1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上写在本试卷上 无效无效. 3
2、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1.设集合 A=x|1x3，B=x|20，则 C椭圆，其焦点在 y 轴上 B. 若 m=n0，则 C是圆，其半径为n C. 若 mn0，则 C是两条直线 10.下图是函数 y= sin(x+)的部分图像，则 sin(x+)= （ ） A. sin( 3 x） B. sin(2 ) 3 x C. cos(2 6 x） D.
3、 5 cos(2 ) 6 x 11.已知 a0，b0，且 a+b=1，则（ ） A. 22 1 2 ab B. 1 2 2 a b C. 22 loglog2ab D. 2ab 12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 X所有可能的取值为1,2,n，且 1 ()0(1,2, ),1 n ii i P Xipinp ，定义 X 的信息熵2 1 ()log n ii i H Xpp .（ ） A. 若 n=1，则 H(X)=0 B. 若 n=2，则 H(X)随着 1 p的增大而增大 C. 若 1 (1,2, ) i pin n ，则 H(X)随着 n的增大而增大 D. 若 n=2m， 随机
4、变量 Y所有可能的取值为1,2,m， 且 21 ()(1,2,) jmj P Yjppjm ， 则 H(X)H(Y) 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.斜率为3的直线过抛物线 C：y 2=4x 的焦点，且与 C交于 A，B两点，则 AB=_ 14.将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 n项和为_ 15.某中学开展劳动实习， 学生加工制作零件， 零件的截面如图所示 O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心， A 是圆弧 AB与直线 AG的切点，B是圆弧 AB 与直线 BC的切点，四边形 DEFG
5、为矩形，BCDG，垂足为 C，tanODC= 3 5 ，BHDG，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm2 16.已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2， BAD=60 以 1 D为球心，5为半径的球面与侧面 BCC1B1 的交线长为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.在3ac ，sin 3cA， 3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角 形
6、存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且sin3sinAB=， 6 C ，_? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18.已知公比大于1的等比数列 n a满足 243 20,8aaa （1）求 n a的通项公式； （2）记 m b为 n a在区间 * (0,()m mN 中的项的个数，求数列 m b的前100项和 100 S 19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的 PM2.5和 2 SO浓度（单位： 3 g/m） ，得下表： 2 SO
7、PM2.5 0,50 (50,150 (150,475 0,35 32 18 4 (35,75 6 8 12 (75,115 3 7 10 （1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且 2 SO浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22列联表： 2 SO PM2.5 0,150 (150,475 0,75 (75,115 （3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与 2 SO浓度有关？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ， 2 ()P Kk 0.050 0.010 0.001
8、 k 3.841 6.635 10.828 20.如图，四棱锥 P-ABCD底面为正方形，PD底面 ABCD设平面 PAD与平面 PBC 的交线为 l （1）证明：l平面 PDC； （2）已知 PD=AD=1，Q为 l上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值 21.已知函数 1 ( )elnln x f xaxa （1）当ae时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若 f（x）1，求 a 的取值范围 22.已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，且过点 A（2，1） （1）求 C 的方程：
9、 （2）点 M，N在 C上，且 AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定值 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择
10、题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上写在本试卷上 无效无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1.设集合 A=x|1x3，B=x|20，则 C是椭圆，其焦点在 y轴上 B. 若 m=n0，则 C是圆，其半径为n C. 若 mn0，则 C是两条直线 【答案】ACD 【分析】 结合选项进行逐项分析求解，0mn时表示椭圆
