1、第47讲 计数原理 1主要内容一、聚焦重点一、聚焦重点 两个计数原理两个计数原理三、廓清疑点三、廓清疑点 排列还是组合排列还是组合.二、破解难点二、破解难点 有条件的排列组合问题有条件的排列组合问题2聚焦重点：两个计数原理3基础知识 完成一件事，有完成一件事，有 n类方式，在第类方式，在第1类方式中有类方式中有m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方式中有类方式中有m 2种不同的种不同的方法，那么完成这件事共有方法，那么完成这件事共有 N=m1+m 2+mn种不同的方法种不同的方法分类计数原理分类计数原理 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成 n个步骤，做第个步骤，做第1步有步有m1
2、种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有m 2种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1 m 2 mn种不同的方法种不同的方法分步计数原理分步计数原理4问题研究应该使用哪个计数原理？应该使用哪个计数原理？5基本知识分类计数原理：分类计数原理：每一个办法都可以把事件完成每一个办法都可以把事件完成分步计数原理：分步计数原理：每一个步骤不能独立完成事件每一个步骤不能独立完成事件必须所有的步骤都完成事件才完成必须所有的步骤都完成事件才完成6经典例题1 例例1 某班有男生某班有男生25人，女生人，女生20人，从该班选人，从该班选出出2人参加座谈会（要求：男女生各一名
3、），有多人参加座谈会（要求：男女生各一名），有多少种不同的选法？少种不同的选法？7思路分析 思路思路 1：男生一类，女生一类，用分类计数原理，男生一类，女生一类，用分类计数原理，所以共有所以共有25+20=45种不同的选法种不同的选法思路思路 2：要求男女生各一名，因此要分成两个步要求男女生各一名，因此要分成两个步 骤完成，所以应该使用分步计数原理骤完成，所以应该使用分步计数原理 只选完男生或只选完女生后，事件只选完男生或只选完女生后，事件没有完成，使用分类计数原理错误！没有完成，使用分类计数原理错误！例例1 某班有男生某班有男生25人，女生人，女生20人，从该班选人，从该班选出出2人参加座谈
4、会（要求：男女生各一名），有多人参加座谈会（要求：男女生各一名），有多少种不同的选法？少种不同的选法？8求解过程解：选出男女生各解：选出男女生各1名，可以分为名，可以分为2个步骤：个步骤：第一步第一步 选出选出1名男生，有名男生，有25种不同方法；种不同方法；第二步第二步 选出选出1名女生，有名女生，有20种不同方法；种不同方法；根据根据分步计数原理分步计数原理，选出男女各一名，共有，选出男女各一名，共有 2520=500 个不同的选法个不同的选法答：选出男女生各答：选出男女生各1名的共有名的共有500种不同的选法种不同的选法解答题中必不可少！解答题中必不可少！还是还是25202=1 000？
5、9回顾反思（2）思维误区思维误区：未能分清分类和分步，导致未能分清分类和分步，导致 错误使用计数原理错误使用计数原理（1）基本策略基本策略：使用计数原理求解使用计数原理求解（3）思维瑕点思维瑕点：解答题最后未作答解答题最后未作答10拓展延伸 变题变题 某班有男生某班有男生25人，女生人，女生20人，从该班选人，从该班选出出2人分别担任班长和团支部书记（要求：性别不人分别担任班长和团支部书记（要求：性别不同），有多少种不同的选法？同），有多少种不同的选法？思路思路 1：要求男女生各一名，因此要分成两个步要求男女生各一名，因此要分成两个步 骤完成，所以应该使用分步计数原理骤完成，所以应该使用分步计
