1、数学数学 1.2.21.2.2 组组 合合 第一课时第一课时 组合与组合数公式组合与组合数公式 数学数学 目标导航目标导航 课标要求课标要求 1.1.理解组合的意义理解组合的意义, ,能写出一些简单问题的组合能写出一些简单问题的组合. . 2.2.能正确认识组合与排列的区别能正确认识组合与排列的区别. . 3.3.掌握组合数公式掌握组合数公式, ,能用组合数公式及其性质进行能用组合数公式及其性质进行 计算、化简计算、化简. . 4.4.会解决一些简单的组合问题会解决一些简单的组合问题. . 素养达成素养达成 1.1.通过正确认识组合与排列的区别通过正确认识组合与排列的区别, ,培养逻辑推理培养
2、逻辑推理 的核心素养的核心素养. . 2.2.通过掌握组合数公式通过掌握组合数公式, ,能用组合数公式及其性质能用组合数公式及其性质 进行计算、化简进行计算、化简, ,培养数学运算的核心素养培养数学运算的核心素养. . 3.3.通过简单的组合问题的解决通过简单的组合问题的解决, ,培养数学建模与数培养数学建模与数 学运算的核心素养学运算的核心素养. . 数学数学 新知导学新知导学 素养养成素养养成 课堂探究课堂探究 素养提升素养提升 数学数学 1.1.组合组合 (1)(1)一般地一般地, ,从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素 , ,叫做从叫做从n n 个
3、不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的一个组合个元素的一个组合. . (2)(2)如果两个组合中的元素完全相同如果两个组合中的元素完全相同, ,那么不管元素的顺序如何那么不管元素的顺序如何, ,都是相都是相 同组合同组合, ,只有当两个组合中的元素至少有一个不同时只有当两个组合中的元素至少有一个不同时, ,才是不同的组合才是不同的组合. . 思考思考1:1:组合与排列的相同点和不同点是什么组合与排列的相同点和不同点是什么? ? 答案答案: :相同点相同点: :都要从“都要从“n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素”个元素”; ;不同点不同点: :组合与组合与 元素的顺序无关元
4、素的顺序无关, ,排列与元素的顺序有关排列与元素的顺序有关. . 新知导学新知导学素养养成素养养成 合成一组合成一组 数学数学 2.2.组合数及组合数公式组合数及组合数公式 组合数定义组合数定义 及表示及表示 从从 n n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m(mm(mn)n)个元素的个元素的 , , 叫做从叫做从 n n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m m 个元素的组合数个元素的组合数, ,用符号用符号 表示表示. . 乘积乘积 形式形式 Cm n = = = = 121 ! n nnnm m 组合数组合数 公式公式 阶乘阶乘 形式形式 Cm n = = ! ! n m nm 性质性质
5、 Cm n = = 1 Cm n = = 备注备注 规定规定 0 Cn= = 所有不同组合的个数所有不同组合的个数 Cm n A A m n m m Cn m n 1 CC mm nn 1 1 数学数学 思考思考2:2:如何理解组合与组合数这两个概念如何理解组合与组合数这两个概念? ? 答案答案: :“组合”与“组合数”是两个不同的概念组合”与“组合数”是两个不同的概念,“,“组合”是指“从组合”是指“从n n个个 不同元素中取不同元素中取m(mn)m(mn)个元素合成一组”个元素合成一组”, ,它不是一个数它不是一个数, ,而是具体的一而是具体的一 件事件事;“;“组合数”是指“从组合数”是
