1、 必修四必修四 平面向量平面向量总总 复复 习习知识网络知识网络单位向量及零向量平行向量和共线向量平行与垂直的充要条件向量向量有关概念向量的运算基本应用向量的定义相等向量向量的加法向量的减法实数和向量的积向量的数量积求长度求角度二、二、向量向量的表示的表示AB 1、字母表示：AB或a2、坐标表示：xyaiO(x,y)jAaxyaxiy j），（yx），（yxOA 一、向量的概念一、向量的概念向量、向量、零向量、单位向量、零向量、单位向量、共线向量共线向量（平行向量）、（平行向量）、相等向量、相反向量、向量的夹角相等向量、相反向量、向量的夹角等等.三、向量的运算三、向量的运算（一）向量的加法（一
2、）向量的加法ABC三角形法则：ABCD平行四边形法则：ab2、坐标运算：、坐标运算：），（，），（设2211yxbyxa b ba a则），（2121yyxx1、作图、作图（二）向量的减法（二）向量的减法ABADDB 2、坐标运算：），（，），（设2211yxbyxa b ba a则），（2121yyxx1、作图、作图平行四边形法则：abab+ab+ABBCAC ()aRa（1）长度：）长度：（2）方向：）方向：时，当0aa与 异向，时当0aa与 同向时，当00aa（三）数乘向量（三）数乘向量a bab（）aaa（）aa、数乘向量的运算律：3：、数乘向量的坐标运算2的大小和方向：、a1axyx
3、y（，）（，）4、平面向量基本定理、平面向量基本定理12121 122eeaaee 如果，是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使1、平面向量数量积的定义：bacos|ba 2、数量积的几何意义：|cos.aabab等于 的长度与在方向上的投影的乘积OABB1(四四)数量积数量积abba）（1）（）（）（bababa2cbcacba）（34、运算律:2121yyxxba3、数量积的坐标运算ea=ae=|a|cosab ab=0a，b同向同向ab=|a|b|反向时反向时ab=-|a|b|a2=aa=|a|2(aa=)cos=|ab|a|b|2a|baba
4、平面向量的数量积平面向量的数量积ab的性质的性质:四、向量垂直的判定四、向量垂直的判定01baba）（022121yyxxba）（五、向量平行的判定五、向量平行的判定(共线向量的判定共线向量的判定)）（）（0/1aabba122111222/0bax yx yaxybxy（），其中（，），（，）|32211AByxByxA），则，（），（）若（|a 22xy221221）（）（yyxx2axy（）设（，），则六、向量的长度六、向量的长度21|a aa（），2|aa七、向量的夹角七、向量的夹角cos|a ba b 向量表示向量表示坐标表示坐标表示向量表示向量表示坐标表示坐标表示222221212
5、121yxyxyyxx例例1 e1、e2不共线，不共线，a=e1+e2 b=3e13e2 a与与b是否共线。是否共线。解：假设解：假设,a与与b共线则共线则 e1+e2=(3e1-3e2)=3e1-3e2 1=3 1=-3 这样这样不存在。不存在。a与与b不共线。不共线。典型例题分析典型例题分析:例例2 设设a，b是两个不共线向量。是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2bA、B、D共线则共线则k=_(kR)解：解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=-k=-1 k=-1解：解：c=m a+n b (7,-
6、4)=m(3,-2)+n(-2,1)3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c=a-2b例例3、已知已知a=(3,-2)b=(-2,1)c=(7,-4)，用，用a、b表示表示c。解：设解：设a=(x,y)则则 x2+y2=100 -4x-3y=0 x=6 x=-6 y=-8 y=8 a=(6,-8)或(-6,8)例例4、|a|=10 b=(3,-4)且且ab求求a解：解：法法1 a=(x1y1)b=(x2,y2)x12+y12=1 x22+y22=1 3a-2b=3(x1,y1)-2(x2,y2)=(3x1-2x2,3y1-2y2)9(x12+y12)+4(x12+y12)-12(
7、x1x2+y1y2)=9 x1x2+y1y2=3a+b=3(x1,y1)+(x2,y2)=(3x1+x2,3y1+y2)|3a+b|2=(3x1+x2)2+(3y1+y2)2 =9(x12+y12)+(x22+y22)+6(x1x2+y1y2)=12(3a+b)=2331例例5、设设|a|=|b|=1|3a-2b|=3则则|3a+b|=_法法2 9=9a2+4b2-12ab ab=又又,(3a+b)2=9a2+b2+6ab=12|3a+b|=2313212121,60?2,32?.oe eaeebeeab 例6、设为两个单位向量?且夹角为若求 与 的夹角解：解：2222212121122224
