1、2323 个求极值和值域专题个求极值和值域专题 1 1、求函数求函数 2 f xxx3x 2( )的值域的值域. . 2 2、求函数求函数f xx2713xx( ) 的值域的值域. . 3 3、求函数求函数f xx5243x( ) 的值域的值域. . 4 4、求函数求函数 2 x1 f x x1 ( ) 的值域的值域. . 5 5、已知函数已知函数 2 2 2xbxc f x x1 ( ) （其中（其中b0 ）的值域是）的值域是1 3 , ，求，求实数实数b c,. . 6 6、已知：已知：x y z, ,为正实数，且为正实数，且xyzxyz，求函数，求函数 222 xyz f x y z x
2、yz ( , , ) 的最小值的最小值. . 7 7、已知：已知： 22 2x3xy2y1，求：，求：f x yxyxy( , ) 的最小值的最小值. . 8 8、设函数、设函数 2 113 f xx 22 ( ) 在区间在区间a b , 的最小值为的最小值为2a，最大值为，最大值为2b，求区间，求区间a b , . . 9 9、已知：、已知： 22 xy25，求函数，求函数f x y8y6x508y6x50( , )的最大值的最大值. . 1010、求函数：、求函数： 22 f xx2x10x16x68( ) 的最小值的最小值. . 1111、求函数：、求函数： 2 2 xx f x x4x
3、4 ( ) 的值域的值域. . 1212、已、已知实数知实数 123 xxx,满足满足 32 1 xx x1 23 和和 22 232 1 xx x3 23 ，求，求 3 x的最小值的最小值. . 1313、求函数：、求函数： 222 f x y1yxy32xy6( , )()()()的最小值的最小值. . 1414、已知：、已知：x1y25，求函数：，求函数：f x yxy( , ) 的最小值的最小值. . 1515、已知点、已知点P x y( , )在椭圆在椭圆 22 xy 1 49 上，求上，求f x y2xy( , ) 的最大值的最大值. . 1616、求函数：、求函数：f x2x83
4、x( ) 的值域的值域. . 1717、求函数：、求函数： 2 x f x1x2x2 2 ( )的值域的值域. . 1818、求函数：、求函数：f x1x1x2x2x3x3x( )sinsinsinsinsinsin的最的最 大值大值. . 1919、设：、设： i xi1 2 32003(, , ,.,) 为正实数，且满足为正实数，且满足 122003 xxx2003.， 试求：试求： 12232002200320031 yxxxxxxxx.的最小值的最小值. . 2020、已知、已知x y z, ,为正实数，且满足为正实数，且满足 222 222 xyz 2 1x1y1z ， 求：求： 2
5、22 xyz f x y z 1x1y1z ( , , ) 的最大值的最大值. . 2121、设、设 为锐角，求：为锐角，求： 11 f11( )()() sincos 的最小值的最小值. . 2222、设、设 为锐角，求证：为锐角，求证：2sintan. . 2323、已知、已知x y z, ,为正实数，求证：为正实数，求证： 222 xy2yz5 2 xyz . . 2323 个求极值和值域专题解析个求极值和值域专题解析 1 1、求函数求函数 2 f xxx3x 2( )的值域的值域. . 解析：解析：函数函数 2 f xxx3x 2xx 1 x 2( )()()的定义域为：的定义域为：1
6、2(, ,). . 函数的导函数为：函数的导函数为： 22 3 x 2 fx1 31 x 22 ( ) ()( ) 当当x1(, 时，时， 3 x0 2 ，则，则 22 3 x 2 1 31 x 22 ()( ) 故故 22 3 x 2 fx10 31 x 22 ( ) ()( ) 即：函数即：函数f x( )在在x1(, 区间为区间为单调递减函数单调递减函数，故：，故：f xf 11( )( )； xx f xf xfx( )lim( )lim() 22 22 22 xx x3x2x x3x2x x3x2x ()() lim ()lim 22 xx 2 2 3 3x233 x 11232 x
7、3x2x 11 x x limlim 故：故：函数在该区间的值域是函数在该区间的值域是 3 1 2 ,). . 当当x2 ,)时，时， 3 x0 2 ，则，则 22 3 x 2 fx10 31 x 22 ( ) ()( ) 即：函数即：函数f x( )在在x2 ,)区间为区间为单调递增函数单调递增函数，故：，故：f xf 22( )( )； 2 xx f xf xx3x2x( )lim( )lim () 故：故：函数在该区间的值域是函数在该区间的值域是2 ,). . 综上，函数的值域是综上，函数的值域是 3 12 2 ,) ,). . 本题采用导数的正负来确定函数的增减，此法称为“单调性法”本
