1、数学数学 1.21.2 排列与组合排列与组合 1.2.11.2.1 排排 列列 第一课时第一课时 排列与排列数公式排列与排列数公式 数学数学 目标导航目标导航 课标课标 要求要求 1.1.理解排列的概念理解排列的概念, ,能正确写出一些简单问题的所有排列能正确写出一些简单问题的所有排列. . 2.2.会用排列数公式进行求值和证明会用排列数公式进行求值和证明. . 3.3.能用排列数公式解决简单的排列问题能用排列数公式解决简单的排列问题. . 素养素养 达成达成 1.1.通过对排列概念的理解通过对排列概念的理解, ,培养直观想象的核心素养培养直观想象的核心素养. . 2.2.通过运用排列数公式进
2、行求值和证明通过运用排列数公式进行求值和证明, ,培养数学运算与逻辑培养数学运算与逻辑 推理的核心素养推理的核心素养. . 3.3.通过运用排列数公式解决简单的排列问题通过运用排列数公式解决简单的排列问题, ,培养数学运算与培养数学运算与 数学建模的核心素养数学建模的核心素养. . 数学数学 新知导学新知导学 素养养成素养养成 课堂探究课堂探究 素养提升素养提升 数学数学 1.1.排列的定义排列的定义 (1)(1)排列排列 一般地一般地, ,从从n n个个 元素中取出元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素, ,按照一定的顺序排成一按照一定的顺序排成一 列列, ,叫做从叫做从n n个个 元素
3、中取出元素中取出m m个元素的一个排列个元素的一个排列. . (2)(2)相同排列相同排列 两个排列相同两个排列相同, ,当且仅当两个排列的元素当且仅当两个排列的元素 , ,且元素且元素 的的 也相同也相同. . 思考思考1:1:一个排列中一个排列中, ,同一个元素能重复出现吗同一个元素能重复出现吗? ? 答案答案: :不能不能. .因为给出的因为给出的n n个元素互不相同个元素互不相同, ,且抽取的且抽取的m m个元素是从个元素是从n n个元个元 素中不重复地抽取的素中不重复地抽取的. . 新知导学新知导学素养养成素养养成 不同不同 不同不同 完全相同完全相同 排列顺序排列顺序 数学数学 思
4、考思考2:2:如何判断一个具体问题为排列问题如何判断一个具体问题为排列问题? ? 答案答案: :判断一个具体问题是不是排列问题判断一个具体问题是不是排列问题, ,就看从就看从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素个元素 后后, ,再安排这再安排这m m个元素时与顺序是否有关个元素时与顺序是否有关, ,有关就是排列有关就是排列, ,无关就不是排列无关就不是排列. . 2.2.排列数公式排列数公式 排列数定义排列数定义 从从 n n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m(mm(mn)n)个元素的所有个元素的所有 的的 个数叫做从个数叫做从 n n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m
5、m 个元素的排列数个元素的排列数 排列数表示法排列数表示法 Am n 乘积式乘积式 Am n = = 排列数排列数 公式公式 阶乘式阶乘式 Am n = = ! ! n nm 性质性质 A n n = = ,0!=,0!= 备注备注 n,mn,mN N * *,m ,mn n 不同排列不同排列 n(nn(n- -1)(n1)(n- -2)(n2)(n- -m+1)m+1) n!n! 1 1 数学数学 思考思考 3:3:排列数公式排列数公式Am n (n,m(n,mN N * *,m ,mn)n)表示几个数相乘表示几个数相乘? ?第一个数与最后一第一个数与最后一 个数分别是什么个数分别是什么?