6、指“从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素的所有不个元素的所有不 同组合的个数”同组合的个数”, ,它是一个数它是一个数. . 数学数学 课堂探究课堂探究素养提升素养提升 题型一题型一 组合的概念组合的概念 例例11 判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题. . (1)(1)某铁路线上有某铁路线上有4 4个车站个车站, ,则这条铁路线上共需准备多少种车票则这条铁路线上共需准备多少种车票? ? (2)(2)把把5 5本不同的书分给本不同的书分给5 5个学生个学生, ,每人一本每人一本; ; 解解: :(1)(1)因为一种火车票与起点、终点
7、顺序有关因为一种火车票与起点、终点顺序有关, ,如甲如甲乙和乙乙和乙甲的甲的 车票是不同的车票是不同的, ,所以它是排列问题所以它是排列问题. . (2)(2)由于书不同由于书不同, ,每人每次拿到的书也不同每人每次拿到的书也不同, ,有顺序之分有顺序之分, ,因此它是排列因此它是排列 问题问题. . 数学数学 (3)(3)从从7 7本不同的书中取出本不同的书中取出5 5本给某个同学本给某个同学; ; (4)(4)从从1,2,3,41,2,3,4中任取两个数中任取两个数, ,组成一个集合组成一个集合. . 解解: :(3)(3)从从7 7本不同的书中本不同的书中, ,取出取出5 5本给某个学生
8、本给某个学生, ,在每种取法中取出的在每种取法中取出的5 5本本 并不考虑书的顺序并不考虑书的顺序, ,故它是组合问题故它是组合问题. . (4)(4)由于集合中的元素具有无序性由于集合中的元素具有无序性, ,因此取出因此取出2 2个数后个数后, ,无论怎样改变这些无论怎样改变这些 数之间的顺序数之间的顺序, ,其构成的集合都不变其构成的集合都不变, ,所以问题只与取出的元素有关所以问题只与取出的元素有关, ,而而 与顺序无关与顺序无关, ,因此是组合问题因此是组合问题. . 数学数学 方法技巧方法技巧 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么, ,
9、区分的标志是有区分的标志是有 无顺序无顺序, ,而区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果解出来而区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果解出来, ,然然 后交换这个结果中任意两个元素的位置后交换这个结果中任意两个元素的位置, ,看是否会产生新的变化看是否会产生新的变化, ,若若 有新变化有新变化, ,即说明有顺序即说明有顺序, ,是排列问题是排列问题; ;若无新变化若无新变化, ,即说明无顺序即说明无顺序, , 是组合问题是组合问题. . 数学数学 即时训练即时训练1 1- -1 1: :下列问题是组合问题的个数是下列问题是组合问题的个数是( ( ) ) (1)(1)从从1,2,3,91,2
10、,3,9九个数字中任取九个数字中任取3 3个个, ,组成一个三位数组成一个三位数, ,这样的三位数共这样的三位数共 有多少个有多少个;(2);(2)从从1,2,3,91,2,3,9九个数字中任取九个数字中任取3 3个个, ,然后把这三个数字相加然后把这三个数字相加 得到一个和得到一个和, ,这样的和共有多少个这样的和共有多少个;(3);(3)从从a,b,c,da,b,c,d四名学生中选两名去完四名学生中选两名去完 成同一份工作成同一份工作, ,有多少种不同的选法有多少种不同的选法;(4)5;(4)5个人规定相互通话一次个人规定相互通话一次, ,共通了共通了 多少次电话多少次电话. . (A)1
11、(A)1 (B)2(B)2 (C)3(C)3 (D)4(D)4 数学数学 解析解析: :( (1 1) )当取出当取出3 3个数字后个数字后, ,如果改变如果改变3 3个数字的顺序个数字的顺序, ,会得到不同的三位会得到不同的三位 数数, ,此问题不但与取出元素有关此问题不但与取出元素有关, ,而且与元素的安排顺序有关而且与元素的安排顺序有关, ,是排列问是排列问 题题; ;( (2 2) )取出取出3 3个数字之后个数字之后, ,无论怎样改变这无论怎样改变这3 3个数字的顺序个数字的顺序, ,其和均不变其和均不变, , 此问题只与取出元素有关此问题只与取出元素有关, ,而与元素的安排顺序无关