8、题采用导数的正负来确定函数的增减，此法称为“单调性法”. . 2 2、求函数求函数f xx2713xx( ) 的值域的值域. . 解析：解析：函数函数f x( )的定义域是：的定义域是：x0 13 ,. . 待定系数法用于柯西不等式来解本题待定系数法用于柯西不等式来解本题. . 设：设：A B C0,，则柯西不等式为：，则柯西不等式为： 2222 111 A x27B 13xCxfx ABC ()()() ( ) 即：即： 2 111 fxABC x27A13B ABC ( )()() 令：令：ABC0，即：，即：BA C 由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件由柯西不等式的等号成立条
9、件，即函数取极值时条件得：得： A x27Cx B 13xCx 由由得：得： 2 2 x27C xA ，即：，即： 22 2 27CA x A ，即：，即： 2 22 27A x CA 将将代入代入得：得： 22 22 2222 27A27A AC13C CACA () () 即：即： 222222 AC13C13A27A27A C() () 即：即： 22222 A C13C40A27A C() ()，即：，即： 2 22 1340 AC27 AC () () 试解试解，由于，由于273 3 3 ，则，则式刚好也是式刚好也是 3 3 项相乘，不妨试解采用项相乘，不妨试解采用各项都是各项都是
10、3.3. 则：则：A C3，且，且 22 1340 3 AC . . 则：则：A1 ，C2 ，B3 代入得：得： 2 222 27A27 x9 CA21 ，即，即x9 时函数取得极大值时函数取得极大值. . 函数极大值为函数极大值为f x9927139962311() 当当x0 9 , 时，函数时，函数f x( )在本区间为在本区间为单调递增函数单调递增函数. . 故：故： f xf 0271303 313( )( ) 即：函数即：函数f x( )在在x0 9 , 区间的值域是区间的值域是3 313 11, 当当x9 13 , 时，函数时，函数f x( )在本区间为在本区间为单调递减函数单调递
11、减函数. . 故：故： f xf 13132713131340132 1013( )() 即：函数即：函数f x( )在在x9 13 , 区间的值域是区间的值域是2 1013 11, 综上，函数综上，函数f x( )的值域是的值域是3 313 11, . . 本题采用“待本题采用“待定系数法” 、 “柯西不等式”和“单调性法”定系数法” 、 “柯西不等式”和“单调性法”. . 3 3、求函数求函数f xx5243x( ) 的值域的值域. . 解析：解析：函数函数f x( )的定义域是：的定义域是：x5 8 , . . 待定系数法用于柯西不等式来解本题待定系数法用于柯西不等式来解本题. . 设：
12、设：A B0, ，则柯西不等式为：，则柯西不等式为： 222 11 A x5B 243xfx AB ()() ( ) 即：即： 2 11 fxA3B x5A24B AB ( )()() 令：令：A3B0，即：，即：A3B 由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：A x5B 243x 即：即： 22 Ax5B243x()()，即：，即： 2 2 x53B 8x A ，即：，即： 22 2 x58x3BA 8x A 即：即： 22 2 33BA 8x A ，即：，即： 2 22 3A 8x 3BA ，即：，即： 2 22 3A x8 3B
13、A 将将式代入式代入式得：式得： 2 22 27B27923 x888 1244 3B9B 当当 23 x 4 时，函数时，函数f x( )达到极大值达到极大值. . 极大值为：极大值为： 23232333 24243 23 f5243 444444 () 3324327 2 3 4422 函数的导函数为：函数的导函数为： 13243x3 x5 fx 2 x52 243x2 x5243x ( ) 当当 23 x5 4 , 区间时，区间时，fx0( ) ，函数函数f x( )单调递增单调递增. . 故：故： f xf 50243 53( )( ) 即：函数即：函数f x( )在本区间的值域是在本