11、，0mn时表示圆，0mn时表示双曲线， 0,0mn时表示两条直线. 【详解】对于 A，若0mn，则 22 1mxny可化为 22 1 11 xy mn ， 因为0mn，所以 11 mn ， 即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故 A 正确； 对于 B，若0mn，则 22 1mxny可化为 22 1 xy n ， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为 n n 的圆，故 B 不正确； 对于 C，若0mn，则 22 1mxny可化为 22 1 11 xy mn ， 此时曲线C表示双曲线， 由 22 0mxny可得 m yx n ，故 C 正确； 对于 D，若0,0mn，则 22 1mxny可化为 2 1 y
12、 n ， n y n ，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故 D 正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算 的核心素养. 10.下图是函数 y= sin(x+)的部分图像，则 sin(x+)= （ ） A. sin( 3 x） B. sin(2 ) 3 x C. cos(2 6 x） D. 5 cos(2 ) 6 x 【答案】BC 【分析】 首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】由函数图像可知： 2 2362 T ，则 22 2 T ，所以不选 A, 当 2
13、5 36 212 x 时，1y 53 22 122 kkZ ， 解得： 2 2 3 kkZ， 即函数的解析式为： 2 sin 22sin 2cos 2sin2 36263 yxkxxx . 而 5 cos 2cos(2 ) 66 xx 故选：BC. 【点睛】已知 f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求 待定系数 和 ，常用如下两种方法： (1)由 2 T 即可求出 ；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则 令 x00(或 x0)，即可求出 . (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)
14、坐标代入解析式，再结合图形解出 和 ，若 对 A，的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 11.已知 a0，b0，且 a+b=1，则（ ） A. 22 1 2 ab B. 1 2 2 a b C. 22 loglog2ab D. 2ab 【答案】ABD 【分析】根据1ab，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 详解】对于 A， 2 2222 1221abaaaa 2 1 2 11 2 22 a ， 当且仅当 1 2 ab时，等号成立，故 A 正确； 对于 B，211aba ，所以 1 1 22 2 a b ，故 B 正确； 对于 C， 2 22222 1 logloglo
15、gloglog2 24 ab abab ， 当且仅当 1 2 ab时，等号成立，故 C 不正确； 对于 D，因为 2 1 212ababab ， 所以2ab，当且仅当 1 2 ab时，等号成立，故 D正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学 运算的核心素养. 12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 X所有可能的取值为1,2,n，且 1 ()0(1,2, ),1 n ii i P Xipinp ，定义 X 的信息熵2 1 ()log n ii i H Xpp .（ ） A. 若 n=1，则 H(X)=0 B. 若
16、 n=2，则 H(X)随着 1 p的增大而增大 C. 若 1 (1,2, ) i pin n ，则 H(X)随着 n的增大而增大 D. 若 n=2m， 随机变量 Y 所有可能的取值为1,2,m， 且 21 ()(1,2,) jmj P Yjppjm ， 则 H(X)H(Y) 【答案】AC 【分析】对于 A选项，求得H X，由此判断出 A 选项的正确性；对于 B选项，利用特殊值法进行排除； 对于 C 选项，计算出H X，利用对数函数的性质可判断出 C 选项的正确性；对于 D 选项，计算出 ,H XH Y，利用基本不等式和对数函数的性质判断出 D选项的正确性. 【详解】对于 A选项，若1n ，则
17、1 1,1ip，所以 2 1 log 10H X ，所以 A选项正确. 对于 B选项，若2n，则1,2i ， 21 1pp ， 所以 121121 Xlog1log1Hpppp ， 当 1 1 4 p 时， 22 1133 loglog 4444 H X ， 当 1 3 p 4 时， 22 3311 loglog 4444 H X ， 两者相等，所以 B 选项错误. 对于 C选项，若 1 1,2, i pin n ，则 222 111 logloglogH Xnn nnn ， 则H X随着n的增大而增大，所以 C 选项正确. 对于 D选项，若2nm，随机变量Y的所有可能的取值为1,2,m，且
18、21jmj P Yjpp （1,2,jm）. 22 22 11 1 loglog mm iii ii i H Xppp p 122221222 12212 1111 loglogloglog mm mm pppp pppp . H Y 122221212 122211 111 logloglog mmmm mmmm pppppp pppppp 122221222 1222122112 1111 loglogloglog mm mmmm pppp pppppppp 由于 01,2,2 i pim，所以 21 11 iimi ppp ，所以 22 21 11 loglog iimi ppp ， 所
19、以 22 21 11 loglog ii iimi pp ppp ， 所以 H XH Y，所以 D 选项错误. 故选：AC 【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运 算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.斜率为3的直线过抛物线 C：y 2=4x 的焦点，且与 C交于 A，B两点，则 AB=_ 【答案】 16 3 【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去 y并整 理得到关于 x