12、而与元素的安排顺序无关, ,是组合问题是组合问题; ;( (3 3) )两两 名学生完成的是同一份工作名学生完成的是同一份工作, ,没有顺序没有顺序, ,是组合问题是组合问题; ;( (4 4) )甲与乙通一次电甲与乙通一次电 话话, ,也就是乙与甲通一次电话也就是乙与甲通一次电话, ,无顺序区别无顺序区别, ,为组合问题为组合问题. .故选故选C C. . 数学数学 题型题型二二 组合数公式及性质组合数公式及性质 例例 2 2 解答下列各题解答下列各题: : (1)(1)计算计算 48 50 C; ; (2)(2)解方程组解方程组 A272, C136,N ,; y x y x x yyx
13、解解: :(1)(1) 48 50 C= = 2 50 C= = 5049 2 1 =1 225.=1 225. (2)(2)因为因为Cy x = = A ! y x y (x,y(x,yN N+ +,y,yx),x), 所以所以 y!=2,y!=2,所以所以 y=2,y=2,所以所以 2 Ax=272,=272,即即 x x 2 2- -x x- -272=0. 272=0. 所以所以 x=17x=17 或或 x=x=- -16(16(舍去舍去).).所以方程组的解为所以方程组的解为 17, 2. x y 数学数学 (3)(3)计算计算 38 3 C n n + + 3 21 C n n 的
14、值的值; ; (4)(4)计算计算 3 4 C+ + 3 5 C+ + 3 6 C+ + + 3 10 C. . 解解: :(3)(3)由题意得由题意得 338, 213 , N , nn nn n 即即 19 , 2 21 , 2 N , n n n 所以所以 n=10.n=10. 所以所以 38 3 C n n + + 3 21 C n n = = 28 30 C+ + 30 31 C= = 30! 2! 28! + + 31! 30! = = 3029 2 +31=466.+31=466. (4)(4)利用组合数的性质“利用组合数的性质“ 1 Cm n = =Cm n + + 1 Cm
15、n ”, ,则原式则原式= = 4 4 C+ + 3 4 C+ + 3 5 C+ + 3 6 C+ + + 3 10 C- - 4 4 C= = 4 5 C+ + 3 5 C+ + 3 6 C+ + + 3 10 C- - 4 4 C= = 4 6 C+ + 3 6 C+ + + 3 10 C- - 4 4 C= = = 4 11 C- -1=329.1=329. 数学数学 方法技巧方法技巧 (1)(1)求解涉及组合数之间的参数变量问题求解涉及组合数之间的参数变量问题, ,要注意要注意Cm n 中中 m,nm,n 的限制条件的限制条件; ; (2)(2)在具体选择公式时在具体选择公式时, ,要
16、根据原题的特点要根据原题的特点, ,一般地一般地, ,公式公式Cm n = = A A m n m m 常用于常用于 n n 为为 具体数的题目具体数的题目, ,偏向于组合数的计算偏向于组合数的计算, ,公式公式Cm n = = ! ! ! n nm m 常用于常用于 n n 为字母的为字母的 题目题目, ,偏向于解不等式或证明恒等式偏向于解不等式或证明恒等式. . 数学数学 即时训练即时训练 2 2- -1:1:(1)(1)( 98 100 C+ + 97 100 C) ) 3 101 A. . (2)(2)计算计算: : 8 10 C+ + 9 10 C; ; (3)(3)证明证明:m:m
17、Cm n =n=n 1 1 Cm n . . (1)(1)解解: :原式原式=(=( 2 100 C+ + 3 100 C) ) 3 101 A= = 3 101 C 3 101 A= = 3 101 C( ( 3 101 C3!)=3!)= 1 6 . . (2)(2)解解: : 8 10 C+ + 9 10 C= = 2 10 C+ + 1 10 C= = 109 2 1 +10=45+10=55.+10=45+10=55. (3)(3)证明证明: :m mCm n =m=m 121 ! n nnnm m =n=n 123111 1 ! nnnnm m =n=n 1 1 Cm n . .
