1、 1 考前回归考前回归知识必备知识必备 *1 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 集集 合合 与与 常常 用用 逻逻 辑辑 用用 语语 集集 合合 概念概念 = 123 , n a a aa 元素特点：互异性、无序性、确定性。元素特点：互异性、无序性、确定性。 一组对象的全体一组对象的全体. ,xA xA 关系关系 子集子集 的子集有的子集有2n个， 真子集有个， 真子集有21 n 个， 非空个， 非空 真子集有真子集有22 n 个个 A ； ,AB BCAC 真子集真子集 相等相等 ,AB BAAB 运算运算 交集交集 |,xxBxBAA且 【提醒】 ：数轴和韦恩图是进行交、并、【提醒】
2、：数轴和韦恩图是进行交、并、 补运算的有力工具补运算的有力工具. 在具体计算时不要忘了集合本身和在具体计算时不要忘了集合本身和 空集这两种特殊情况，补集思想常运用空集这两种特殊情况，补集思想常运用 于解决否定型或正面较复杂有关问题。于解决否定型或正面较复杂有关问题。 并集并集 |,xxBxBAA或 补集补集 | U x xUC AxA且 常常 用用 逻逻 辑辑 用用 语语 命题命题 概念概念 能够判断真假的语句。能够判断真假的语句。 四种四种 命题命题 原命题：原命题： 若若p，则，则q 逆命题：逆命题： 若若q，则，则p 否命题：否命题： 若若p，则，则q 逆否命题：逆否命题： 若若q，则，
3、则p 充要充要 条件条件 充分条件充分条件 pq ，p是是q的充分条件的充分条件 若命题若命题p对应集合对应集合A，命题，命题q对应集合对应集合 B， 则， 则pq等价于等价于AB，pq等等 价于价于AB。 必要条件必要条件 pq ，q是是p的必要条件的必要条件 充要条件充要条件 pq，, p q互互为充要条件为充要条件 逻辑逻辑 连接词连接词 或命题或命题 pq，, p q有一为真即为真，有一为真即为真，, p q均为假时才为假。均为假时才为假。 类比集合的并类比集合的并 且命题且命题 pq ，, p q均为真时才为真，均为真时才为真，, p q有一为假即为假。有一为假即为假。 类比集合的交
4、类比集合的交 非命题非命题 p和和p为一真一假两个互为对立的命题。为一真一假两个互为对立的命题。 类比集合的补类比集合的补 量词量词 全称量词全称量词 ，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。 存在量词存在量词 ，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。 命题的否定与否命题命题的否定与否命题 *1.命题命题pq的的否定否定与它的与它的否命题否命题的区别：的区别： 命题命题pq的否定是的否定是pq,否命题否命题是是pq . 命题命题“p或或q”的否定是的否定是“p且且q”,“p且且q”的
5、否定是的否定是“p或或q”. *2.常考模式：常考模式： 全称命题全称命题 p：,( )xM p x ；全称命题；全称命题 p 的否定的否定p：,( )xMp x . 特称命题特称命题 p：, ( )xM p x ；特称命题；特称命题 p 的否定的否定p：,( )xMp x . 【自我反思】【自我反思】 1你知道集合中的元素互异性吗？研究集合一定要首先看清什么？研究集合交、并、补运算时，你你知道集合中的元素互异性吗？研究集合一定要首先看清什么？研究集合交、并、补运算时，你 注意到两种极端情况了吗？你会用补集的思想以及借助于数轴或韦恩图进行解决有关问题吗？注意到两种极端情况了吗？你会用补集的思想
6、以及借助于数轴或韦恩图进行解决有关问题吗？ 2存在性命题和全称命题是什么？如何否定？存在性命题和全称命题是什么？如何否定？ 命题的否定和否命题一样吗？充分条件、必要条件和命题的否定和否命题一样吗？充分条件、必要条件和 充要条件的概念记住了吗？如何判断？反证法证题的三部曲你还记得吗？充要条件的概念记住了吗？如何判断？反证法证题的三部曲你还记得吗？ 注意：注意：如如 “若“若a和和b都是偶数，则都是偶数，则ba是偶数”的否命题是“若是偶数”的否命题是“若a和和b不都是偶数，则不都是偶数，则ba是奇是奇 数”否定是“若数”否定是“若a和和b都是偶数，则都是偶数，则ba是奇数”是奇数” 若若 2x ，
7、则，则2x ；真命题；真命题 互 否 为 逆 为 逆 互 否 互 否 互 否 互 逆 原命题 若 p 则 q 互 逆 逆命题 若 q 则 p 逆否命题 若q则p 逆否命题 若q则p 2 *2.复数复数与与统计与统计案例统计与统计案例 概率概率 复复 数数 复数复数 的概的概 念和念和 运算运算 概念概念 虚数单位虚数单位 规定：规定： 2 1i ；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、 乘运算律仍成立。乘运算律仍成立。 4414243 1,1,() kkkk iii iii k Z。 复数复数 形如形如( ,)abi a bR的数叫做复数
