1、微专题26数列中有关奇偶项问题真 题 感 悟解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q(q0).故an33(n1)3n，bn33n13n.所以an的通项公式为an3n，bn的通项公式为bn3n.(2)a1c1a2c2a2nc2n(a1a3a5a2n1)(a2b1a4b2a6b3a2nbn)3n26(131232n3n).记Tn131232n3n，则3Tn132233n3n1，得，2Tn332333nn3n1考 点 整 合热点一数列中与奇偶项有关的求和问题解(1)若数列an是等差数列，设其公差为d，则ana1(n1)d，an1a1nd.由an1an4n3，得(a1nd)a1(n1)
2、d4n3，(2)由an1an4n3(nN*)，得an2an14n1(nN*).两式相减，得an2an4.所以数列a2n1是首项为a1，公差为4的等差数列.数列a2n是首项为a2，公差为4的等差数列，由a2a11，a12，得a21，当n为奇数时，an2n，an12n3.Sna1a2a3an(a1a2)(a3a4)(an2an1)an19(4n11)2n当n为偶数时，Sna1a2a3an(a1a2)(a3a4)(an1an)当n为奇数时，an2n2a1，an12n1a1.令f(n)4n216n104(n2)26，解得a12或a11.当n为偶数时，an2na13，an12na1.令g(n)4n216
3、n124(n2)24，解得a11或a14.综上，a1的取值范围是(，42，).探究提高1.第(1)问，已知数列为等差数列，故只需要写出数列的通项公式，根据关于n的一次式恒成立，建立方程组，就能解决问题.2.第(2)问中，要能对n分奇、偶数讨论，转化为等差数列来求和，这里要弄清等差数列的项数，这是易错点.3.第(3)问中，分奇、偶数分类讨论，值得注意的对任意nN*恒成立，故求a1的取值范围，将奇、偶数的情形取交集而不是并集.解当n为偶数时，设n2k(kN*)，则SnS2k(a1a3a5a2k1)(a2a4a2k)(212322k1)(321)(341)(32k1)当n为奇数时(此时n1为偶数)，
4、综上可知，Sn热点二数列中有关奇偶项的新定义问题【例2】定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列an是等和数列，且a12，公和为5，那么a18的值为_，这个数列的前n项和Sn的计算公式为_.解析由题意知，anan15，且a12，当n为偶数时，当n为奇数时，Sn(23)(23)(23)2探究提高解决此类信息题的关键是认真审题，准确地领会新的概念所具有的特点，并加以充分运用.(1)解当n为奇数时，an1an2(n1)(2n1)30，所以an1an.an2an22(n2)12(n2)12(2n1)2an.当
5、n为偶数时，an1an(2n1)2n10，所以an1an，an2an22(n2)2(n2)4n2an.所以数列an是“R(2)数列”.(2)证明由题意可得bn3bn32bn，则数列b1，b4，b7，是等差数列，设其公差为d1，数列b2，b5，b8，是等差数列，设其公差为d2，数列b3，b6，b9，是等差数列，设其公差为d3.因为bnbn1，所以b3n1b3n2b3n4，所以b1nd1b2nd2b1(n1)d1，所以n(d2d1)b1b2，n(d2d1)b1b2d1.若d2d10，则和都成立，所以d1d2.同理得d1d3，所以d1d2d3，记d1d2d3d.设b3p1b3p3b3p1b3p1b3
6、p3b3p1，法一(定义法)则b3n1b3n2b3p1(np)db3p1(np1)db3p1b3p1dd.同理可得b3nb3n1b3n1b3nd，所以bn1bnd.所以数列bn是等差数列.法二(通项公式法)b3p1b3p3b2(p1)db3(p2)db2b3d，b3p1b3p1b1pdb2(p1)db1b2d，所以数列bn是等差数列.b3p3b3p1b3pd(b1pd)b3b1，热点三数列中有关奇偶项的存在性与恒成立问题所以a1a3a2k1m，a2a4a2k2m，故对任意的nN*，数列an都满足an2an，即当实数m，r满足mr0时，题意成立.解(1)由题意，得a1m，a22a12m，a3a2
7、r2mr，首先由a3a1，得mr0.(2)依题意，a2n1a2nr2a2n1r，则a2n1r2(a2n1r)，因为a1rmr，所以当mr0时，a2n1r是等比数列，且a2n1r(a1r)2n(mr)2n.为使a2n1p是等比数列，则pr.同理，当mr0时，a2n2r是等比数列，且a2n2r(mr)2n，则当a2nq是等比数列时，q2r.综上所述：若mr0，则不存在实数p，q，使得a2n1p与a2nq是同一个等比数列；若mr0，则当p，q满足q2p2r时，a2n1p与a2nq是同一个等比数列.(3)法一当mr1时，由(2)可得a2n12n1，a2n2n12，当n2k时，ana2k2k12，SnS
8、2k(21222k)(22232k1)3k3(2k1k2)，当n2k1时，ana2k12k1，SnS2ka2k3(2k1k2)(2k12)2k23k4，综上所述，实数的最大值为1.所以S2n(a1a2)(a3a4)(a2n1a2n)所以满足Sn0的所有正整数n的值为1和2.【新题感悟】(2019盐城模拟)在数列an中，已知a11，a2，满足a2n1，a2n11，a2n12，a2n是等差数列(其中n2，nN)，且当n为奇数时，公差为d；当n为偶数时，公差为d.(1)当1，d1时，求a8的值；(2)当d0时，求证：数列|a2n2a2n|(nN*)是等比数列；(3)当1时，记满足ama2的所有m构成
9、的一个单调递增数列为bn，试求数列bn的通项公式.(1)解由1，d1，所以a21，又a2，a3，a4为等差数列且公差为1，所以a4a221，又a4，a5，a8为等差数列且公差为1，所以a8a443.(2)证明当n2k1时，a22k，a22k1，a22k2，a22k1是等差数列且公差为d，所以a22k1a22k22kd，同理可得a22ka22k122k1d，两式相加，得a22k1a22k122k1d；当n2k时，同理可得a22k2a22k22kd，所以|a2n2a2n|2nd.所以数列|a2n2a2n|(nN*)是以2为公比的等比数列.(3)解因为a2，所以a4a22d2d，由(2)知a22k1a22k122k1d，所以a22k1a22k122k1da22k322k3d22k1d，依次下推，得a22k1a2121d23d22k3d22k1d，由(2)知a22k2a22k22kda22k222k2d22kd，依次下推，得a22k2a2222d24d22k2d22kd，当22k1n22k2时，ana22k1(n22k1)d