8、4aeeeeee ee 222112144cos604 14 1 1172eeee 7a同理可得同理可得 7b22121211227232622a beeeeee ee 712cos277a bab =1207123 21323abkkababkabab 例、已知（，），（，），当为何值时，（）与垂直？（）与平行？平行时它们是 同向还是反向？8.0,(cos,sin),aabcabc例若向量则 与 一定满足()以上都不对以上都不对 D.)()(C.0 B.A.cbcbcbab 8.0,(cos,sin),aabcabc例若向量则 与 一定满足().()(0)(1sincos,12222cbcb
9、cbcbcbcb 解解 答案答案 C9.,_.ABCOA OBOB OCOC OAOABC 例已知在中则 是的心 9.,_.ABCOA OBOB OCOC OAOABC 例已知在中则 是的心 解解 ()0,0,.OA OBOB OCOBOAOCOB CAOBCAOCAB OABCOABC 由得：即同理故 是的垂心.,)()2(),(sin2)2()(,0)1(.1)(),R()2sin3,(cos),1 ,cos2(的值的值求实数求实数象象的图的图平移后得平移后得的图象按向量的图象按向量将将减区间；减区间；的单调递的单调递试求试求若若记记设设nmxfymnmcxyxfxbaxfxxxbxa 例
10、例1010.32,6)(32623622613626,0)62sin(2)2cos212sin23(22cos2sin31)(,2sin3cos2(1)2 的单调递减区间为的单调递减区间为故故即即由由xfxxxxxxxxxbaxfxxba 解析解析.0,12062:)62sin(2)22sin(2)(2sin22sin2:(2)nmnmxynmxymxnyxynyymxxnyymxx 比较得比较得与与得：得：代入代入得得由由.)(,2,)2005(的的最最小小值值求求若若上上的的一一个个动动点点是是为为中中线线中中在在年年江江苏苏卷卷OCOBOAAMAMOABC 例例1111.)(,2,)20
11、05(的的最最小小值值求求若若上上的的一一个个动动点点是是为为中中线线中中在在年年江江苏苏卷卷OCOBOAAMAMOABC 例例1111OMOAOMOAOMOAOCOBOAOMOCOB2180cos22)(2 解析解析.2)(2)(.1)2(,22 最小值为最小值为即即时取等号时取等号当且仅当当且仅当即即OCOBOAOCOBOAOMOAOMOAOMOAOMOA.,16)(,)6,1()2()()1(.10,)3(,1 2的范围的范围求实数求实数恒成立恒成立不等式不等式时时若若定义域；定义域；及其及其的函数的函数关于关于求求且且若若满足满足、及实数及实数、已知向量已知向量mmxxfxxfyxyc
12、dcbabxaydbxacbayxdcba 例例121266,10106,10106)3()3(2,1,0,(1)2424222222 xxxcxxbxbaxacccbababa解得解得又又 解析解析.6,6,3)(3,033)3()3()3(0,333322222 其定义域为其定义域为的函数关系式为：的函数关系式为：关于关于故故即即而而又又xxxfyxyxxyxxyxxybxxbaxxaybxaybxadcdcdc222223)42)(2(2162)(,16)(,163.163,16)(61)2(xxxxxxxgxxxgxxmmxxxmxxfx 则则令令亦即：亦即：恒成立恒成立即使即使恒成立
13、恒成立时时为使为使.9,123122162)2()(,2.)6,2(,)2,1()(0)(,620)(,212 mmgxgxxgxgxxgx即即达到最小值达到最小值上递增上递增在在上递减上递减在在时时当当时时当当练习练习一、选择题：一、选择题：1、如图所示，如图所示，G为为ABC的重心，则的重心，则GA+GB-GC等于（等于（D）A.0 B.GE C.4GDD.4GF2、若若a=(,2)，b=(-3,5)，且，且a与与b的的夹角为钝角，则夹角为钝角，则的取值范围是的取值范围是(A)A.B.C.D.3、已知已知|a|=18,|b|=1,ab=-9，则，则a和和b的夹角的夹角是（是（A）A.120
14、。B.150。C.60。D.30。310310310310ABDCGFE4、已知已知|a|=|b|=1,a与与b的夹角为的夹角为90。，c=2a+3b,d=ka-4b,cd,k=（）（）A.-6B.6C.3D.-35、设点设点A(a,b),B(c,d)，若径平移得，若径平移得A(2a,2b)，那么，那么B点之新坐标为（）点之新坐标为（）A.(2c,2d)B.(a+c,b+d)C.(a+2c,b+2d)D.(2a+c,2b+d)6、已知已知|a|=3,|b|=4,(a+b)(a+3b)=33，则则a与与b的夹角为（）的夹角为（）A.30。B.60。C.120。D.150。7.若若|a-b|=,|