20、的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果. 【详解】抛物线的方程为 2 4yx，抛物线的焦点 F坐标为 (1,0)F ， 又直线 AB 过焦点 F且斜率为 3，直线 AB的方程为：3(1)yx 代入抛物线方程消去 y并化简得 2 31030xx， 解法一：解得 12 1 ,3 3 xx 所以 2 12 116 |1|1 3 |3| 33 ABkxx 解法二：100 36640 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 12 10 3 xx, 过,A B分别作准线1x的垂线，设垂足分别为,C D如图所示. 12 | | |11ABAFBFACBDx
21、x 12 16 +2= 3 xx 故答案为：16 3 【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题. 14.将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 n项和为_ 【答案】 2 32nn 【分析】首先判断出数列21n与32n项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以 及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列21n是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列， 数列32n是以 1 首项，以 3 为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列 n a是以 1 为首项，以 6 为公差的等差数列， 所以 n
22、 a的前n项和为 2 (1) 1632 2 n n nnn ，故答案为： 2 32nn. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等 差数列求和公式，属于简单题目. 15.某中学开展劳动实习， 学生加工制作零件， 零件的截面如图所示 O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心， A 是圆弧 AB与直线 AG的切点，B是圆弧 AB 与直线 BC的切点，四边形 DEFG 为矩形，BCDG，垂足为 C，tanODC= 3 5 ，BHDG，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部
23、分的面积为_cm2 【答案】 5 4 2 【分析】利用 3 tan 5 ODC求出圆弧AB所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB的面积，求 出直角OAH的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得. 【详解】设OBOAr，由题意7AMAN，12EF ，所以5NF ， 因为5AP,所以45AGP ， 因为/BHDG，所以45AHO ， 因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OAAG， 即OAH为等腰直角三角形； 在直角OQD中， 2 5 2 OQr， 2 7 2 DQr， 因为 3 tan 5 OQ ODC DQ ，所以 3 25 2 2125 22 rr， 解得 2
24、2r ； 等腰直角OAH的面积为 1 1 2 22 24 2 S ； 扇形AOB的面积 2 2 13 2 23 24 S ， 所以阴影部分的面积为 12 15 4 22 SS .故答案为： 5 4 2 . 【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景， 体现了五育并举的育人方针. 16.已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2， BAD=60 以 1 D为球心，5为半径的球面与侧面 BCC1B1 的交线长为_ 【答案】 2 2 . 【分析】根据已知条件易得 1 D E 3 ， 1 DE 侧面 11 BCCB，可得侧面 11 BCCB与球
25、面的交线上的点到E 的距离为 2，可得侧面11 BCCB与球面的交线是扇形EFG的弧FG，再根据弧长公式可求得结果. 【详解】如图： 取 11 BC的中点为E， 1 BB的中点为F， 1 CC的中点为G， 因为BAD60 ，直四棱柱 1111 ABCDABC D的棱长均为 2，所以 111 D BC为等边三角形，所以 1 D E 3 ， 111 D EBC， 又四棱柱 1111 ABCDABC D为直四棱柱，所以 1 BB 平面 1111 DCBA，所以 111 BBBC， 因为 1111 BBBCB，所以 1 DE 侧面 11 BCCB， 设P为侧面 11 BCCB与球面的交线上的点，则 1
26、 DEEP， 因为球的半径为5， 1 3DE ，所以 22 11 |5 32EPDPDE， 所以侧面 11 BCCB与球面的交线上的点到E的距离为 2， 因为| |2EFEG，所以侧面 11 BCCB与球面的交线是扇形EFG的弧FG， 因为 11 4 B EFC EG ，所以 2 FEG ， 所以根据弧长公式可得 2 2 22 FG .故答案为： 2 2 . 【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题， 考查了扇形中的弧长公式，属于中档题. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
27、。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.在3ac ，sin 3cA， 3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中 三角 形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且sin3sinAB=， 6 C ，_? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】详见解析 【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到 a,b 的比例关系，根据比例关系，设 出长度长度，由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求