8、，的数叫做复数，a叫做复数的实部，叫做复数的实部，b叫做复数的叫做复数的 虚部。虚部。0b时叫虚数、时叫虚数、0,0ab时叫纯虚数。时叫纯虚数。 复数相等复数相等 ( , , ,),abicdi a b c dac bdR 共轭复数共轭复数 实部相等，虚部互为相反数。即实部相等，虚部互为相反数。即zabi，则，则zabi。 运算运算 加减法加减法 () ()() ()a bicdia cb d i，( , , ,)a b c d R。 乘法乘法 ()()() ()a bi cdiac bdbcad i，( , , ,)a b c d R 除法除法 2222 , , ,()()(0,)a b c
9、 d acbdbcda abicdii cdi cdcd R 几 何几 何 意义意义 复数复数zabi 一一对应 复平面内的点复平面内的点( , )Z a b 一一对应 向量向量OZ 向量向量OZ的模叫做复数的模，的模叫做复数的模， 22 zab 主主 要要 性性 质质 复数复数 运算运算 *1.运算律：运算律： mnm n zzz ； () m nmn zz； 1212 ()( ,) mmm zzz zm nN. 【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2.模的性质：模的性质： 1 212 | |z zzz； 11 22
10、| | | zz zz ； n n zz. *3.重要结论：重要结论： 2 2 12 z zzz； 2 12ii ； 1 1 i i i ， 1 1 i i i ； i性质：性质：T=4；1 , , 1, 4342414 nnnn iiiiii. 【拓展】 ：【拓展】 ： 32 11101或或 13 i 22 . 统统 计计 与与 统统 计计 案案 例例 统统 计计 随机随机 抽样抽样 简单抽样简单抽样 从总体中逐个抽取且不放回抽取样本的方法。从总体中逐个抽取且不放回抽取样本的方法。 等概率抽样。等概率抽样。 分层抽样分层抽样 将总体分层，按照比例从各层中独立抽取样本的方法。将总体分层，按照比
11、例从各层中独立抽取样本的方法。 系统抽样系统抽样 将总体均匀分段，每段抽取一个样本的方法。将总体均匀分段，每段抽取一个样本的方法。 样本样本 估计估计 总体总体 众数众数 样本数据中出现次数最多的数据。样本数据中出现次数最多的数据。 标准差标准差 2 1 1 () n i i sxx n 中位数中位数 从小到大排序后， 中间的数或者中间两数的平均数。从小到大排序后， 中间的数或者中间两数的平均数。 平均数平均数 12 , n x xx的平均数是的平均数是 12 1 () n xxxx n 。 方差方差 12 , n x xx的平均数为的平均数为x， 22 1 1 () n i i sxx n
12、。 概概 率率 定义定义 如果随机事件如果随机事件A在在n次试验中发生了次试验中发生了m次，当试验的次数次，当试验的次数n很大时，我们可以将发生的很大时，我们可以将发生的 频率频率 m n 作为事件作为事件A发生的概率的近似值，即发生的概率的近似值，即 m P A n 。 事件事件 关系关系 互斥事件互斥事件 事件事件A和事件和事件B在任何一次实验中不会同时发生在任何一次实验中不会同时发生 类比集合关系。类比集合关系。 对立事件对立事件 事件事件A和事件和事件B， 在任何一次实验中有且只有一个发生。， 在任何一次实验中有且只有一个发生。 性质性质 基本性质基本性质 0( )1P A， ()0P
13、 ， ( )1P 。 互斥事件互斥事件 事件事件,A B互斥，则互斥，则()( )( )P ABP AP B。 古典古典 概型概型 特征特征 基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性 计算公式计算公式 ( ) m P A n ，n基本事件的个数、基本事件的个数、m事件事件A所包含的基本事件个数。所包含的基本事件个数。 几何几何 概型概型 特征特征 基本事件个数的无限性每个基本事件发生的等可能性。基本事件个数的无限性每个基本事件发生的等可能性。 计算公式计算公式 ( ) A P A 构成事件 的测度 试验全部结果所构成的测度 3 3.平面向量平面向量