18、数学数学 备用例题备用例题 1.1.解方程解方程 3 3 7 3 Cx x =5=5 2 4 Ax. . 解解: :由排列数和组合数公式由排列数和组合数公式, ,原方程可化为原方程可化为 3 3 3 ! 7 !4! x x =5=5 4 ! 6 ! x x . . 则则 33 4! x = = 5 6x , ,即为即为(x(x- -3)(x3)(x- -6)=40.6)=40. 所以所以 x x 2 2- -9x 9x- -22=0,22=0, 解之可得解之可得 x=11x=11 或或 x=x=- -2.2. 经检验知经检验知 x=11x=11 是原方程的根是原方程的根,x=,x=- -2 2
19、 是原方程的增根是原方程的增根. . 所以方程的根为所以方程的根为 x=11.x=11. 数学数学 2.2.解不等式解不等式 4 Cn 6 Cn. . 解解: :由由 4 Cn 6 Cn得得 ! 4!4 !6!6 ! 6 nn nn n 2 9100, 6 nn n 110, 6. n n 又又 n nN N * *, , 所以该不等式的解集为所以该不等式的解集为6,7,8,9.6,7,8,9. 数学数学 规范解答规范解答: :(1)(1)从从 1010 名教师中选名教师中选 2 2 名去参加会议的选法种数名去参加会议的选法种数, ,就是从就是从 1010 个不同个不同 元素中取出元素中取出
20、2 2 个元素的组合数个元素的组合数, , 即即 2 10 C= = 109 2 1 =45.=45.3 3 分分 题型三题型三 简单的组合问题简单的组合问题 例例33 (10(10分分) )现有现有1010名教师名教师, ,其中男教师其中男教师6 6名名, ,女教师女教师4 4名名. . (1)(1)现要从中选现要从中选2 2名去参加会议有多少种不同的选法名去参加会议有多少种不同的选法? ? (2)(2)选出选出2 2名男教师或名男教师或2 2名女教师参加会议名女教师参加会议, ,有多少种不同的选法有多少种不同的选法? ? (2)(2)可把问题分两类情况可把问题分两类情况: : 第第 1 1
21、 类类, ,选出的选出的 2 2 名是男教师有名是男教师有 2 6 C种方法种方法; ; 第第 2 2 类类, ,选出的选出的 2 2 名是女教师有名是女教师有 2 4 C种方法种方法. . 根据分类加法计数原理根据分类加法计数原理, ,共有共有 2 6 C+ + 2 4 C=15+6=21=15+6=21 种不同选法种不同选法. .7 7 分分 数学数学 (3)(3)现要从中选出男、女教师各现要从中选出男、女教师各2 2名去参加会议名去参加会议, ,有多少种不同的选法有多少种不同的选法? ? 规范解答规范解答: :(3)(3)从从 6 6 名男教师中选名男教师中选 2 2 名的选法有名的选法
22、有 2 6 C种种, ,从从 4 4 名女教师中选名女教师中选 2 2 名的名的 选法有选法有 2 4 C种种, ,根据分步乘法计数原理根据分步乘法计数原理, ,共有不同的选法共有不同的选法 2 6 C 2 4 C= = 65 2 1 43 2 1 = = 90(90(种种).).1010 分分 数学数学 一题多变一题多变: :本题已知条件不变本题已知条件不变, ,若改为现要从中选若改为现要从中选2 2名教师参加会议名教师参加会议, ,至至 少有少有1 1名男教师的选法是多少名男教师的选法是多少? ?最多有最多有1 1名男教师的选法又是多少名男教师的选法又是多少? ? 解解: :至少有至少有
23、1 1 名男教师可分两类名男教师可分两类:1:1 男男 1 1 女有女有 1 6 C 1 4 C种种,2,2 男男 0 0 女有女有 2 6 C种种. . 由分类加法计数原理知有由分类加法计数原理知有 1 6 C 1 4 C+ + 2 6 C=39(=39(种种).). 最多有最多有 1 1 名男教师包括两类名男教师包括两类:1:1 男男 1 1 女有女有 1 6 C 1 4 C种种,0,0 男男 2 2 女有女有 2 4 C种种. . 由分类加法计数原理知有由分类加法计数原理知有 1 6 C 1 4 C+ + 2 4 C=30(=30(种种).). 数学数学 方法技巧方法技巧 解答简单的组合