6、? 答案答案: :排列数公式排列数公式Am n (n,m(n,mN N * *,m ,mn)n)表示表示 m m 个连续自然数相乘个连续自然数相乘, ,第第 1 1 个数是个数是 n,n,最后最后 1 1 个数是个数是 n n- -m+1.m+1. 数学数学 名师点津名师点津 (1)(1)排列定义的两个要素排列定义的两个要素 一是“取出不同元素”一是“取出不同元素”, ,二是“将元素按一定顺序排列”二是“将元素按一定顺序排列”. . 排列中元素所满足的两个特性排列中元素所满足的两个特性 a.a.无重复性无重复性: :从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个不同的元素个不
7、同的元素, ,否则不是排否则不是排 列问题列问题. . b.b.有序性有序性: :安排这安排这m m个元素时是有顺序的个元素时是有顺序的, ,有序的就是排列有序的就是排列, ,无序的不是无序的不是 排列排列. .检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置, ,看结果是否发生变看结果是否发生变 化化, ,有变化就是有顺序有变化就是有顺序, ,无变化就是无顺序无变化就是无顺序. . (2)(2)全排列全排列: :一般地一般地,n,n个不同的元素全部取出的一个排列个不同的元素全部取出的一个排列, ,叫做叫做n n个不同元素个不同元素 的一个全排列的一个全排列, ,即
8、即A n n =n(n=n(n- -1)(n1)(n- -2)2)3 32 21,1,记作记作 n!.n!. 数学数学 (3)(3)排列数公式排列数公式. . 排列数公式的推导是利用分步乘法计数原理完成的一个排列排列数公式的推导是利用分步乘法计数原理完成的一个排列, ,即先排第一个位置即先排第一个位置, , 有有 n n 个元素可供选择个元素可供选择, ,有有 n n 种方法种方法, ,排第排第 2 2 个位置有个位置有(n(n- -1)1)个元素可供选择个元素可供选择, ,有有(n(n- -1)1) 种排列方法种排列方法, , ,依此类推依此类推, ,排第排第(n(n- -m+1)m+1)个
9、位置个位置, ,有有(n(n- -m+1)m+1)种不同的方法种不同的方法, ,故从故从 n n 个个 不同元素中取出不同元素中取出 m m 个元素的排列数公式是个元素的排列数公式是Am n =n(n=n(n- -1)(n1)(n- -2)2)(n(n- -m+1).m+1). 排列数公式排列数公式Am n =n(n=n(n- -1)(n1)(n- -2)2)(n(n- -m+1)m+1)的特点是的特点是: :该公式共有该公式共有 m m 个数连乘个数连乘, ,公式公式 右边的第一个因数是右边的第一个因数是 n,n,后面的每一个因数比它前面的因数少后面的每一个因数比它前面的因数少 1,1,最后
10、一个因数是最后一个因数是 n n- -(m(m- -1).1).实际上公式有三个特点实际上公式有三个特点: :第一个因数是第一个因数是n,n,最后一个因数是最后一个因数是n n- -m+1,m+1,共是共是m m个个 连续自然数的连乘积连续自然数的连乘积. .该公式主要适用于该公式主要适用于 m,nm,n 已知的具体计算和已知的具体计算和 m m 较小时含排列数较小时含排列数 的方程的求解的方程的求解. . 排列数公式的阶乘形式排列数公式的阶乘形式: :Am n = = ! ! n nm , ,该公式主要用于与排列数有关的证明、 解该公式主要用于与排列数有关的证明、 解 方程等方程等, ,用该
11、公式时要注意以下公式的变形用该公式时要注意以下公式的变形:n!=n(n:n!=n(n- -1)!=n(n1)!=n(n- -1)(n1)(n- -2)!2)!等等. . 数学数学 课堂探究课堂探究素养提升素养提升 题型一题型一 排列概念的理解排列概念的理解 例例11 下列问题是排列问题吗下列问题是排列问题吗? ?并说明理由并说明理由. . (1)(1)从从1,2,3,41,2,3,4四个数字中四个数字中, ,任选两个做加法任选两个做加法, ,其结果有多少种不同的其结果有多少种不同的 可能可能? ? (2)(2)从从1,2,3,41,2,3,4四个数字中四个数字中, ,任选两个做除法任选两个做除