14、平平 面面 向向 量量 重重 要要 概概 念念 向量向量 既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。 0向量向量 长度为长度为0，方向任意的，方向任意的向量。 【向量。 【0与任一非零向量共线】与任一非零向量共线】 平行向量平行向量 方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。 向量的模向量的模 2 22222 |,|axyaaxy 两点间的距离两点间的距离 若若 1122 ,A x yB xy，则，则 22 2121 |ABxxyy 向量夹
15、角向量夹角 起点放在一点的两向量所成的角，范围是起点放在一点的两向量所成的角，范围是0,。, a b的夹角记为的夹角记为, a b。 , a b锐角锐角0a b, a b不同向；不同向；, a b为直角为直角0a b；, a b钝角钝角0a b , a b不反向不反向. 向量的夹角带有方向性：向量是有方向的，向量间的夹角表示两个向量正方向的夹角向量的夹角带有方向性：向量是有方向的，向量间的夹角表示两个向量正方向的夹角 投影投影 , a b，cosb叫做叫做b在在a方向上的投影。 【注意：投影是数量】方向上的投影。 【注意：投影是数量】 重重 要要 法法 则则 定定 理理 基本定理基本定理 12
16、,e e不共线，存在唯一的实数对不共线，存在唯一的实数对( ,) ，使，使12aee。若。若12,e e为为, x y轴轴 上的单位正交向量，上的单位正交向量，( ,) 就是向量就是向量a的坐标。的坐标。 一般表示一般表示 坐标表示坐标表示 共线条件共线条件 / /ab（0b共共线线存在唯一实数存在唯一实数，ab 121 2 x yy x0 垂直条件垂直条件 0aba b。 1122 0x yx y。 各各 种种 运运 算算 加法加法 运算运算 法则法则 设设,ABa BCb，那么向量，那么向量AC叫做叫做a与与b的和，即的和，即 abABBCAC ； 向量加法的三角形法则可推广至多个向向量加
17、法的三角形法则可推广至多个向 量相加：量相加： AB BCCD PQQRAR，但这时，但这时 必须必须“首尾相连首尾相连” 。” 。 1212 (,)abxx yy。 算律算律 交换律交换律abba ，结合律结合律()()abcabc 减法减法 运算运算 法则法则 用“三角形法则” ：设用“三角形法则” ：设,ABa ACbab那么 ABACCA，由减向量的终点指向被减向量的终点。，由减向量的终点指向被减向量的终点。 注意：此处减向量与被减向量的起点相同。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 1212 (,)abxx yy 数乘数乘 运算运算 概念概念 a为向量，为向量，0与与a方向相同，方
18、向相同， 0与与a方向相反，方向相反，aa。 (,)axy 算律算律 分配律分配律aa)()(，aaa)(， 分配律分配律baba )( 与数乘运算有同样的坐标与数乘运算有同样的坐标 表示。表示。 数量数量 积运积运 算算 概念概念 cos,a ba ba b 1 212 a bx xy y。 主要主要 性质性质 2 a aa，|ab|a|b| 2 22222 |,|axyaaxy 算律算律 a bb a，分配律分配律()ab ca cb c，()()()a baba b。 算律算律 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一向量运算和实数运算有
19、类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一 个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量， 切记两向量不能相除切记两向量不能相除( (相约相约) )； （2 2）()()a b ca b c 向向 量量 的的 表表 示示 方方 法法 几何表示法几何表示法 用带箭头的有向线段表示，如用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；，注意起点在前，终点在后； 符号表示法符号表示法 用一个小写的英文字母来表示，如用一个小写的英文
20、字母来表示，如a，b，c等；等； 坐标表示法坐标表示法 在平面内建立直角坐标系，以与在平面内建立直角坐标系，以与x轴、轴、y轴方向相同的两个单位向量轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内为基底，则平面内 的任一向量的任一向量a可表示为可表示为,axiy jx y， 称， 称, x y为向量为向量a的坐标，的坐标，a, x y叫做向量叫做向量a的的 坐标表示。如果坐标表示。如果向量的起点在原点向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三角形的五个“心”三角形的五个“心” 重心：三角形三条中线交点重心：三角形三条中线交点. .外心：三角形