24、问题的思路解答简单的组合问题的思路:(1):(1)弄清楚做的这件事是什么弄清楚做的这件事是什么;(2);(2)分析分析 这件事是否需分类或分步完成这件事是否需分类或分步完成;(3);(3)结合两计数原理利用组合数公式结合两计数原理利用组合数公式 求出结果求出结果. . 数学数学 备用例题备用例题 1.1.直线直线 a ab,ab,a 上有上有 5 5 个点个点,b,b 上有上有 4 4 个点个点, ,以这九个点为顶点的三角形个数为以这九个点为顶点的三角形个数为 ( ( ) ) (A)(A) 2 5 C 1 4 C+ + 1 5 C 2 4 C (B)(B)( 2 5 C+ + 1 4 C)()
25、( 1 5 C+ + 2 4 C) ) (C)(C) 3 9 C- -9 9 (D) (D) 3 9 C- - 3 5 C 解析解析: :可以分为两类可以分为两类:a:a上取两点上取两点,b,b上取一点上取一点, ,则可构成三角形个数为则可构成三角形个数为 2 5 C 1 4 C;a;a上上 取一点取一点,b,b 上取两点上取两点, ,则可构成三角形个数为则可构成三角形个数为 1 5 C 2 4 C, ,利用分类加法计数原理可得利用分类加法计数原理可得 以这九个点为顶点的三角形个数为以这九个点为顶点的三角形个数为 2 5 C 1 4 C+ + 1 5 C 2 4 C, ,故选故选 A.A. 数
26、学数学 解解: :(1)(1)所求线段的条数所求线段的条数, ,即为从即为从 1010 个元素中任取个元素中任取 2 2 个元素的组合数个元素的组合数, ,共有共有 2 10 C= = 109 2 1 =45(=45(条条),),即以即以 1010 个点中的任意个点中的任意 2 2 个点为端点的线段共有个点为端点的线段共有 4545 条条. . 2.2.平面内有平面内有1010个点个点, ,其中任何其中任何3 3个点不共线个点不共线, , (1)(1)以其中任意以其中任意2 2个点为端点的线段有多少条个点为端点的线段有多少条? ? (2)(2)以其中任意两个点为端点的有向线段有多少条以其中任意
27、两个点为端点的有向线段有多少条? ? (3)(3)以其中任意三个点为顶点的三角形有多少个以其中任意三个点为顶点的三角形有多少个? ? (2)(2)所求有向线段的条数所求有向线段的条数, ,即为从即为从 1010 个元素中任取个元素中任取 2 2 个元素的排列数个元素的排列数, ,共有共有 2 10 A= = 10109=90(9=90(条条),),即以即以 1010 个点中的个点中的 2 2 个点为端点的有向线段共有个点为端点的有向线段共有 9090 条条. . (3)(3)所求三角形的个数所求三角形的个数, ,即从即从 1010 个元素中任选个元素中任选 3 3 个元素的组合数个元素的组合数
28、, ,共有共有 3 10 C= = 120(120(个个).). 数学数学 题型四题型四 易错辨析易错辨析 例例 44 已知已知 5 1 Cm - - 6 1 Cm = = 7 7 10Cm , ,求求 m.m. 错解错解: :由已知由已知 ! 5! 5! mm - - ! 6! 6! mm = = 7 7! ! 10 7! m m , ,即即6060- -10(610(6- -m)=(7m)=(7- -m)(6m)(6- -m),m), 即即 m m 2 2- -23m+42=0. 23m+42=0.解得解得 m=21m=21 或或 m=2.m=2. 纠错纠错: :这是一个含组合数符号关于这
29、是一个含组合数符号关于m m的方程的方程. .错解中错解中, ,转化为转化为m m的一元二次的一元二次 方程后方程后, ,忽略了忽略了m m的取值范围的取值范围, ,导致出错导致出错. . 正解正解: :由已知由已知 ! 5! 5! mm - - ! 6! 6! mm = = 7 7! ! 10 7! m m , ,即即 m m 2 2- -23m+42=0. 23m+42=0. 解得解得 m=21m=21 或或 m=2,m=2,经检验经检验 m=21m=21 不符合题意应舍去不符合题意应舍去. .所以所以 m=2.m=2. 数学数学 学霸经验分享区学霸经验分享区 (1)(1)组合要求从组合要