12、法, ,其结果有多少种不同的其结果有多少种不同的 可能可能? ? (3)(3)会场有会场有100100个座位个座位, ,要求选出要求选出3 3个座位有多少种方法个座位有多少种方法? ?若选出若选出3 3个座个座 位安排位安排3 3位客人入座位客人入座, ,又有多少种方案又有多少种方案? ? (4)6(4)6名同学互发短信名同学互发短信, ,共发出多少条短信共发出多少条短信? ? 数学数学 解解: :(1)(1)不是不是;(2);(2)是是;(3);(3)第一问不是第一问不是, ,第二问是第二问是;(4);(4)是是. . 理由理由: :由于加法运算满足交换律由于加法运算满足交换律, ,所以选出
13、的两个元素做加法时所以选出的两个元素做加法时, ,与两个与两个 元素的顺序无关元素的顺序无关, ,但做除法时但做除法时, ,两个元素谁作除数两个元素谁作除数, ,谁作被除数不一样谁作被除数不一样, ,此此 时与顺序有关时与顺序有关, ,故做加法不是排列问题故做加法不是排列问题, ,做除法是排列问题做除法是排列问题. .“选座选座”问问 题与顺序无关题与顺序无关, ,故不是排列问题故不是排列问题, ,“入座入座”问题同问题同“排列排列”问题一样问题一样, ,与与 顺序有关顺序有关, ,故选出故选出3 3个座位安排个座位安排3 3位客人是排列问题位客人是排列问题. .互发短信是有序的互发短信是有序
14、的, , 故是排列问题故是排列问题. . 数学数学 方法技巧方法技巧 判断一个事件是否与顺序有关的方法判断一个事件是否与顺序有关的方法: :通过“变换元素的位置”进通过“变换元素的位置”进 行判断行判断, ,若变换后结果有变化若变换后结果有变化, ,则表明该事件与顺序有关则表明该事件与顺序有关; ;若结果无若结果无 变化变化, ,则表明该事件与顺序无关则表明该事件与顺序无关. . 数学数学 题型二题型二 排列数公式的应用排列数公式的应用 例例22 (12(12分分) )根据要求完成下列各题根据要求完成下列各题. . (1)(1)计算计算: : 54 99 65 1010 AA AA ; ; (
15、2)(2)解不等式解不等式: : 8 A x 66 2 8 A x ; ; 规范解答规范解答: :(1)(1)原式原式= = 44 99 55 1010 5AA 5AA = = 4 9 5 10 6A 4A = = 4 9 4 9 6A 40A = = 6 40 = = 3 20 . .4 4 分分 (2)(2)由排列数公式由排列数公式, ,得得 8! 8!x 66 8! 10!x , ,5 5 分分 化简得化简得 11 6 109xx , ,即即 x x 2 2- -19x+840, 19x+840,所以所以 7x12.7x12.6 6 分分 又因为又因为 x xN N * *,0x ,0x
16、8,0x8,0x- -2 28,8,所以所以 2x2x8 8 且且 x xN N * *, , 所以所以 x=8.x=8.8 8 分分 数学数学 (3)(3)若若 3 3 3 An=2=2 2 1 An+6+6 2 An, ,求求 n.n. 规范解答规范解答: :(3)(3)由排列数公式由排列数公式, ,得得 3n(n3n(n- -1)(n1)(n- -2)=2(n+1)n+6n(n2)=2(n+1)n+6n(n- -1).1).9 9 分分 因为因为 n n3,3,所以所以 3(n3(n- -1)(n1)(n- -2)=2(n+1)+6(n2)=2(n+1)+6(n- -1).1). 整理得
17、整理得 3n3n 2 2- -17n+10=0, 17n+10=0, 解得解得 n=5n=5 或或 n=n= 2 3 ( (舍去舍去).). 所以所以 n=5.n=5.1212 分分 数学数学 (1)(1)若若Am n 中的中的 m,nm,n 是具体的值是具体的值, ,可直接利用排列数公式计算可直接利用排列数公式计算. . 方法技巧方法技巧 (2)(2)涉及含有排列数的方程或不等式时涉及含有排列数的方程或不等式时, ,要注意要注意Am n 中中m,nm,nN N * *, ,且 且 m mn n的隐的隐 含条件含条件. . (3)(3)涉及排列数有关的等式证明时涉及排列数有关的等式证明时, ,