14、区间的值域是3 2 3 ,. . 当当 23 x8 4 , 区间时，区间时，fx0( ) ，函数函数f x( )单调递减单调递减. . 故：故： f xf 88503( )( ) 即：函数即：函数f x( )在本区间的值域是在本区间的值域是3 2 3,. . 综上，函数综上，函数f x( )的值域是的值域是3 2 3,. . 本题采用“待定系数法” 、 “柯西不等式”和“单调性法”本题采用“待定系数法” 、 “柯西不等式”和“单调性法”. . 4 4、求函数求函数 2 x1 f x x1 ( ) 的值域的值域. . 解析：解析：函数函数f x( )的定义域是：的定义域是：x11(, )( ,)
15、 . . 则函数则函数f x( )为：为： 22 2 x1x1 f xg x x1 x1 ( )( ) () （当（当x1 时取负号，当时取负号，当x1 时取正号）时取正号） 于是函数的极值在：于是函数的极值在：gx0( ) 即：即： 22 2 43 2 x1 x12x x12 gxx1x x10 x1x1 ()()() ( )()() ()() 即：即： 2 x1x x10()()，即：，即：x1 在在x1(,) 区间，函数区间，函数f x( )的极值为：的极值为： 2 112 f x1 112 () () 在区间的边界有：在区间的边界有： 2 2 2 xxx2 1 1 x1 x f x1
16、1 x1 1 x lim( )lim ()lim () () () 2 2 x1x1 x1 f x x1 lim( )lim() () 故：函数故：函数f x( )在该区间的值域是在该区间的值域是 2 2 (, . . 在在x1( ,)区间，函数区间，函数 2 22 x12x f x1 x1x1 ( ) ()() ，为单调递减函数，为单调递减函数. . 故有：故有： 2 2 x1x1 x1 f xf x x1 ( )lim( )lim() () ； 2 22 xxx x12x f xf x11 x1x1 ( )lim( )lim ()lim () ()() 故：函数故：函数f x( )在该区间
17、的值域是在该区间的值域是1( ,). . 综上，函数综上，函数f x( )的值域是的值域是 2 1 2 (,( ,) . . 本题方法属“单调性法”本题方法属“单调性法” 5 5、已知函数已知函数 2 2 2xbxc f x x1 ( ) （其中（其中b0 ）的值域是）的值域是1 3 , ，求实数，求实数b c,. . 解析：解析：函数的定义域为函数的定义域为xR . . 将函数变形为：将函数变形为： 22 y x12xbxc()，即：，即： 2 2y xbxcy0()() 其判别式不等式为：其判别式不等式为： 222 b4 2y cyb8c4 2c y4y0()()()() 即：即： 22
18、b 2c2c yy0 2 ( )() 而函数而函数f x( )的值域是的值域是1 3 , ，即：，即：y1 3y0()()，即：，即： 2 34yy0 对比对比两式得：两式得：c2 ， 2 b 2c3 2 ( ) ，即，即 2 b 1 2 ( ) ，因，因b0 ，故：，故：b2 故：实数故：实数b2 ，c2 . . 此法称为“判别式法”此法称为“判别式法”. . 6 6、已知：已知：x y z, ,为正实数，且为正实数，且xyzxyz，求函数，求函数 222 xyz f x y z xyz ( , , ) 的最小值的最小值. . 解析：解析：首先设首先设xyza，代入，代入xyzxyz得：得：
19、 3 3aa ，即：，即：a3 ，则：，则： 当当xyz3 3 时，由均值不等式时，由均值不等式 nn QA ，即：，即： 2 222 xyzxyz 33 得：得： 22 222 xyzxyz xyz 33 ()() 则：则： 2222 xyzxyzxyz f x y z3 xyz3xyz3 () ( , , ) 当当xyz3 3 时，由均值不等式时，由均值不等式 nn AG ，即：，即： 222 23 xyz xyz 3 () 得：得： 22223 xyz3xyz() 则：则： 22223 3 33 3xyzxyz33 f x y z3 xyzxyzxyz 3 () ( , , ) () (
20、) 当当xyz3 3 时，由均值不等式时，由均值不等式 nn QA ，即：，即： 2 222 xyz xyz 3 () 代入已知条件代入已知条件xyzxyz， 得：得： 22 222 xyzxyz xyz 33 ()() 则：则： 2222 xyzxyzxyz3 3 f x y z3 xyz3xyz33 () ( , , ) 故：由故：由、得，得， 222 xyz f x y z xyz ( , , ) 的最小值是的最小值是3. . 本题先确定本题先确定xyz 均值，然后在均值，然后在xyz 均值和均值和xyz 均值下求极值均值下求极值. .此法称为“分别讨论法”此法称为“分别讨论法”. .