28、得tanA的值，得到角, ,A B C的值，然后根据选择的条 件进行分析判断和求解. 【详解】解法一：解法一： 由sin3sinAB=可得：3 a b ， 不妨设3 ,0am bm m， 则： 222222 3 2cos323 2 cababCmmm mm ，即cm 选择条件选择条件的解析：的解析： 据此可得： 2 333acm mm ，1m，此时1cm. 选择条件选择条件的解析：的解析： 据此可得： 222222 2 31 cos 222 bcammm A bcm ， 则： 2 13 sin1 22 A ，此时： 3 sin3 2 cAm ，则：2 3cm. 选择条件选择条件的解析：的解析：
29、 可得1 cm bm ，cb， 与条件3cb矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二：3, 6 sinAsinB CBAC , 3sin3sin 6 sinAACA , 31 3sin3?3? 22 sinAACsinAcosA ， 3sinAcosA ,3tanA , 2 3 A , 6 BC , 若选，3ac ,33abc, 2 33c ,c=1; 若选，3csinA,则 3 3 2 c ,2 3c ; 若选,与条件3cb矛盾. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的 一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定
30、理时，注意公式变式 的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围 18.已知公比大于1的等比数列 n a满足 243 20,8aaa （1）求 n a的通项公式； （2）记 m b为 n a在区间 * (0,()m mN 中的项的个数，求数列 m b的前100项和 100 S 【答案】 （1）2n n a ； （2） 100 480S. 【分析】 （1）利用基本元的思想，将已知条件转化为 1, a q的形式，求解出 1, a q，由此求得数列 n a的通项公式. （2）通过分析数列 m b的规律，由此求得数列 m b的前100项和 100 S. 【详解】 （1）由于数列 n a是公比大于1的等比数
31、列，设首项为 1 a，公比为q，依题意有 3 11 2 1 20 8 a qa q a q ， 解得解得 1 2,2aq，或 1 1 32, 2 aq(舍)， 所以2n n a ，所以数列 n a的通项公式为2n n a . （2）由于 1234567 22,24,28,216,232,264,2128，所以 1 b对应的区间为：0,1，则 1 0b ； 23 ,b b对应的区间分别为：0,2 , 0,3，则 23 1bb，即有2个1； 4567 ,b b b b对应的区间分别为：0,4 , 0,5 , 0,6 , 0,7，则 4567 2bbbb，即有 2 2 个2； 8915 ,b bb对
32、应的区间分别为：0,8 , 0,9 , 0,15，则 8915 3bbb，即有 3 2个3； 161731 ,bbb对应的区间分别为：0,16 , 0,17 , 0,31，则 161731 4bbb，即有 4 2 个4； 323363 ,bbb对应的区间分别为：0,32 , 0,33 , 0,63，则 323363 5bbb，即有 5 2个5； 6465100 ,bbb对应的区间分别为：0,64 , 0,65 , 0,100，则 6465100 6bbb，即有37个6. 所以 2345 100 1 22 23 24 25 26 37480S . 【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查
33、分析思考与解决问的能力，属于中档题. 19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的 PM2.5和 2 SO浓度（单位： 3 g/m） ，得下表： 2 SO PM2.5 0,50 (50,150 (150,475 0,35 32 18 4 (35,75 6 8 12 (75,115 3 7 10 （1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且 2 SO浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22列联表： 2 SO PM2.5 0,150 (150,475 0,75 (75,115 （3）根据（2）中的列联表，判断
34、是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与 2 SO浓度有关？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ， 2 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】 （1）0.64； （2）答案见解析； （3）有. 【分析】 （1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果； （2）根据表格中数据可得22列联表； （3）计算出 2 K ，结合临界值表可得结论. 【详解】 （1）由表格可知，该市 100 天中，空气中的2.5PM浓度不超过 75，且 2 SO浓度不超过 150 的天 数有32 6
35、 18 864 天， 所以该市一天中，空气中的2.5PM浓度不超过 75，且 2 SO浓度不超过 150 的概率为 64 0.64 100 ； （2）由所给数据，可得22列联表为： 2 SO 2.5PM 0,150 150,475 合计 0,75 64 16 80 75,115 10 10 20 合计 74 26 100 （3）根据22列联表中的数据可得 22 2 ()100 (64 10 16 10) ()()()()80 20 74 26 n adbc K ab cd ac bd 3600 7.48446.635 481 ， 因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中2.5PM