6、数原理 即与上面的例即与上面的例1相同！相同！只选未排！只选未排！思路思路 2：要求男女生各一名并安排职务，因此要要求男女生各一名并安排职务，因此要 分成三个步骤完成！分成三个步骤完成！11求解过程解：完成该事件，可以分为解：完成该事件，可以分为3个步骤：个步骤：第一步第一步 选出选出1名男生，有名男生，有25种不同方法；种不同方法；第二步第二步 选出选出1名女生，有名女生，有20种不同方法；种不同方法；第三步第三步 对选出的两人安排职务，有对选出的两人安排职务，有2种不同方法；种不同方法；根据根据分步计数原理分步计数原理，共有，共有 25202=1 000 个不同的选法个不同的选法答：选出男
7、女生各答：选出男女生各1名并担任班长和团支部书记共名并担任班长和团支部书记共 有有1 000种不同的选法种不同的选法12经典例题2 例例2 用用4种不同颜色给如图所示种不同颜色给如图所示的区域上色，要求相邻两块涂不同的的区域上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？颜色，共有多少种不同的涂法？13思路分析 例例2 用用4种不同颜色给如图所示种不同颜色给如图所示的区域上色，要求相邻两块涂不同的的区域上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？颜色，共有多少种不同的涂法？思路思路1：分步计数原理：分步计数原理：按照按照1-2-3-4的顺序上色的顺序上色 同色呢同色呢?思路思路
8、2：分类讨论：分类讨论：两处是否同色两处是否同色 分步计数原理：分步计数原理：按照顺序上色按照顺序上色14求解过程解：完成该事件，可以解：完成该事件，可以分为分为两两类：类：第一类第一类 不同色不同色，按照，按照1-2-3-4的顺序进行的顺序进行涂色，根据分步原理，共有涂色，根据分步原理，共有4 3 2 2=48种不同的涂色方法；种不同的涂色方法；第二类第二类 同色同色，按照，按照1-2-4的顺序进行涂色，的顺序进行涂色，根据分步原理，共有根据分步原理，共有4 3 1 3=36种不同种不同的涂色方法；的涂色方法；根据根据分类计数原理分类计数原理，共有，共有 48+36=84种不同的涂种不同的涂
9、法法答：共有答：共有 84种不同的涂法种不同的涂法15回顾反思（1）思想方法：思想方法：分类讨论分类讨论（3）思维误区：思维误区：直接用分步计数原理求解直接用分步计数原理求解（2）解题解题策略：策略：用不同的计数原理求解涂色问题用不同的计数原理求解涂色问题16破解难点：破解难点：有条件的排列组合问题有条件的排列组合问题17问题研究如何求解含有附加条件的排列组合应用问题如何求解含有附加条件的排列组合应用问题?18基础知识19经典例题3 例例3 用用0到到9这这10个数字能组成多少个没有重个数字能组成多少个没有重复数字的三位数？复数字的三位数？20思路分析思路思路1：这是排列问题，直接用排列数求解
10、这是排列问题，直接用排列数求解思路思路2：优先：优先考虑考虑0思路思路3：优先：优先考虑首位数字考虑首位数字 例例3 用用0到到9这这10个数字能组成多少个没有重个数字能组成多少个没有重复数字的三位数？复数字的三位数？未注意未注意0这个这个特殊元素特殊元素优限法优限法优先考虑优先考虑特殊元素或特殊位置特殊元素或特殊位置思路思路4：去除：去除首位数字为首位数字为0的情形的情形去杂法去杂法去除去除不不符合符合条件的情形条件的情形直接直接求解求解间接间接求解求解21求解过程 解法解法1（思路（思路2）22求解过程 解法解法2（思路（思路3）23求解过程 解法解法3（思路（思路4）24拓展延伸 变题变