21、7 7、已知：已知： 22 2x3xy2y1，求：，求：f x yxyxy( , ) 的最小值的最小值. . 解析：解析：由已知条件由已知条件 22 2x3xy2y1得：得： 2 xy2 xy1() 代入代入f x yxyxy( , ) 得：得： 2 f x yzxyxyxy2 xy1( , )() 即：即： 2 2 xyxy1z0()()() 令：令：txy，则方程变为：，则方程变为： 2 2tt1z0() 采用判别式法得：采用判别式法得： 2 14 21z0() ，即：，即： 1 1z 8 () ，即：，即： 9 z 8 故：故：f x yxyxy( , ) 的最小值是的最小值是 9 8
22、. . 此题采用的是“判别式法”此题采用的是“判别式法” 8 8、设函数、设函数 2 113 f xx 22 ( ) 在区间在区间a b , 的最小值为的最小值为2a，最大值为，最大值为2b，求区间，求区间a b , . . 解析：解析：首先，首先，f x( )是是一个偶函数，在一个偶函数，在0(, )区间单调递增，在区间单调递增，在0( ,)区间单调递减区间单调递减. . 当当0ab时，时，f x( )为单调递减函数，即：为单调递减函数，即：f af b( )( ) . . 故：故：f a( )是是最大值为最大值为2b，f b( )是最小值为是最小值为2a. . 即：即： 2 2 113 f
23、 aa2b 22 113 f bb2a 22 ( ) ( ) 即：即： 2 2 a4b130 b4a130 （* *） （* *）两式相减得：）两式相减得： 22 ab4 ab0()()，即：，即： ab4 则则: : 2 ab16()，即：，即： 22 ab162ab() （* *）两式相加得：）两式相加得： 22 ab4 ab26()() 将将式代入后化简得：式代入后化简得：ab3 由由得：得：a1 ，b3 . . 则区间则区间a b , 为为1 3 , . . 当当a0 、b0 时，时，f x( )的最大值是的最大值是 13 f 0 2 ( ) ，即：，即： 13 b 2 . . i i
24、. .若若ab ，则，则f x( )的最小值为：的最小值为： 2 113 f aa2a 22 ( ) ， 即：即： 2 a4a130，解之及，解之及a0 可得：可得：a217 ， 故此时区间故此时区间a b , 为为 13 217 4 , . . iiii. .若若ab 则则f x( )的最小值为：的最小值为： 2 113 f bb2a 22 ( ) ， 即：即： 22 1131 1313131313339 ab1 4444441641664 ()() ， 则：则：a0 . . 不符合题设，即此时无解不符合题设，即此时无解. . 当当ab0时，由时，由f x( )是一个偶函数可得：是一个偶函数
25、可得：f af b( )( ) ，故：，故： f a( )是是最小值为最小值为2a，f b( )是最大值为是最大值为2b，即：，即： 2 2 113 f aa2a 22 113 f bb2b 22 ( ) ( ) 即：即： 2 2 a4a130 b4b130 则：则：a b,为一元二次方程为一元二次方程 2 x4x130的两个根，的两个根， 由韦达定理得：由韦达定理得： ab4 ab13 ，则由，则由ab13 得：得： a b,异号，不符合题设，即此时无解异号，不符合题设，即此时无解. . 综上，区间综上，区间a b , 为为1 3 , 或或 13 217 4 , . . 本题采用“分别讨论法