21、三边外心：三角形三边垂直平分线相交于一点垂直平分线相交于一点. .内心：三角形三内角的平分线相交于一点内心：三角形三内角的平分线相交于一点. . 垂心：三角形三边上的高相交于一点垂心：三角形三边上的高相交于一点. .旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. . 4 *4.不等式、线性规划不等式、线性规划 同同 向向 不不 等等 式式 ab bcac ， 00abcacbcabcacbc，；，； ab cdacbd ， 00abcdacbd， 两个实数的顺序关系：两个实数的顺序关系： 0aba b 0aba b 取倒数
22、法则取倒数法则0ab， 11 ab ab * 01 nn nn abnnabab N，； 基基 本本 不不 等等 式式 最值最值 定理定理 , 0,2x yxyxy由 ，若积，若积()xyP定值，则当，则当xy时和时和xy有最小值有最小值2 p； , 0,2x yxyxy由 ，若和，若和()xyS定值，则当，则当xy是积是积xy有最大值有最大值 2 1 4 s . 【推广】 ：已【推广】 ：已知知Ryx,，则有，则有xyyxyx2)()( 22 . （1）若积）若积xy是定值，则当是定值，则当|yx 最大时，最大时，|yx 最大；当最大；当|yx 最小时，最小时，|yx 最小最小. （2）若和
23、）若和|yx 是定值，则当是定值，则当|yx 最大时，最大时，| xy最小；当最小；当|yx 最小时，最小时，| xy最大最大 均值均值 不等不等 式式 平方平均平方平均算术平均算术平均几何平均几何平均调和平均调和平均 22 2 () 22 abab ab ( ,a bR当且仅当当且仅当ab取取“”) 22 22 “ ” 11 22 ababab abab ab ab （当且仅当时取） 12 12 n n n aaa a aa n （正数（正数 a1=a2=an时取等）算术平均时取等）算术平均几何平均几何平均 重要重要 不等不等 式 （式 （a、 b、c 为正为正 数）数） 22 2|( ,a
24、baba bR当且仅当当且仅当ab时取到时取到“”) 3322 aba bab ， 333222 3()()abcabcabc abcabacbc 333 3abcabc（0abc 等式即可成立，时取等或0cbacba） ；） ； 3 3 a b c abc 3 () 3 abc abc 333 3 abc 柯西柯西 不等不等 式式 设设 ), 2 , 1(,niRba ii 则则 2222222 11221212 ()()() nnnn a ba ba baaabbb 等号成立当且仅当等号成立当且仅当 n n b a b a b a 2 2 1 1时成立 （约定时成立 （约定0 i a 时，
25、时，0 i b） 糖水糖水 的浓的浓 度度 00abam，则，则b mbbm amaam .【说明】 ：【说明】 ： bbm aam （ 0,0abm ）. “1” 的的 代换代换 已知已知, , ,Ra x b y ，若，若1axby，则有：，则有：2 1111 ()()2 () byax axbyabababab xyxyxy , , ,Ra x b y ，若，若 1 ab xy 则则有：有： 2 ()2() aybx xyxyababab xy 线线 性性 规规 划划 平平 面面 区区 域域 当当0A时，若时，若0AxByC表示直线表示直线l的右边，的右边，0AxByC表示直线表示直线l
26、的左边的左边. 当当0B时，若时，若0AxByC表示直线表示直线l的上方，的上方，0AxByC表示直线表示直线l的下方的下方. 设曲线设曲线 111222 :()()0CAxB yCA xB yC（ （ 1212 0A A B B ） ，则） ，则 111222 ()()0AxB yCA xB yC 或或0 所表示的平面区域：两直线所表示的平面区域：两直线 111 0AxB yC 和和 222 0A xB yC 所成对顶角区域（上下或左右两部分）所成对顶角区域（上下或左右两部分）. 点点 000 (,)P x y与与(),fx y位置关系位置关系： 若： 若( , )f x y为封闭曲线 （圆