15、a|=4,|b|=5,则则ab=()A.10 B.-10 C.10 D.10332320418、已知已知ABC中中,AB=a,AC=b,ab0，SABC=,|a|=3,|b|=5,则则a与与b的夹的夹角为（）角为（）A.30。B.-150。C.150。D.30。或或150。9、若点若点P分分AB所成的比为所成的比为 ，则，则A分分BP所成的比是（）所成的比是（）A.B.C.-D.-10、在在ABC中，三内角中，三内角A,B,C对应对应的三边分别为的三边分别为a,b,c,已知已知c=3,C=60。,a+b=5，则，则cos 的值是（）的值是（）A.B.C.D.41543733737732BA12
16、565433211、在在ABC中中,若若(a+c)(a-c)=b(b+c),则则A=（）（）A.30。B.60。C.120。D.150。12、在在ABC中，已知角中，已知角A、B、C的对边分别是的对边分别是a、b、c，且，且3b=asinB,cosB=cosC，则，则ABC的形状是（）的形状是（）A.直角三角形直角三角形 B.等腰三角形等腰三角形 C.等边三角形等边三角形 D.等腰直角三角形等腰直角三角形3二、填空题：二、填空题：13、设设a=(m+1)e1-3e2,b=e1+(m-1)e2,若若(a+b)(a-b),那么那么m=_。14、单位向量单位向量e1,e2的夹角为的夹角为60。，则，
17、则(e1-2e2)(-2e1+3e2)=_。15、在在ABC中，若中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则则A=_。16、在在ABC中，中，a,b,c分别是角分别是角A，B，C的对边长，若的对边长，若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB，则，则C=_。三、解答题：三、解答题：17、已知已知e1与与e2是夹角为是夹角为60。的单位向的单位向量，且量，且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求求ab及及a与与b的夹角的夹角。解解：e1,e2是单位向量，且夹角为是单位向量，且夹角为60。e1e2=|e1|e2|cos60。=ab=(2e1+e2)(-3e1+2e2)=
18、-6|e12|+e1e2+2e22=-3而而|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1e2+e22=7|b|2=b2=(-3e1+2e2)2=9e12-12e1e2+4e22=7|a|=|b|=cos=120。21217721|baba20、（、（1）已知已知a,b都是非零向量，且都是非零向量，且a+3b与与7a-5b垂直垂直,a-4b与与7a-2b垂直，垂直，求求a与与b的夹角；的夹角；(2)已知已知|a|=,|b|=，且且a与与b的夹角为的夹角为 ，试求，试求a+2b与与a-b的夹角的夹角的大小。的大小。解解：（：（1）(a+3b)(7a-5b)=0 (a-4b)(7a-2b)=
19、0 7a+16ab-15b=0 7a2-30ab+8b2=0 a2=b2 2ab=b2 cos=60。32621|baba（2）a2=3 b2=4|a|b|=2 ab=|a|b|cos=cos30。=333)arccos(cos12)(|3144)2(|2|3131231312|2|)(2(222222QQbabababababababababababa22、已知已知ABC中，中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为边上的高为AD。（1）求证：）求证：ABAC；（2）求点）求点D和向量和向量AD的坐标；的坐标；（3）求证：）求证：AD2=BDDC解：（解：（1）A(2,4)B(-1,-2)C(4,3)AB=(-3,-6)AC=(2,-1)ABAC=(-3)2+(-6)(-1)=0 ABAC（2）D(x,y)AD=(x-2,y-4)BC=(5,5)BD=(x+1,y+2)ADBC ADBC=0 5(x-2)+5(y-4)=0 又又B、D、C共线共线 5(x+1)-5(y+2)=0 x+y-6=0 x=D(,)x-y-1=0 y=AD=(,-)272527252323（3）AD=(,-)BD=(,)DC=(,)|AD|2=+=BDDC=+=AD2=BDDC212949232329214929494929