11、题 用用0到到9这这10个数字能组成个数字能组成_个没个没有重复数字的三位偶数？有重复数字的三位偶数？25思路分析思路思路1 优先考虑首位，可以在优先考虑首位，可以在1到到9中选择，再考中选择，再考虑末位，有虑末位，有0，2，4，6，8这这5个选择，中个选择，中间一位除去首末两个数外有间一位除去首末两个数外有8个选择，所以个选择，所以共有共有958=360个选择个选择 变题变题 用用0到到9这这10个数字能组成个数字能组成_个没个没有重复数字的三位偶数？有重复数字的三位偶数？选了选了2呢？呢？26思路分析思路思路2 优先考虑首位，分为两类：优先考虑首位，分为两类：第一类第一类 首位是奇数，有首
12、位是奇数，有5个选择，末位有个选择，末位有5个偶数选择，中个偶数选择，中间一位有间一位有8个选择，所以共有个选择，所以共有558=200个选择；个选择；第二类第二类 首位是偶数，有除首位是偶数，有除0外外4个偶数选择，末位有含个偶数选择，末位有含0在在内剩下的内剩下的4个偶数选择，中间一位有个偶数选择，中间一位有8个选择，所以共有个选择，所以共有448=128个选择；个选择；根据分类计数原理，共有根据分类计数原理，共有200+128=328个这样的偶数个这样的偶数 变题变题 用用0到到9这这10个数字能组成个数字能组成_个没个没有重复数字的三位偶数？有重复数字的三位偶数？位置优先位置优先328
13、27思路分析思路思路3 优先考虑末位，分为两类：优先考虑末位，分为两类：第一类第一类 末位是末位是0，则首位和中间位有，则首位和中间位有98=72个选择；个选择；第二类第二类 末位不是末位不是0，有除，有除0外外4个偶数选择，首位有不含个偶数选择，首位有不含0和和末位的剩下的末位的剩下的8个数选择，中间一位有个数选择，中间一位有8个选择，所以共有个选择，所以共有488=256个选择；个选择；根据分类计数原理，共有根据分类计数原理，共有72+256=328个这样的偶数个这样的偶数 变题变题 用用0到到9这这10个数字能组成个数字能组成_个没个没有重复数字的三位偶数？有重复数字的三位偶数？位置优先
14、位置优先元素优先元素优先32828拓展延伸2 变题变题 五个人排成一排，其中甲不排头且乙五个人排成一排，其中甲不排头且乙不排尾的不同排列方法为不排尾的不同排列方法为_种种29思路分析思路思路1 先将先将5人全排列，然后去除甲排头的情况，人全排列，然后去除甲排头的情况，再去除乙排尾的情况再去除乙排尾的情况 变题变题 五个人排成一排，其中甲不排头且乙五个人排成一排，其中甲不排头且乙不排尾的不同排列方法为不排尾的不同排列方法为_种种AB30思路分析思路思路2 先将先将5人全排列，然后去除甲排头的情况，人全排列，然后去除甲排头的情况，再排出乙排尾的情况，再加上甲排头且乙再排出乙排尾的情况，再加上甲排头
15、且乙排尾的情况即可排尾的情况即可 变题变题 五个人排成一排，其中甲不排头且乙五个人排成一排，其中甲不排头且乙不排尾的不同排列方法为不排尾的不同排列方法为_种种AB7831思路分析思路思路3 优先优先考虑元素甲，可以分为下面几类：考虑元素甲，可以分为下面几类：第一类第一类 甲在第甲在第2-4位，则乙可以在第位，则乙可以在第1-4位的剩余位置，除甲乙以外的人全排列；位的剩余位置，除甲乙以外的人全排列；变题变题 五个人排成一排，其中甲不排头且乙五个人排成一排，其中甲不排头且乙不排尾的不同排列方法为不排尾的不同排列方法为_种种第二类第二类 甲在末位，则乙可以在第甲在末位，则乙可以在第1-4位的位的 任
16、何位置，除甲乙以外的人全排列；任何位置，除甲乙以外的人全排列；再根据再根据分类计数原理分类计数原理求出最后答案求出最后答案 12345 333 3 A33+4 A=787832回顾反思（1）思想方法：思想方法：分类讨论思想，补集思想分类讨论思想，补集思想（2）解题策略：解题策略：特殊位置、特殊元素优先，去除不特殊位置、特殊元素优先，去除不符合条件的排列的策略符合条件的排列的策略（3）思想误区：思想误区：出现重复或者遗漏出现重复或者遗漏33经典例题4 例例4 3名女生和名女生和4名男生排成一排，其中女名男生排成一排，其中女生必须排在一起的不同排法共有多少种？生必须排在一起的不同排法共有多少种？3