26、”和“极值法”本题采用“分别讨论法”和“极值法”. . 9 9、已知：、已知： 22 xy25，求函数，求函数f x y8y6x508y6x50( , )的最大值的最大值. . 解析：解析：由由 22 xy25可知，函数可知，函数f x y( , )的定义域是：的定义域是：x5 5, ，y5 5, 有均值不等式有均值不等式 nn AQ ，即：，即： 22 8y6x508y6x508y6x508y6x50 22 ()() 即：即： 22 8y6x508y6x50 f x y22 8y50 2 ()() ( , ) 即：即：f x y2 85506 10( , ) 当当y5 时，时，x0 ，f 0
27、 56 10( , ) ，即可以取到不等式的等号。，即可以取到不等式的等号。 故：函数故：函数f x y( , )的最大值是的最大值是6 10. . 本题采用本题采用 nn AQ ，称为“均值不等式”，称为“均值不等式”. . 1010、求函数：、求函数： 22 f xx2x10x16x68( ) 的最小值的最小值. . 解析：解析：函数函数 222222 f xx2x10x16x68x13x82( )()() 其定义域为：其定义域为：xR 令：令：mx1 3( (), ) ，nx8 2(, ) 则：则： 22 mx13()， 22 nx82()，mn7 5( , ) 于是：于是： 22 f
28、xmnmn75492574( ) 当当mn/ /时，时， x13 x82 () ，即：，即：3 x82 x10()()， 即：即：5x260，则：，则： 26 x 5 2222 262626 f1382 555 ()()() 2222222222 22 213514253 752 75 55 55 22 75492574 所以，所以，74是可以取到的是可以取到的. . 故故f x( )的最小值是的最小值是74. . 正是由于正是由于mn/ /时，函数时，函数 2222 f xx13x82( )()()取到极值，所以有人总结出此取到极值，所以有人总结出此 类题的解法用类题的解法用mn/ /来解，
29、即设来解，即设mn ，代入，代入mx1 3( (), ) ，nx82(,)后得：后得： mx1 3x82x82( (), )(,)(,) 即：即： x1x8 32 ，即：，即： 3 2 1 x81() ， 即：即： 81121242 x 3 132 1 2 ，即：，即： 1 26 x 5 ， 2 x22 这两个结果分别对应于这两个结果分别对应于 22 f xx2x10x16x68( ) 的极小的极小值值 和和 22 f xx2x10x16x68( ) 的极大值的极大值. . 本题采用的是“向量法”本题采用的是“向量法”. . 1111、求函数：、求函数： 2 2 xx f x x4x4 ( )
30、 的值域的值域. . 解析：解析：先求函数的定义域先求函数的定义域. . 定义域为：定义域为：x2 本题采用判别式法解题本题采用判别式法解题. . 由由 2 2 xx y x4x4 等价变形为：等价变形为： 22 yx4yx4yxx 即：即： 2 1y x4y1 x4y0()() 式上面方程有解得判别式是：式上面方程有解得判别式是： 2 4y14 4y 1y0()() 即：即： 22 16y8y116y16y8y10 ，即：，即： 1 y 8 故：函数故：函数 2 2 xx f x x4x4 ( ) 的值域为的值域为 1 8 ,). . 此法称为“判别式法”此法称为“判别式法” 本题亦可以采用
31、换元法和配方法来做本题亦可以采用换元法和配方法来做. . 令：令：tx2，则，则t0 ，xt2 于是：于是： 2222 22222 t2t2t3t213 1331 f t22 4 t2 ttt44 ()() ( )() 2 22 2 13311311 222 t442t488 ()()() 当当 4 t 3 时，即：当时，即：当 2 x 3 时，时，f x( )达到极小值达到极小值 1 8 . . 此法就是“换元配方法”此法就是“换元配方法”. . 1212、已知实数、已知实数 123 xxx,满足满足 32 1 xx x1 23 和和 22 232 1 xx x3 23 ，求，求 3 x的最