30、求从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素, ,只需取出而不进只需取出而不进 行排列行排列, ,即组合与顺序无关即组合与顺序无关, ,而排列与顺序有关而排列与顺序有关; ; (2)(2)组合数公式可以利用先取后排的方法推导组合数公式可以利用先取后排的方法推导; ; (3)(3)求解与组合数有关的问题求解与组合数有关的问题, ,要注意要注意Cm n 中“中“m mn,n,且且 m,nm,nN N * *”的运用 ”的运用; ; (4)(4)连续使用“连续使用“Cm n + + 1 Cm n = = 1 Cm n ”时”时, ,一定要掌握住该性质两边的上、下标字母一
31、定要掌握住该性质两边的上、下标字母 的特征的特征, ,并注意观察分析待化简的组合式的特征并注意观察分析待化简的组合式的特征. . 数学数学 课堂达标课堂达标 1.1.若若 2 Cn=28,=28,则则 n n 等于等于( ( ) ) (A)9(A)9 (B)8(B)8 (C)7(C)7 (D)6(D)6 B B 解析解析: : 2 Cn= = 1 2 nn =28,=28,解得解得 n=8.n=8. 数学数学 2 2.(2018.(2018浙江诸暨市高二下期末浙江诸暨市高二下期末) )从甲、乙、丙、丁四人中选取从甲、乙、丙、丁四人中选取2 2名参名参 加会议加会议, ,不同的选取方法有不同的选
32、取方法有( ( ) ) (A)6(A)6种种 (B)8(B)8种种 (C)12(C)12种种 (D)16(D)16种种 A A 解析解析: :根据题意根据题意, ,从甲、乙、丙、丁四人中选取从甲、乙、丙、丁四人中选取 2 2 名参加会议名参加会议, ,有有 2 4 C=6=6 种选种选 取方法取方法. .故选故选 A.A. 数学数学 3.3.(2018(2018湖北孝感高二期末湖北孝感高二期末) )若若 21 20 C x = = 3 20 Cx, ,则则 x x 的值为的值为( ( ) ) (A)4(A)4 (B)4(B)4 或或 5 5 (C)6(C)6 (D)4(D)4 或或 6 6 D
33、 D 解析解析: :依题意得依题意得2x2x- -1=x+31=x+3或或2x2x- -1+x+3=20,1+x+3=20,解得解得x=4,x=4,或或x=6,x=6,经检验经检验x=4x=4 和和x=6x=6都符合题意都符合题意. .故选故选D.D. 数学数学 C C 4.4.给出下列问题给出下列问题: : 从从1010名同学中选出名同学中选出2 2名分别去参加名分别去参加2 2个乡镇的社会调查个乡镇的社会调查; ;20192019年元旦年元旦 期间期间, ,某班某班1010名同学互送贺年卡名同学互送贺年卡, ,表示新年的祝福表示新年的祝福, ,贺年卡的数目贺年卡的数目; ;从从 1313位
34、司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地. .其中组合问题的个其中组合问题的个 数是数是( ( ) ) (A)3(A)3 (B)2(B)2 (C)1(C)1 (D)0(D)0 解析解析: :所给问题中均与顺序有关所给问题中均与顺序有关, ,而与顺序无关而与顺序无关, ,故只有是组故只有是组 合问题合问题, ,选选C.C. 数学数学 5.5. 3 7 C+ + 4 7 C+ + 5 8 C= = . . 解析解析: :因为因为 3 7 C+ + 4 7 C= = 4 8 C, ,所以所以 3 7 C+ + 4 7 C+ + 5 8 C= = 4 8 C+ + 5 8 C= = 5 9 C. .所以所以 5 9 C= = 9! 5!4! =126.=126. 答案答案: :126126 数学数学 点击进入点击进入 课时作业课时作业
