1、预习课本预习课本 P7074，思考并完成以下问题思考并完成以下问题 1什么是正态曲线和正态分布？什么是正态曲线和正态分布？ 2正态曲线有什么特点？正态曲线有什么特点？ 3正态曲线正态曲线 ， ，(x)中参数中参数 ， 的意义是什么？的意义是什么？ 正态分布正态分布 新知初探新知初探 1正态曲线及其性质正态曲线及其性质 (1)正态曲线：正态曲线： 函数函数 ， ，(x) ， 其中实数， 其中实数 ， (0)为参数， 我们称为参数， 我们称 ， ，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正的图象为正态分布密度曲线，简称正 态曲线态曲线 (2)正态曲线的特点：正态曲线的特点： 曲线位于曲线位于 x 轴轴
2、 ，与，与 x 轴不相交；轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线曲线是单峰的，它关于直线 对称；对称； 1 2e 2 2 () 2 x ，x(，) 上方上方 x 曲线在曲线在 x 处达到峰值处达到峰值 ； 曲线与曲线与 x 轴之间的面积为轴之间的面积为 ； 当当 一定时，曲线的位置由一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着确定，曲线随着 的变化而沿的变化而沿 x 轴平移；轴平移； 当当一定时， 曲线的形状由一定时， 曲线的形状由确定，确定， 越小， 曲线越越小， 曲线越“ ”， 表示总体的分布越表示总体的分布越 ； 越大，曲线越越大，曲线越“ ”，表示总体的，表示总体的 分布越分布越 ，如图所示，如
3、图所示 1 2 1 瘦高瘦高 集中集中 矮胖矮胖 分散分散 点睛点睛 正态曲线正态曲线 ， ，(x)中中， 参数参数 是反映随机变量是反映随机变量 取值的平均水平的特征数取值的平均水平的特征数，可以用样本均值可以用样本均值 E(X)去估计去估计； 是衡量随机变量总体波动大小的特征数是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标可以用样本标 准差准差 D X 去估计去估计 2正态分布正态分布 (1)如果对于任何实数如果对于任何实数 a，b(ab)，随机变量，随机变量 X 满足满足 P(aXb) ，则称随机变量，则称随机变量 X 服从正态分布服从正态分布 (2)正态分布完全由参数正态分布完全由参
4、数 和和 确定，因此正态分布常记作确定，因此正态分布常记作 如果随机变量如果随机变量 X 服从正态分布， 则记为服从正态分布， 则记为 3正态变量在三个特殊区间内取值的概率正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P (X) ； (2)P (2X2) ； (3)P (3X3) a b ，(x)dx N(，2) XN(，2) 0.682 6 0.954 4 0.997 4 小试身手小试身手 1判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”) (1)函数函数 ， ，(x)中参数中参数 ， 的意义分别是样本的均值与方差的意义分别是样本的均值与方差 (
5、) (2)正态曲线是单峰的，其与正态曲线是单峰的，其与 x 轴围成的面积是随参数轴围成的面积是随参数 ， 的变化而变化的的变化而变化的 ( ) (3)正态曲线可以关于正态曲线可以关于 y 轴对称轴对称 ( ) 2若若 N 1，1 4 ，6，则，则 E()等于等于 ( ) A1 B3 2 C6 D36 答案：答案：C 3设随机变量设随机变量 N(，2), 且且 P(c)P(c), 则则 c 等于等于 ( ) A0 B C D 答案：答案：D 典例典例 某次我市高三教学质量检测某次我市高三教学质量检测 中，中， 甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如 图所示图所示(由于人
6、数众多，由于人数众多， 成绩分布的直方成绩分布的直方 图可视为正态分布图可视为正态分布), 则由如图曲线可得下则由如图曲线可得下 列说法中正确的一项是列说法中正确的一项是 ( ) A甲科总体的标准差最小甲科总体的标准差最小 B丙科总体的平均数最小丙科总体的平均数最小 C乙科总体的标准差及平均数都居中乙科总体的标准差及平均数都居中 D甲、乙、丙的总体的平均数不相同甲、乙、丙的总体的平均数不相同 正态曲线及其性质正态曲线及其性质 解析解析 由题中图象可知三科总体的平均数由题中图象可知三科总体的平均数(均值均值)相等，相等， 由正态密度曲线的性质，可知由正态密度曲线的性质，可知 越大，正态曲线越扁平
7、；越大，正态曲线越扁平； 越越 小， 正态曲线越尖陡， 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、小， 正态曲线越尖陡， 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、 乙、丙乙、丙 故选故选 A 答案答案 A 利用正态曲线的性质可以求参数利用正态曲线的性质可以求参数 ， (1)正态曲线是单峰的，它关于直线正态曲线是单峰的，它关于直线 x 对称，由此性质结对称，由此性质结 合图象求合图象求 (2)正态曲线在正态曲线在 x 处达到峰值处达到峰值 1 2，由此性质结合图象可 ，由此性质结合图象可 求求 (3)由由 的大小区分曲线的胖瘦的大小区分曲线的胖瘦 活学活用活学活用 若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该
