1、第第2讲全等三角形的判定和性质讲全等三角形的判定和性质第第2课时方法训练课时方法训练 构造全等三角形构造全等三角形的六种常用方法的六种常用方法期末提分练案提示：点击 进入习题答案显示答案显示1234见习题见习题5见习题见习题6见习题见习题见习题见习题见习题见习题见习题见习题1如图，在四边形如图，在四边形OACB中，中，CMOA于点于点M，12，CACB.求证：求证：(1)34180；【点拨】【点拨】本题实际上用到翻折法，作辅助线相当于把本题实际上用到翻折法，作辅助线相当于把 OCM沿沿OC翻折到翻折到 OCE.证明：如图，过点证明：如图，过点C作作CEOB，交，交OB的延长线于点的延长线于点E
2、.CEOE，CMOA，ECMO90.在在 OCE和和 OCM中，中，OCEOCM(AAS)CECM.又又CBCA，Rt BCERt ACM(HL)3CBE.34CBE4180.(2)OAOB2OM.证明：由证明：由(1)知知 OCEOCM，Rt BCERt ACM，OEOM，BEAM.OAOBOMAMOBOMBEOBOMOE2OM.2如图，在如图，在Rt ABC中，中，ACB90，ACBC，ABC45，点，点D为为BC的中点，的中点，CEAD于点于点E，其延长线交，其延长线交AB于点于点F，连接，连接DF.求证求证ADCBDF.【点拨】【点拨】本题利用补形法构造出本题利用补形法构造出 CBG，
3、证，证明全等后，通过明全等后，通过G来寻找来寻找ADC与与BDF的相等关系的相等关系证明：如图，过点证明：如图，过点B作作BGBC交交CF的延长线于点的延长线于点G，CBG90.ACB90，2ACF90.CEAD，AEC90.1ACF90.12.在在 ACD和和 CBG中，中，ACDCBG(ASA)ADCG，CDBG.点点D为为BC的中点，的中点，CDBD.BDBG.DBG90，DBF45，GBFDBGDBF904545.DBFGBF.在在 BDF和和 BGF中，中，BDFBGF(SAS)BDFG.ADCBDF.3如图，如图，AD是是 ABC的中线，的中线，BE交交AC于点于点E，交，交AD于
4、点于点F，且且EAFEFA.求证求证ACBF.【点拨】【点拨】本题运用了倍长中线法，借助点本题运用了倍长中线法，借助点D是是BC的中点，的中点，延长延长AD至点至点M，使，使DMAD，连接，连接BM，构造，构造 MDB和和 ADC全等利用全等三角形的性质对线段和角进行等全等利用全等三角形的性质对线段和角进行等量代换，再结合相关知识解决问题量代换，再结合相关知识解决问题证明：如图，延长证明：如图，延长AD至点至点M，使，使DMAD，连接，连接BM.AD是是 ABC的中线，的中线，BDCD.在在 ADC和和 MDB中，中，ADCMDB(SAS)MMAC，BMAC.EAFEFA，AFEBFM，MBF
5、M.BMBF.ACBF.4如图，在如图，在 ABC中，中，ABAC，12，P为为AD上任意上任意一点求证：一点求证：ABACPBPC.【点拨】【点拨】本题运用了截长法或补短法，本题运用了截长法或补短法，AB比比AC长，在长，在AB上截取上截取ANAC，构造，构造 APN，通过全等证明；或者延长，通过全等证明；或者延长AC补成补成AMAB，构造，构造 AMP，同样通过全等证明，同样通过全等证明证法一证法一(截长法截长法)：如图：如图，在，在AB上截取上截取ANAC，连接，连接PN.在在 APN和和 APC中，中，APNAPC(SAS)PNPC.在在 BPN中，中，PBPNBN，PBPCPBPC.
6、证法二证法二(补短法补短法)：如图：如图，延长，延长AC至点至点M，使，使AMAB，连接连接PM.在在 ABP和和 AMP中，中，ABPAMP(SAS)PBPM.在在 PCM中，中，CMPMPC，AMACPBPC.ABACPBPC.5如图，如图，AOB90，OM平分平分AOB，直角三角尺的顶，直角三角尺的顶点点P在射线在射线OM上移动，两直角边分别与上移动，两直角边分别与OA，OB相交于相交于点点C，D，PC与与PD相等吗？试说明理由相等吗？试说明理由【点拨】【点拨】本题中没有全等三角形，通过本题中没有全等三角形，通过作垂线构造三角形，证明三角形全等，作垂线构造三角形，证明三角形全等，问题得解
7、问题得解解：解：PCPD.理由如下：理由如下：如图，过点如图，过点P分别作分别作PEOA，PFOB，垂足分别为，垂足分别为E，F.OM平分平分AOB，PEPF.AOB90，PEOPFO90.EPF90.EPCCPF90.CPD90，CPFFPD90.EPCFPD.在在 PCE和和 PDF中，中，PCEPDF(ASA)PCPD.6如图，在如图，在 ABC中，中，BAC60，C40，AP平分平分BAC交交BC于点于点P，BQ平分平分ABC交交AC于点于点Q.求证：求证：ABBPBQAQ.【点拨】【点拨】本题中没有全等三角形，由角本题中没有全等三角形，由角平分线想到作平行线，构造出全等三角平分线想到作平行线，构造出全等三角形，再利用全等三角形的性质进行线段形，再利用全等三角形的性质进行线段的等量代换，问题得证的等量代换，问题得证证明：证明：BAC60，C40，ABC80.BQ平分平分ABC，CBQ ABC 8040.CBQC.BQCQ.BQAQCQAQAC.如图，过点如图，过点P作作PDBQ交交CQ于点于点D，则则CPDCBQ40.CPDC40.PDCD，ADPCPDC404080.ABC80，ABCADP.AP平分平分BAC，BAPCAP.在在 ABP和和 ADP中，中，ABPADP(AAS)ABAD，BPPD.ABBPADPDADCDAC.由由可得可得ABBPBQAQ.