17、4思路分析 例例4 3名女生和名女生和4名男生排成一排，其中女名男生排成一排，其中女生必须排在一起的不同排法共有多少种？生必须排在一起的不同排法共有多少种？女生未排！女生未排！女生内部未排！女生内部未排！35思路分析 例例4 3名女生和名女生和4名男生排成一排，其中女名男生排成一排，其中女生必须排在一起的不同排法共有多少种？生必须排在一起的不同排法共有多少种？捆绑法！捆绑法！36求解过程37回顾反思（1）思想方法：思想方法：整体思想整体思想（2）解题策略：解题策略：有必须相邻的元素，可以将它们捆有必须相邻的元素，可以将它们捆绑起来，看为一个整体求解绑起来，看为一个整体求解（3）思维误区：思维误
18、区：对被捆绑的元素未排序对被捆绑的元素未排序38经典例题5 例例5 3名女生和名女生和4名男生排成一排，其中任名男生排成一排，其中任意两个女生都不相邻的不同排法共有多少种？意两个女生都不相邻的不同排法共有多少种？39思路分析 例例5 3名女生和名女生和4名男生排成一排，其中任名男生排成一排，其中任意两个女生都不相邻的不同排法共有多少种？意两个女生都不相邻的不同排法共有多少种？对立事件？对立事件？插空法！插空法！40求解过程 例例5 3名女生和名女生和4名男生排成一排，其中任名男生排成一排，其中任意两个女生都不相邻的不同排法共有多少种？意两个女生都不相邻的不同排法共有多少种？41回顾反思（1）解
19、题策略：解题策略：有不相邻的元素，可以将它们插到有不相邻的元素，可以将它们插到其他元素的中间或两头其他元素的中间或两头（2）思维误区：思维误区：将相邻事件看成是不相邻的对立事将相邻事件看成是不相邻的对立事件件42经典例题6 例例6 3名女生和名女生和4名男生排成一排，其中名男生排成一排，其中3个女生的顺序一定的不同排法共有多少种？个女生的顺序一定的不同排法共有多少种？43思路分析 例例6 3名女生和名女生和4名男生排成一排，其中名男生排成一排，其中3名女生的顺序一定的不同排法共有多少种？名女生的顺序一定的不同排法共有多少种？思路思路1 由于由于3名名女生的顺序一定，所以将她们女生的顺序一定，所
20、以将她们捆绑，然后和捆绑，然后和4名名男生一起排列即可男生一起排列即可不一定相邻！不一定相邻！思路思路2 由于由于3名名女生的顺序一定，所以将她们女生的顺序一定，所以将她们和和4名名男生一起男生一起全全排列排列，对排列的结果可以按，对排列的结果可以按照照3名女生的顺序分为名女生的顺序分为6类，类，6类的排列个数相类的排列个数相同，将全排列除以同，将全排列除以6即可即可44思路分析 例例6 3名女生和名女生和4名男生排成一排，其中名男生排成一排，其中3名女生的顺序一定的不同排法共有多少种？名女生的顺序一定的不同排法共有多少种？思路思路3 由于由于3名名女生的顺序一定，所以将她们女生的顺序一定，所
21、以将她们在在7个位置中的位置选定，然后再将她们按照个位置中的位置选定，然后再将她们按照顺序安排到相应的位置，然后再将顺序安排到相应的位置，然后再将4名男生全名男生全排列后依次安排到剩余的位置排列后依次安排到剩余的位置先组合后排列！先组合后排列！45求解过程 例例6 3名女生和名女生和4名男生排成一排，其中名男生排成一排，其中3名女生的顺序一定的不同排法共有多少种？名女生的顺序一定的不同排法共有多少种？46求解过程 例例6 3名女生和名女生和4名男生排成一排，其中名男生排成一排，其中3个女生的顺序一定的不同排法共有多少种？个女生的顺序一定的不同排法共有多少种？47回顾反思（2）解题策略：解题策略