8、函数的最大值若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值 为为 1 4 2，求该正态分布的概率密度函数的解析式 ，求该正态分布的概率密度函数的解析式 解：解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数， 所以正态曲线关于所以正态曲线关于 y 轴对称，即轴对称，即 0，而正态分布的概率密，而正态分布的概率密 度函数的最大值是度函数的最大值是 1 4 2，所以 ，所以 1 2 1 4 2， ， 解得解得 4 故函数的解析式为故函数的解析式为 ， ，(x) 1 4 2 e 2 32 x ，x(，) 利用正态分布的对称性求概率利用正态分布的对称性求概率
9、典例典例 设设 XN(1,22)，试求：，试求： (1)P(1X3)；(2)P(3X5) 解解 因为因为 XN(1,22)，所以，所以 1，2 (1)P (1X3)P (12X12) P (X)0682 6 (2)因为因为 P (3X5)P (3X1)， 所以所以 P (3X5)1 2P ( 3X5)P (1X3) 1 2P (1 4X14)P (12X12) 1 2P ( 2X2)P (X) 1 2(0 954 40682 6)0135 9 正态变量在某个区间内取值概率的求解策略正态变量在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x
10、 轴之间面积为轴之间面积为 1 (2)熟记熟记 P (X)， P (2X2), P (3 X3)的值的值 (3)注意概率值的求解转化：注意概率值的求解转化： P(Xa)1P(Xa)； P(Xa)P(Xa)； 若若 b，则，则 P(Xb)1 P bXb 2 活学活用活学活用 1已知随机变量已知随机变量 XN(2，2)，若，若 P (Xa)032，则，则 P (aX4a) _ 解析：解析：由正态分布图象的对称性可得：由正态分布图象的对称性可得： P (aX4a)12P (Xc1)P (Xc1) (1)求求 c 的值；的值； (2)求求 P (4c1)P (Xc1)，故有，故有 2(c1)(c1)2
11、，c2 (2)P (4X8)P (223X223)P (2X2) 0954 4 正态分布的实际应用正态分布的实际应用 典例典例 在某次数学考试中，考生的成绩在某次数学考试中，考生的成绩 X 服从一个正态服从一个正态 分布，即分布，即 XN(90,100) (1)试求考试成绩试求考试成绩 X 位于区间位于区间(70,110)上的概率是多少？上的概率是多少？ (2)若这次考试共有若这次考试共有 2 000 名考生，试估计考试成绩在名考生，试估计考试成绩在 (80,100)间的考生大约有多少人？间的考生大约有多少人？ 解解 XN(90,100)，90， 10010 (1)由于由于 X 在区间在区间(
12、2，2)内取值的概率是内取值的概率是 0954 4，而，而 该正态分布中，该正态分布中，29021070，290210110， 于是考试成绩于是考试成绩 X 位于区间位于区间(70,110)内的概率就是内的概率就是 0954 4 (2)由由 90，10，得，得 80，100 由于变量由于变量 X 在区间在区间(，)内取值的概率是内取值的概率是 0682 6， 所以考试成绩所以考试成绩 X 位于区间位于区间(80,100)内的概率是内的概率是 0682 6，一共有，一共有 2 000 名考生，名考生， 所以考试成绩在所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有间的考生大约有 2 0000682
13、61 365(人人) 正态曲线的应用及求解策略正态曲线的应用及求解策略 解答此类题目的关键在于将待求的问题向解答此类题目的关键在于将待求的问题向(，), (2，2), (3，3)这三个区间进行转化，然后这三个区间进行转化，然后 利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到 化归思想及数形结合思想化归思想及数形结合思想 活学活用活学活用 1 某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站， 由于交通拥挤， 某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站， 由于交通拥挤， 所需时间所需时间(单位：分单位：分)服从服从 XN(50,102)，则他在时间
14、段，则他在时间段(30,70) 内赶到火车站的概率为内赶到火车站的概率为_ 解析：解析：XN(50,102)，50，10 P (30X70)P (2X2)0954 4 答案：答案：0954 4 2某厂生产的圆柱形零件的外直径某厂生产的圆柱形零件的外直径 X 服从正态分布服从正态分布 N(4,0052)， 质量检查人员从该厂生产的质量检查人员从该厂生产的 1 000 个零件中随机抽查一个， 测得个零件中随机抽查一个， 测得 它的外直径为它的外直径为 37 cm，该厂生产的这批零件是否合格？，该厂生产的这批零件是否合格？ 解：解：由于由于 X 服从正态分布服从正态分布 N(4,0052)， 由正态分布的性质，可知由正态分布的性质，可知 正态分布正态分布 N(4,0052)在在(43005,43005)之外的取之外的取 值的概率只有值的概率只有 0003， 37 (385,4,15)， 这说明在一次试验中， 出现了几乎不可能发生的小概率事件，这说明在一次试验中， 出现了几乎不可能发生的小概率事件， 据此可以认为该批零件是不合格的据此可以认为该批零件是不合格的 “多练提能多练提能熟生巧熟生巧”见见“课时跟踪检测课时跟踪检测(十六十六)” ( (单击进入电子文档单击进入电子文档) )