27、、 椭圆、为封闭曲线 （圆、 椭圆、| |x ay bm等） ， 则等） ， 则 00 (),0fx y， 称点在曲线外部；若称点在曲线外部；若( , )f x y为开放曲线（抛物线、双曲线等） ，则为开放曲线（抛物线、双曲线等） ，则 00 (),0fxy，称点亦在曲线，称点亦在曲线“外部外部” 最最 值值 已知直线已知直线:0lAxByC，目标函数，目标函数zAxBy. 当当0B 时，将直线时，将直线l向上平移，则向上平移，则z的值越来越大；直线的值越来越大；直线l向下平移，则向下平移，则z的值越来越小；的值越来越小； 当当0B 时，时，将直线将直线l向上平移，则向上平移，则z的值越来越小
28、；直线的值越来越小；直线l向下平移，则向下平移，则z的值越来越大；的值越来越大； 几几 何何 意意 义义 zaxby 若若0b ，直线在，直线在 y 轴上的截距越大，轴上的截距越大，z 越大，若越大，若0b ，直线在，直线在 y 轴上的截距越大，轴上的截距越大， z 越小越小. ym xn （ sin cos xm xn ） 表示过两点表示过两点( , ),( ,)x yn m的直线的斜率，特别的直线的斜率，特别y x 表示过原点和表示过原点和, n m的直线的斜率的直线的斜率 22 txmyn 22 txmyn表示表示区域内的点到（区域内的点到（m,n）的距离的平方）的距离的平方 5 *5.
29、函数基本初等函数函数基本初等函数 I 的的概念、图像概念、图像与性质与性质 函函 数数 概概 念念 及及 其其 表表 示示 函数函数 的概的概 念念 函数用函数用 f(x)来表示来表示：即即 x 按照对应法则按照对应法则 f 对应的函数值为对应的函数值为 f(x)函数有解析式和图函数有解析式和图像像两种两种具体的具体的表示形式。表示形式。 定义域定义域 A：x 取值范围取值范围组组成集合成集合。值域值域 B：y 取值范围取值范围组组成集合成集合。对应法则对应法则 f：y 与与 x 对应关系。对应关系。 如：函数图像与如：函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点轴的垂线至多有一个公共点, ,但与但与
30、y轴垂线的公共点可能没有轴垂线的公共点可能没有, ,也可能有任意个也可能有任意个. . 定义定义 域域题题 型型 (1)具体函数具体函数：即有明确解析式的函数，即有明确解析式的函数，定义域定义域的考查有两种形式的考查有两种形式: 使函数使函数解析式有意义解析式有意义( (如如: :分母分母0; ;偶次偶次 根式被开方数非负根式被开方数非负; ; 零指数幂底数零指数幂底数0；实际问题有意义实际问题有意义；对数真数；对数真数0, ,底数底数0且且1；如；如lg1x的解集：的解集： 010x；lnyx单调增区间单调增区间(0,)；如：不等式；如：不等式lg| 1x 的解集的解集 | 110xxx 且
31、 (2) 复合函数定义域求法：复合函数定义域求法： 只要对应法则相同，只要对应法则相同， 括号里整体的取值范围括号里整体的取值范围就就完全相同完全相同。 若若( )f x的定义域为的定义域为 , a b, , 其复合函数其复合函数 ( )f g x的定义域可由不等式的定义域可由不等式( )ag xb解出；若解出；若 ( )f g x的定义域为的定义域为 , a b, ,求求( )f t的定义域，的定义域， 相当于相当于 , xa b时时, ,求求( )tg x的值域； 如的值域； 如若函数若函数 2 (1)f x 的定义域为的定义域为 2,1)， 则， 则( )f x定义域为定义域为_ （答：
32、（答： 1,5） 区间区间 数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小 于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思； （1）区间是集合的另类表示方式，区间就是集合，具有集合的一般性质。区间是集合的另类表示方式，区间就是集合，具有集合的一般性质。 （2）它是无限集，连续的实数。）它是无限集，连续的实数。 |12xx或或4x 表示成（表示成（1，2） 4，不能写成，不能写成(1,2)
33、4x 且。 性性 质质 奇奇 偶偶 性性 定义定义 如果如果()( )fxf x,则则( )f x为偶函数；如果为偶函数；如果()( )fxf x ,则则( )f x 为奇函数。为奇函数。 这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。确定奇偶性方法有定义法、图像法等；确定奇偶性方法有定义法、图像法等； （1 1）若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断，如判断函）若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断，如判断函数数 2 2 lg(1) ( ) |2| 2 x f x x 奇偶性奇偶性 偶函数；偶函数； （2 2）奇函数在