18、常用含阶乘的排列数公式证明常用含阶乘的排列数公式证明. . 数学数学 即时训练即时训练 2 2- -1 1:(1):(1)计算计算: : 2 15 A; ; 1 1 1 1 AA A mn m nn m n n . . (2)(2)已知已知 2 An=7=7 2 4 An, ,求求 n n 的值的值; ; (1)(1)解解: : 2 15 A=15=1514=210;14=210; 1 1 1 1 AA A mn m nn m n n = = 1 ! 11 ! n nm ! 1 ! nm n = = ! ! nm nm =1.=1. (2)(2)解解: :由由 2 An=7=7 2 4 An,
19、 , 得得 * N , 2, 42, 1745 , n n n n nnn 解得解得 n=7.n=7. 数学数学 (3)(3)证明证明Am n =n=n 1 1 Am n (m,n (m,nN N * *, ,且 且 2 2m mn).n). (3)(3)证明证明: :右边右边=n=n 1 ! 11 ! n nm = = 1 ! ! nn nm = = ! ! n nm = =Am n = =左边左边. . 数学数学 题型三题型三 无限制条件的排列问题无限制条件的排列问题 例例33 将将4 4位司机和位司机和4 4位售票员分别分配到位售票员分别分配到4 4辆不同班次的公共汽车上辆不同班次的公共
20、汽车上, ,每每 辆汽车上分别有一位司机和一位售票员辆汽车上分别有一位司机和一位售票员, ,共有多少种不同的分配方案共有多少种不同的分配方案? ? 解解: :解决这个问题可以分为两步解决这个问题可以分为两步, ,第一步第一步: :把把 4 4 位司机分配到四辆不同班次的公位司机分配到四辆不同班次的公 共汽车上共汽车上, ,即从即从 4 4 个不同元素中取出个不同元素中取出 4 4 个元素排成一列个元素排成一列, ,有有 4 4 A种方法种方法; ;第二步第二步: : 把把 4 4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上, ,也有也有 4 4 A种方法种方法
21、. .由分步乘法由分步乘法 计数原理计数原理, ,分配方案共有分配方案共有 N=N= 4 4 A 4 4 A=576=576 种种. . 数学数学 对于无附加条件的符合排列数公式的排列问题对于无附加条件的符合排列数公式的排列问题, ,可直接根据排列的定义可直接根据排列的定义 及排列数公式求解及排列数公式求解. . 方法技巧方法技巧 数学数学 即时训练即时训练3 3- -1:1:从从5 5名同学中名同学中, ,选出选出3 3名同学名同学, ,分别担任语文、数学、英语的分别担任语文、数学、英语的 科代表科代表, ,则不同安排方法有则不同安排方法有 种种. . 解析解析: :从从 5 5 名同学中选
22、名同学中选 3 3 人人, ,担任不同学科的科代表相当于是从担任不同学科的科代表相当于是从 5 5 个不个不同元素中同元素中 选出选出 3 3 个进行全排列个进行全排列, ,因此有因此有 3 5 A=5=54 43=603=60 种不同安排方法种不同安排方法. . 答案答案: :6060 数学数学 备用例题备用例题 1.1.若把英语单词“若把英语单词“word”word”的字母顺序写错了的字母顺序写错了, ,则可能出现的错误共有则可能出现的错误共有 ( ( ) ) (A)24(A)24种种 (B)23(B)23种种 (C)12(C)12种种 (D)11(D)11种种 解析解析: :w,o,r,