32、小值的最小值. . 解析：解析：由已知得：由已知得： 32 1 xx x1 23 22 232 1 xx x3 23 则由柯西不等式得：则由柯西不等式得： 2 2222 11 xx1 x1x 222 ()()() 将将、代入代入得：得： 2 233 xx3 31 233 ()() 即：即： 22 33 9 9x2 3x()()，即：，即： 22 333 819x2x12x18 即：即： 2 33 11x12x630 其判别式为：其判别式为： 22222 124 11634 611 7 696()() 故：方程等号下的两根为：故：方程等号下的两根为： 3 3 126 9627 x 21 2 11
33、11 11 则：则： 3 21 x3 11 , 根据柯西不等式等号成立的条件得：根据柯西不等式等号成立的条件得： 12 xx 代入代入式得：式得： 321 1 xx3x 1x1 322 ()，即：，即： 1 3 3x x3 1 2 () 代入代入式得：式得： 222 2321 1 xxx 3x3 1 322 ()()，即：，即： 2 21 3 x x9 1 2 () 由由两式得：两式得： 2 211 3xx 9 19 1 22 ()()，即：，即： 2 211 3xx 11 22 ()() 即：即： 22 11 23x42x()()，即：，即： 22 111 412x9x42x 即：即： 2
34、11 11x12x0，即：，即： 11 11x12 x0()，即：，即： 1 0 x 12 11 则：则： 12 xx0，此时：，此时： 3 x3 ；此为最大值；此为最大值. . 12 12 xx 11 ，此时：，此时： x x 1 3 33 121821 3(1)3(1)3(1) 22 111111 所以，所以，x3的最小值为的最小值为 21 11 . . 此题解法为“柯西不等式”此题解法为“柯西不等式”. . 1313、求函数：、求函数： 222 f x y1yxy32xy6( , )()()()的最小值的最小值. . 解析：解析：待定系数法用于柯西不等式来解本题待定系数法用于柯西不等式来
35、解本题. . 设：设：A B CR, ，则柯西不等式为：，则柯西不等式为： 222222 1yxy32xy6ABC()()() 2 A 1yB xy3C 2xy6g x y z ()()()( , , ) 即：即： 222 f x y z ABCg x y z( , , )( , , ) 则：则： 2 g x y zA3B6CB2C xABC y( , , )()()() 令：令：B2C0，ABC0()，则：，则：B2C ，ABC2CCC 故：设故：设C1 ，则：，则：A1 ，B2 ， 222 ABC1416 则：则： 22 g x y zA3B6C1661( , , )()() 将将、代入代
36、入得：得： 222 g x y z1 f x y z 6 ABC ( , , ) ( , , ) 柯西不等式柯西不等式中，等号成立的条件是：中，等号成立的条件是： 1yxy32xy6 ABC 即：即： 1 y1xy32xy6k 2 () ，则：，则：yk1 则：则： 1 xy32xy6 2 ()，即：，即：3xy4x2y12 即：即：5x3y153 k1153k12() ，即：，即： 3k12 x 5 将将yk1和和 3k12 x 5 代入代入2xy6k得：得： 6k24 k16k 5 即：即：6k2425，即：，即： 1 k 6 于是：当于是：当 1 12 3k12255 2 x 55102 ， 15 y1 66 时，柯西不等式时，柯西不等式中，等号成立中，等号成立. . 即：即： 222 f x y1yxy32xy6( , )()()()的最小值是的最小值是 1 6 . . 本题系“待定系数法”用于“柯西不等式”本题系“待定系数法”用于“柯西不等式”. .