34、对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反单调性；）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反单调性； （3 3）若）若( )f x是偶函数是偶函数, ,那么那么( )()(|)f xfxfx；定义域含零的奇函数必过原点；定义域含零的奇函数必过原点( (0)0f) )； 判断判断 定义法判断：定义域是关于原点对称的； （定义法判断：定义域是关于原点对称的； （2 2）计算）计算( )()0f xfx或或 () 1( ( )0) ( ) fx f x f x ； 若函数若函数 2 ( ) 12 x x k f x k （a 为常数）在定义域上为奇函
35、数，则为常数）在定义域上为奇函数，则 k= 1 利用利用 (1).利用公式：利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，计算或求解析式；，计算或求解析式；(2).利用复合函数奇偶性结论：利用复合函数奇偶性结论：F(x)=f(x)g(x)， 奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇；奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇；F(x)=f(x)+g(x)，当，当 f(x)为奇，为奇，g(x)为偶时，代入为偶时，代入-x 得：得：F(-x)=-f(x)+g(x), 两式相加可以消去两式相加可以消去 f(x),两式相两式相减可以消去减可以消去 g(x),从而解决问题；从而解决问题； （4）奇偶函数图像的对称性
36、奇偶函数图像的对称性 周周 期期 性性 对定义域内任意对定义域内任意x，存在非零常数，存在非零常数T，()( )f xTf x，T为为( )f x周期周期 若若( )yf x对对xR时时()()f xaf xa恒成立恒成立, ,则则 ( )f x的 周 期 为的 周 期 为2|a； 若若( )yf x是偶函数是偶函数, ,其图像又关于直线其图像又关于直线xa对称对称, ,则则( )f x的周期为的周期为2|a； ()( )f xaf x ， 1 () ( ) f xa f x 或或() ( )f xa f xk或或()( )f xaf xkT为为2|a； 单单 调调 性性 定义定义 定义域内一
37、区间定义域内一区间I， 1212 ,x xI xx增增 1212 ( )()xxf xf x； 减减 1212 ( )()xxf xf x 求单求单 调区调区 间间 定义法、导数法、图像法和特值法定义法、导数法、图像法和特值法( (用于小题用于小题) )等（提醒：求单调区间时注意定义域）等（提醒：求单调区间时注意定义域） 导数法：导数法：i i 求定义域：求定义域：iiii 求求( )fx；iiiiii ( )0fx的解构成增区间；注意：区间表示。如：函数的解构成增区间；注意：区间表示。如：函数 1 2 2 log (2 )yxx 的单调递增区间是的单调递增区间是 .(.( (1,2) )；函
38、数；函数 1 yx x 单调增区间是单调增区间是 .(.(,0)和和(0,) ) 证明证明 定义法、导数法。定义法、导数法。判断单调性：小题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。判断单调性：小题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。 （1 1）定义法：）定义法：i i 取值取值 12 xxiiii 作差变形作差变形判断判断 12 ()()f xf x符号；符号； （2 2）导数法：）导数法：i i 求求( )fx；iiii 判断判断( )fx符号；符号； 利用利用 (1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，断。求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，断
39、。 (2).比较函数值的大小：画图看比较函数值的大小：画图看(3)解不等式：增解不等式：增 1212 ( )()xxf xf x或或 1212 ( )()f xf xxx；减；减 1212 ( )()xxf xf x或或 1212 ( )()f xf xxx(4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系 数。数。 3 log1 5 a ，则，则a范围是范围是 3 10 5 aa或； 已知已知 log(0,1) a f xx aa为为 R R 上增，则上增，则(1)0fx 的实数的实数x的取值范围。的取值范围。(0,1)(1,2) 复合复合