23、dw,o,r,d 的排列共有的排列共有 4 4 A=24=24 种种, ,其中排列“其中排列“wordword”是正确的”是正确的, ,其余均错其余均错, ,故故 错误的有错误的有 2424- -1=231=23 种种. .故选故选 B.B. 数学数学 2.62.6个人排成前后两排个人排成前后两排, ,要求前排有要求前排有2 2人人, ,后排有后排有4 4人人, ,则有多少种不同的则有多少种不同的 排法排法? ? 解解: :法一法一 从从 6 6 个人中选出个人中选出 2 2 个人排在前排个人排在前排, ,相当于是从相当于是从 6 6 个人中选出个人中选出 2 2 人的排人的排 列列, ,有有
24、 2 6 A种不同方法种不同方法, ,剩余的剩余的 4 4 个人排在后排有个人排在后排有 4 4 A种不同方法种不同方法, ,依分步乘法计依分步乘法计 数原理共有数原理共有 2 6 A 4 4 A=6=65 54 43 32 21=7201=720 种不同的排法种不同的排法. . 法二法二 从从 6 6 人中选人中选 6 6 人坐前后人坐前后 6 6 个座位个座位, ,即即 6 6 A=720=720 种不同排法种不同排法. . 数学数学 题型四题型四 易错辨析易错辨析 例例 4 4 解方程解方程 4 21 A x =140=140 3 Ax. . 错解错解: :依题意知依题意知, ,原方程等
25、价于原方程等价于 214, 3, 212212214012 , x x xxxxx xx 所以所以 3, 21 21352 x xxx 所以所以 x=3x=3 或或 x=x= 23 4 . . 数学数学 纠错纠错: :方程转化时方程转化时, ,忽略了忽略了2x+12x+1N N* *,x,xN N* *这两个隐含条件这两个隐含条件, ,从而导致结从而导致结 果错误果错误. . 正解正解: :根据题意根据题意, ,原方程等价于原方程等价于 * 214, 3, N , 212212214012 , x x x xxxxx xx * 3, N , 21 21352 . x x xxx 解得解得 x=
26、3x=3 或或 x=x= 23 4 ( (舍去舍去),),故故 x=3.x=3. 数学数学 课堂达标课堂达标 A A 1.1.下列问题属于排列问题的是下列问题属于排列问题的是( ( ) ) 从从1010个人中选个人中选2 2人分别去种树和扫地人分别去种树和扫地; ; 从从1010个人中选个人中选2 2人去扫地人去扫地; ; 从班上从班上3030名男生中选出名男生中选出5 5人组成一个篮球队人组成一个篮球队; ; 从数字从数字5,6,7,85,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算中任取两个不同的数作幂运算. . (A)(A) (B)(B) (C)(C) (D)(D) 解析解析: :选出的人与顺序
27、无关选出的人与顺序无关, ,因此只有是排列因此只有是排列. .故选故选A.A. 数学数学 2.2.从从4 4本不同的书中选出本不同的书中选出3 3本给本给3 3个同学个同学, ,共有不同的选法的种数为共有不同的选法的种数为( ( ) ) (A)24 (A)24 (B)16 (B)16 (C)12 (D)18(C)12 (D)18 A A 解析解析: :问题相当于从问题相当于从 4 4 个不同元素中选出个不同元素中选出3 3 个的排列个的排列, ,即即 3 4 A=4=43 32=24.2=24. 数学数学 3.43.45 56 6(n(n- -1)1)n n 等于等于( ( ) ) (A)(A
28、) 4 An (B)(B) 4 An n (C)(n(C)(n- -4)!4)! (D)(D) 3 An n D D 解析解析: :从从 4,54,5到到 n n 共共 n n- -4+1=n4+1=n- -3 3 个数个数, ,所以根据排列数公式知所以根据排列数公式知 4 45 56 6 (n(n- -1)1)n=n= 3 An n . .故选故选 D.D. 数学数学 4.4.计算计算 3 5 A+4+4 2 4 A= = . . 解析解析: : 3 5 A+4+4 2 4 A=5=54 43+43+44 43=108.3=108. 答案答案: :108108 数学数学 点击进入点击进入 课时作业课时作业
