1、 基本不等式的应用基本不等式的应用 1如果用x，y来分别表示矩形的长和宽，用l来表示矩形的周长，S来表示矩形的面 积，则l2(xy)，Sxy 2在上题中，若面积S为定值，则由xy2xy，可知周长有最小值，为 4S 3在第 1 题中，若周长l为定值，则由xyxy 2 ，可知面积S有最大值，为l 2 16 4基本不等式ab2ab(a，bR )的变形有 a 2b22ab 和ab ab 2 2 5常用的几个不等式有： a b b a2， 2 1 a 1 b abab 2 a 2b2 2 (a，bR ), 基础巩固 一、选择题 1若x4，则函数yx 1 x4(B) A有最大值6 B有最小值 6 C有最大
2、值 2 D没有最小值 解析：yx4 1 x442 （x4） 1 x446.当且仅当 x4 1 x4时，即 x 5 时取得最小值 6. 2设a、b为实数，且ab3，则 2 a2b的最小值为(B) A6 B4 2 C2 2 D8 解析：2 a2b2 2ab2 234 2. 3已知x，y是正数，且xy4，则 y x x y取得最小值时，x 的值是(B) A1 B2 C2 2 D. 2 解析： y x x y2 xy2442 2，此时 y x x y，即 xy2. 4小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则(A) Aavab Bvab C.abvab 2 Dvab 2
3、解析：设甲地到乙地距离为s，则v 2s s a s b 2ab ab，ab， abab 2 2ab ab 2ab 2b a， 2ab ab ab. 5若ab1，P lg alg b，Q1 2(lg alg b)，Rlg ab 2 ，则(B) ARPQ BPQR CQPR DPRQ 解析：ab1，lg a0，lg b0. 由基本不等式易得PQ，而Qlg ablg ab 2 R，故PQR. 二、填空题 6已知x0，y0，lg 2 xlg 8ylg 2，则1 x 1 3y的最小值是_ 解析：由x0，y0，lg 2 xlg 8ylg 2 得 2x3y2，即 x3y1，1 x 1 3y x3y x x3
4、y 3y 23y x x 3y22 3y x x 3y4，当且仅当 x3y时取等号 答案：4 7已知x0，y0，3x4y5，2xy的最大值为_ 解析：2xy1 63x4y 1 6 3x4y 2 2 1 6 25 4 25 24. 答案：25 24 8不等式yx(13x) 0x1 3 的最大值是_ 解析：0x1 3，13x0.x(13x) 1 3(3x)(13x) 1 3 3x（13x） 2 2 1 3 1 4 1 12. 答案： 1 12 三、解答题 9已知x5 2，求 f(x)x 24x5 x2 的最小值 解析： x5 2， x20.f(x) x 24x5 x2 （x2） 21 x2 (x2
5、) 1 x22.当且 仅当x2 1 x2，即 x3 时，等号成立故当x3 时，f(x)min2. 10过点P(1，2)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当ABO的面积 最小时，求直线l的方程 解析：设A(a，0)，B(0，b)，则a0，b0，则l的方程为x a y b1，又l 过P点， 1 a 2 b1，三角形的面积 S1 2ab. 由1 a 2 b1abb2a2 2abab8，当且仅当 b2a，即a2，b4 时，Smin4. l的方程为x 2 y 41，即 2xy40. 能力升级 一、选择题 11已知向量a(x1，2)，b(4，y)若ab，则 9 x3y的最小值为(C) A2
6、3 B12 C6 D3 2 解析：ab，ab0，即 4(x1)2y0，即 2xy2，9 x3y2 9x3y 2 3 2xy6.当且仅当 2xy1 时取等号，最小值为 6. 12已知M是定值，下列各条件中，ab没有最大值的条件是(D) Aa 2b2M Ba，bR ，且 abM Ca0，b0，且abM Dab0，abM 解析：由ab ab 2 2 及aba 2b2 2 对任何实数a、b都成立，且ab时，等号成立， 可知 A、B、C 三项均有最大值但 D 项中不存在等号成立的条件，故 D 项没有最大值 13已知不等式(xy) 1 x a y 9 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 (B)
7、 A2 B4 C6 D8 解析：(xy) 1 x a y 1ax y y xa12 aa(1a) 2.由(1 a) 29，解得 a 4. 二、填空题 14设x，y为实数，若 4x 2y2xy1，则 2xy 的最大值是_ 解析： 4x 2y2xy1， (2xy)213xy， 即(2xy)213 2 2x y13 2 2xy 2 2 ， 解得(2xy) 28 5，即 2 10 5 2xy2 10 5 . 答案：2 10 5 15设a0，b0，a 2b 2 21，则 a1b 2的最大值为_ 解析：由a 2b 2 21 得 2a 2b22， a1b 2 2 2 2a 1b 2 2 2 （ 2a） 21
8、b2 2 3 2 4 . 当且仅当 2a 1b 2b21 2，a 23 4时取等号 答案：3 2 4 三、解答题 16已知f(x)lg x(xR )，若 x1，x2R ，判断1 2f(x 1)f(x2)与f x1x2 2 的大小， 并加以证明 解析：1 2f(x 1)f(x2)f x1x2 2 .下面给出证明： f(x1)f(x2)lg x1lg x2lg(x1x2)， f x1x2 2 lgx 1x2 2 ，而x1，x2R ，x 1x2 x1x2 2 2 ， lg(x1x2)lg x1x2 2 2 . 1 2lg(x 1x2)lgx 1x2 2 ， 即1 2(lg x 1lg x2)lgx 1x2 2 . 因此，1 2f(x 1)f(x2)f x1x2 2 .