36、浓度与 2 SO浓度有关. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善22列联表，考查了独立性检验，属于中档题. 20.如图，四棱锥 P-ABCD的底面为正方形，PD底面 ABCD设平面 PAD 与平面 PBC的交线为 l （1）证明：l平面 PDC； （2）已知 PD=AD=1，Q为 l上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值 【答案】 （1）证明见解析； （2） 6 3 . 【分析】 （1） 利用线面垂直的判定定理证得AD 平面PDC， 利用线面平行的判定定理以及性质定理， 证得/AD l， 从而得到l 平面PDC； （2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应
37、点的坐标，设出点( ,0,1)Q m，之后求得平面QCD 的法向量以及向量PB的坐标，求得cos, n PB的最大值，即为直线PB与平面QCD所成角的正弦值的 最大值. 【详解】 （1）证明： 在正方形ABCD中，/AD BC， 因为AD平面PBC，BC 平面PBC， 所以/AD平面PBC， 又因为AD 平面PAD，平面PAD平面PBCl， 所以/AD l， 因为在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，所以,ADDClDC 且PD 平面ABCD，所以,ADPDlPD 因为CDPDD 所以l 平面PDC； （2）如图建立空间直角坐标系Dxyz， 因为1PDAD，则有(0,0,0),(0,1,
38、0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)DCAPB， 设( ,0,1)Q m，则有(0,1,0),( ,0,1),(1,1, 1)DCDQmPB， 设平面QCD的法向量为( , , )nx y z， 则 0 0 DC n DQ n ，即 0 0 y mxz ， 令1x ，则zm，所以平面QCD的一个法向量为(1,0,)nm，则 2 1 0 cos, 31 n PBm n PB n PBm 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与 平面所成角的正弦值等于 2 |1| |cos,| 31 m n PB m r uur 2 2 31 2
39、 31 mm m 22 3232|36 111 1 313133 mm mm ，当且仅当1m时取等号， 所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为 6 3 . 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定 和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目. 21.已知函数 1 ( )elnln x f xaxa （1）当ae时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若 f（x）1，求 a 的取值范围 【答案】 （1） 2 1e （2）1,) 【分析】 （1）先求导数，再根据导
40、数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐 标，最后根据三角形面积公式得结果； （2）解法一：利用导数研究，得到函数 f x得导函数 fx的单调递增，当 a=1 时由 10f得 11 min f xf,符合题意；当 a1 时，可证 1 ( )(1)0ff a ，从而 fx存在零点 0 0x ，使得 0 1 0 0 1 ()0 x fxae x ，得到 min ( )f x ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式 可以证得 1x 恒成立；当01a时，研究 f 1.即可得到不符合题意.综合可得 a 的取值范围. 解法二：利用指数对数的运算可将 1 11 ln
41、a xlnx f xelnaxelnx 转化为, 令 x g xex,上述不等式等价于1g lnaxg lnx ,注意到 g x的单调性，进一步等价转化为 1lnalnxx ，令 1h xlnxx ,利用导数求得 maxh x，进而根据不等式恒成立的意义得到关于 a 的对数不等式，解得 a的取值范围. 【详解】 （1）( )ln1 x f xexQ， 1 ( ) x fxe x ，(1)1kfe . (1)1feQ，切点坐标为(1,1+e), 函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为1(1)(1)yeex ,即12yex, 切线与坐标轴交点坐标分别为 2 (0,2),(,0) 1e ,
42、所求三角形面积为 122 2 |= 211ee ; （2）解法一： 1 ( )lnln x f xaexa Q, 1 1 ( ) x fxae x ，且0a. 设( )( )g xfx,则 1 2 1 ( )0, x g xae x g(x)在(0,)上单调递增，即 ( )fx 在(0,)上单调递增， 当1a 时，( )01 f , 11 min f xf, 1f x 成立. 当1a 时， 1 1 a ， 1 1 1 a e ， 1 1 1 ( )(1)(1)(1)0 a ffa ea a , 存在唯一 0 0x ，使得 0 1 0 0 1 ()0 x fxae x ，且当 0 (0,)xx时
43、( )0fx，当 0 (,)xx时 ( )0fx ， 0 1 0 1 x ae x ， 00 ln1lnaxx ， 因此 0 1 min00 ( )()lnln x f xf xaexa 00 00 11 ln1ln2ln122ln1axaaxa xx 1, 1,f x 1f x 恒成立； 当01a时， (1)ln1,faaa(1)1,( )1ff x不是恒成立. 综上所述，实数 a的取值范围是1,+). 解法二： 11 1 xlna x f xaelnxlnaelnxlna 等价于 1 1 lna xlnx elnaxlnxxelnx , 令 x g xex,上述不等式等价于1g lnaxg lnx , 显然 g x为单调增函数，又等价于1lnaxlnx ，即1lnalnxx ， 令 1h xlnxx ,则 11 1 x h x xx 在0,1上 h(x)0,h(x)单调递增；在(1,+)上 h(x)0,h(x)单调递减， 10 max h xh, 01lnaa，即，a 的取值范围是1,+). 【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查