22、：先选择后排列的求解策略先选择后排列的求解策略（3）思维误区：思维误区：“顺序一定顺序一定”理解为理解为“一定相邻且一定相邻且顺序一定顺序一定”（1）思想方法：思想方法：分类思想分类思想48廓清疑点：排列还是组合？49问题研究 怎样从实际问题的情景中甄别怎样从实际问题的情景中甄别“有序有序”还还是是“无序无序”，从而确定是排列问题还是组合问，从而确定是排列问题还是组合问题题50经典例题7 例例7 从从10名学生中选出名学生中选出4名按照由高到低的名按照由高到低的顺序排列，则有顺序排列，则有_种不同的排列方法种不同的排列方法51思路分析 例例7 从从10名学生中选出名学生中选出4名按照由高到低的
23、名按照由高到低的顺序排列，则有顺序排列，则有_种不同的排列方法种不同的排列方法思路思路1 从从10名学生中选出名学生中选出4名进行排列名进行排列思路思路2 从从10名学生中选出名学生中选出4名，由于这名，由于这4名学生名学生一旦选定，由高到低的顺序就已经确定一旦选定，由高到低的顺序就已经确定了，因此他们是无序的，只需选出即了，因此他们是无序的，只需选出即可可组合问题组合问题52求解过程 例例7 从从10名学生中选出名学生中选出4名按照由高到低的名按照由高到低的顺序排列，则有顺序排列，则有_种不同的排列方法种不同的排列方法21053经典例题8 例例8 某医院要同时派出三个医疗小组，每个某医院要同
24、时派出三个医疗小组，每个小组都由一名医生和一名护士构成现在小组都由一名医生和一名护士构成现在3名医名医生和生和3名护士都已经选定，则有名护士都已经选定，则有_种不同的种不同的医疗小组组成方式医疗小组组成方式54思路分析 例例8 某医院要同时派出三个医疗小组，每个某医院要同时派出三个医疗小组，每个小组都由一名医生和一名护士构成现在小组都由一名医生和一名护士构成现在3名医名医生和生和3名护士都已经选定，则有名护士都已经选定，则有_种不同的种不同的医疗小组组成方式医疗小组组成方式思路思路1 一个小组一个医生一个护士，因此将医一个小组一个医生一个护士，因此将医生分到三个小组，再将护士分到三个小组，运用
25、生分到三个小组，再将护士分到三个小组，运用分步计数原理分步计数原理就可以求出就可以求出A B Ca b cB C Ab c a重复！重复！组合？组合？有序有序55思路分析 例例8 某医院要同时派出三个医疗小组，每个某医院要同时派出三个医疗小组，每个小组都由一名医生和一名护士构成现在小组都由一名医生和一名护士构成现在3名医名医生和生和3名护士都已经选定，则有名护士都已经选定，则有_种不同的种不同的医疗小组组成方式医疗小组组成方式思路思路2 一个小组一个医生一个护士，不同的小一个小组一个医生一个护士，不同的小组在于医生和护士的组合方式不同，因此医生固组在于医生和护士的组合方式不同，因此医生固定不动
26、，仅需将护士排列就可以得到不同的分组定不动，仅需将护士排列就可以得到不同的分组方法方法A B Ca b ca c b排列！排列！56求解过程57回顾反思（1）解题策略：解题策略：弄清问题的实质后求解弄清问题的实质后求解（2）解题方法：解题方法：要认真分析元素要认真分析元素“有序有序”还是还是“无无序序”（按照某种自然顺序进行的排（按照某种自然顺序进行的排列应该是组合问题，改变组合中的列应该是组合问题，改变组合中的元素位置结论就不同，这就是排列元素位置结论就不同，这就是排列问题）问题）（3）思维误区思维误区：直接从字面上认定问题的类型直接从字面上认定问题的类型58总结提炼 知识与内容知识与内容一、聚焦重点一、聚焦重点 两个计数原理两个计数原理三、廓清疑点三、廓清疑点 排列还是组合排列还是组合?二、破解难点二、破解难点 有条件的排列组合问题有条件的排列组合问题思想与方法思想与方法 分类讨论思想，补集思想分类讨论思想，补集思想59再见60同步练习61同步练习62参考答案6364