40、函数函数 由“由“同增异减”同增异减”判定：判定：分解为基本函数：内函数分解为基本函数：内函数( )ug x与外函数与外函数( )yf u ； 分别研究内、外函数分别研究内、外函数 在各自定义域内的单调性在各自定义域内的单调性根据根据“同性则增，异性则减同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内单调性来判断原函数在其定义域内单调性. . 已知复合函数单调性，求字母范围：已知复合函数单调性，求字母范围：i i 分解出内外层函数；分解出内外层函数；ii 研究内外层函数的单调性的关系；研究内外层函数的单调性的关系； iii 兼顾函数的定义域；如：若兼顾函数的定义域；如：若 y=loga(2-ax)
41、在在0，1上是上是 x 的减函数，则的减函数，则 a 的取值范围是的取值范围是 (1(1，2)2) 6 *6.函数基本初等函数函数基本初等函数 I 的图像与性质的图像与性质 求求 函函 数数 解解 析析 式式 的的 常常 用用 方方 法法 待定系数待定系数 法法基本步基本步 骤骤 确 定 所 求 问 题 含 有 待 定 系 数 的 解 析 式 ；确 定 所 求 问 题 含 有 待 定 系 数 的 解 析 式 ； 二 次 函 数 解 析 式 的 三 种 形 式 ：二 次 函 数 解 析 式 的 三 种 形 式 ： 一 般 式 ：一 般 式 ： 2 ( )(0)f xaxbxc a；顶点式：；顶点
42、式： 2 ( )()(0)f xa xhk a； 零点式：零点式： 12 ( )()()(0)f xa xxxxa. . 根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如一元二次不等式如一元二次不等式( )1f xx解集是解集是(-1, )2,可设可设 ( )- +1=a(x+1)(x-2)f x x 配凑法配凑法 若若 2 2 11 ()f xx xx ，则函数，则函数(1)f x =_（答：（答： 2 23xx） 坐标转移坐标转移 函数函数( )yf x关于
43、函数关于函数ln1yx图形关于直线图形关于直线yx对称，则对称，则( )f x 22x e 函数函数( )yf x与与 的图的图像关于原点成中心对称；像关于原点成中心对称；()yfx 方程的思方程的思 想想 对已知等式进行赋值，从而得到关于对已知等式进行赋值，从而得到关于( )f x及另外一个函数的方程组；及另外一个函数的方程组； 函数函数( )f x是一个偶函数，是一个偶函数，( )g x是一个奇函数，且是一个奇函数，且 1 ( )( ) 1 f xg x x ，则，则( )f x等于等于 2 1 1x ； 若函数若函数( ), ( )f x g x分别是分别是R上的奇函数、偶函数，且满足上
44、的奇函数、偶函数，且满足( )( ) x f xg xe，则有，则有( )f x= 2 xx ee 图图 象象 几几 种种 常常 见见 变变 换换 对称对称 变换变换 函数函数( )yf x与与()yfx 的图像关于原点成的图像关于原点成中心对称中心对称 函数函数( )yf x与与()yfx图像关于直线图像关于直线0x( (y轴轴) )对称；对称； 函数函数( )yf x对对xR，()()f axf ax或或( )(2)f xfax恒成立恒成立, ,图像关于图像关于xa对称；对称； 若若( )yf x对对xR时时, ,()()f axf bx恒成立恒成立, ,则则( )yf x图像关于图像关于
45、 2 ab x 对称；对称； 函数函数()yf ax, ,()yf bx的图像关于直线的图像关于直线 2 ba x 对称对称( (由由axbx确定确定) )； 函数函数yf ax(0)a 的图象是把函数的图象是把函数 yf x的图象沿的图象沿x轴伸缩为原来的轴伸缩为原来的 1 a 得到的。得到的。 如若函数如若函数(21)yfx是偶函数，则函数是偶函数，则函数(2 )yfx的对称轴方程是的对称轴方程是_(答：答： 1 2 x ) 平移变换平移变换 左右平移左右平移-“左加右减” （针对“左加右减” （针对x而言） ；上下平移而言） ；上下平移-“上加下减”“上加下减”( (针对针对y而言而言) ) 翻折变换翻折变换 ( )|( )|f xf x；( )(|)f xfx. .注意翻折时注意翻折时机和翻折的本质：如机和翻折的本质：如 |3| 2xy 由由 | | 2xy 向右平移向右平移 3 3 单位单位 求求 函函 数数
