化简:C 1+3C2+9C3+3 n-1 C . 解
8、:(1)方法一: 2- 3 22 5 = C5 0(2x)5+C51(2x)4 - 3 22 + C5 2(2x)3 - 3 22 2 + C5 3(2x)2 - 3 22 3 + C5 4(2x) - 3 22 4 + C5 5 - 3 22 5 =32x5-120x2+180 135 4 + 405 87 243 3210. 方法二: 2- 3 22 5 = (43-3)5 3210 = 1 3210(1 024x 15-3 840x12+5 760x9-4 320x6+1 620x3-243)=32x5-120x2+180 135 4 + 405 87 243 3210. 题型一 题型二
9、 题型三 题型四 (2)C 0(x+1)n-C1(x+1) n-1 +(-1)rC (x+1)n-r+(-1)nC =(x+1 )-1n=xn. (3)可设 Sn=C 1+3C2+9C3+3 n-1 C , 于是 3Sn=3C 1+32C2+33C3+3nC = C 0+3C1+32C2+33C3+3nC-1, 则 Sn=(1+3) -1 3 = 4-1 3 . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 利用通项求二项展开式中的特定项 【例 2】 已知在 x 3 - 1 2 3 的展开式中,第 6 项为常数项. (1)求n; (2)求含x2的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 分析利用展
10、开式的通项公式,求出当x的次数为0时n的值,再求解 第(2)问、第(3)问. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)由通项公式知,展开式中第 k+1 项为 Tk+1=C ( x 3 )n-k - 1 2 3 = C ( 1 3)n-k - 1 2 - 1 3 = - 1 2 C -2 3 . 第 6 项为常数项, k=5,且 n-52=0,n=10. (2)由(1)知 Tk+1= - 1 2 C10 10-2 3 . 令10-2 3 =2,则 k=2. 故 x2的系数为 - 1 2 2 C10 2 = 1 4 45=45 4 . 题型一 题型二 题型三 题型四 (3)当 Tk+1为有理项时
11、,10-2 3 为整数,0k10,且 kN. 令10-2 3 =z,则 k=5-3 2z,z 为偶数,从而求得当 z=2,0,-2 时,k=2,5,8 符合条件. 有理项为 T3=C10 2 - 1 2 2 x2=45 4 x2, T6=C10 5 - 1 2 5 =-63 8 , T9=C10 8 - 1 2 8 x -2 = 45 256x -2 . 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思1.求二项展开式的特定项常见题型及处理措施: (2)求常数项.对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项). (3)求有理项.对于有理数,一般是根据通项公式所得到的项,其所 有的字母的指数恰好都是整
12、数的项.解这类问题必须合并通项公式 中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除 性来求解. (4)求整式项.求二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母 的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致. 提醒:在实际求解时,若通项中含有根式,宜把根式化为分数指数 幂,以减少计算中的错误. 2.常见问题:求常数项(未知量的指数为零),求有理项(项的指数为 整数),求某一项.注意某项的系数与某项的二项式系数的区别. (1)求第 k 项.Tk=C -1an-k+1b k-1 . 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练 2】 (1) 2 - 1 x 3 8 的展开式中的常数项 是 ;
13、 (2)若 x- a x 9的展开式中 x3 的系数是-84,则 a 的值 为 ; (3)( x 3 )9展开式中含 x 的有理项共有 项. 解析:(1)展开式的通项为 Tk+1=C8 2 8- - 1 3 =(-1)k 1 2 8-k 8 kx8-k-1 3k=(-1)k 1 2 8- C8 8-4 3(0k8,kN). 令 8-4 3k=0,得 k=6,T7=(-1) 6 1 2 8-6 C8 6=7. 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)展开式的通项为 Tk+1=C9 x 9-k (-a)k 1 = C9 (-a)kx 9-2k (0k9,k N),当 9-2k=3 时,解得 k=3,
14、代入得 x3的系数, 根据题意得C9 3(-a)3=-84,解得 a=1. (3)展开式的通项为 Tk+1=C9 ( ) 9-k (-1)k ( 3 )k=C9 (-1)k 27- 6 (0k9,kN),要求含 x 的有理项,只需使27- 6 Z,则 4+3- 6 Z,所 以 k=3 或 9. 当 k=3 时,27- 6 =4,T4=(-1)3C9 3x4=-84x4; 当 k=9 时,27- 6 =3,T10=(-1)9C9 9x3=-x3, 即展开式中含 x 的有理项共有 2 项. 答案:(1)7 (2)1 (3)2 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三 利用二项式定理解整除问题及求余数
15、问题 【例3】 (1)用二项式定理证明1110-1能被100整除; (2)求9192被100除所得的余数. 分析利用二项式定理证明整除问题的关键是判断所证式子与除 数之间的联系,要掌握好对式子的拆分,如本例的第(1)小题,可以利 用1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(100- 9)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解. 题型一 题型二 题型三 题型四 (1)证明1110-1=(10+1)10-1=(1010+C10 1 109+C10 9 10+1)-1 =1010+C10 1 109+C10 2 108+102 =100(108+C10
16、 1 107+C10 2 106+1), 1110-1能被 100 整除. (2)解法一 9192=(100-9)92=C92 0 10092-C92 1 10091 9+C92 2 10090 92- +C92 92992,展开式中前 92项均能被 100整除,只需求最后一项除以 100的余数. 又 992=(10-1)92=C92 0 1092-C92 1 1091+C92 90 102-C92 91 10+1, 前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前 面的数中分离出 1 000,结果为 1 000-919=81,故 9192被 100 除所得 余数为 8
17、1. 题型一 题型二 题型三 题型四 解法二 前91项均能被100整除,剩下两项和为9290+1=8 281,显然8 281 除以100所得余数为81. 反思反思利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题,通常需将底 数化成两数的和或差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系. 9192=(90+1)92=C92 0 9092+C92 1 9091+C92 90 902+C92 91 90+C92 92. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练3】 (1)试求2 02060除以7所得的余数; (2)求证:32n+2-8n-9(nN*)能被64整除. (1)解:2 020=7288+4, 2
18、02060=(7288+4)60=C60 0 (7288)60+C60 1 (7288)594+ +C60 59(7288)459+C6060460, 它的展开式中,除末项 460外,其余各项均能被 7整除.故所求 余数与 460除以 7 的余数相同,而 460=(22)60=2120=(23)40=840=(7+1)40 又(7+1)40=C40 0 740+C40 1 739+C40 2 738+C40 397+C4040, 它的展开式中,除末项C40 40外,其余各项均可被 7整除,从而其 余数为C40 40,即 1. 2 02060除以 7的余数为 1. 题型一 题型二 题型三 题型四
19、 (2)证明 32n+2-8n-9 =(8+1) n+1 -8n-9=C+1 0 8 n+1 +C+1 1 8n+C+1 -1 82+C+1 8+C+1 +1- 8n-9=C+1 0 8 n+1 +C+1 1 8n+C+1 -1 82. 该式每一项都含因式 82,能被 64 整除. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四 易错辨析 易错点:混淆项的系数和二项式系数而致错 【例 4】 ( 2x-1)5的展开式中第 4 项的系数是( ) A.10 B.-10 C.20 D.-20 错解:第 4 项的系数为C5 3=10.故选 A. 错因分析把二项展开式中项的系数与二项式系数混淆了. 正解:由展开式通项得T4= =-102x2=-20x2,则第4 项的系数为-20. 答案:D 反思反思求某一项的二项式系数或某项的系数,主要是利用通项求出 相应的项,但要注意某一项的二项式系数与系数的区别. C5 3 ( 2x)2 (-1)3
