1、 线、角、相交线、平行线线、角、相交线、平行线 规律规律 1.如果平面上有如果平面上有 n(n2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共 可以画出可以画出 1 2 n(n1)条条. 规律规律 2.平面上的平面上的 n 条直线条直线最多最多可把平面分成可把平面分成 1 2 n(n+1)+1个部分个部分. 规律规律 3.如果一条直线上有如果一条直线上有 n 个点，那么在这个图形中共有线段的条数为个点，那么在这个图形中共有线段的条数为 1 2 n(n1)条条. 规律规律 4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这
2、两条线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半线段的中点的距离等于线段长的一半. 例：如图，B 在线段 AC 上，M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点. 求证：MN = 1 2 AC 证明：M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点 AM = BM = 1 2 AB ,BN = CN = 1 2 BC MN = MB+BN = 1 2 AB + 1 2 BC = 1 2 (AB + BC) MN = 1 2 AC 练习：1.如图，点 C 是线段 AB 上的一点，M 是线段 BC 的中点. 求证：AM = 1 2 (AB + BC) 2.如图，点 B 在线
3、段 AC 上，M 是 AB 的中点，N 是 AC 的中点. 求证：MN = 1 2 BC 3.如图，点 B 在线段 AC 上，N 是 AC 的中点，M 是 BC 的中点. 求证：MN = 1 2 AB 规律规律 5.有公共端点的有公共端点的 n 条射线所构成的交点的个数一共有条射线所构成的交点的个数一共有 1 2 n(n1)个个. 规律规律 6.如果平面内有如果平面内有 n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有 2n（n1）个）个. 规律规律 7. 如果平面内有如果平面内有 n 条直线都经过同一点，则可构成条直线都经过同一点，则可构成 n（n
4、1）对对顶角）对对顶角. 规律规律 8.平面上若有平面上若有 n （n3） 个点， 任意三个点不在同一直线上， 过任意三点作三角形一共可作出） 个点， 任意三个点不在同一直线上， 过任意三点作三角形一共可作出 1 6 n(n 1)(n2）个）个. 规律规律 9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为 90o. 规律规律 10.平面上有平面上有 n 条直线相交，最多交点的个数为条直线相交，最多交点的个数为 1 2 n(n1)个个. 规律规律 11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半
5、. 规律规律 12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的 角平分线互相垂直角平分线互相垂直. 例：如图，以下三种情况请同学们自己证明. NMCBA MC BA NM CB A NM CB A 规律规律 13.已知已知 ABDE,如图如图,规律如下：规律如下： 规律规律 14.成成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半. 例：已知，BE、DE 分别平分ABC 和ADC，若A =
6、45o,C = 55o,求E 的度数. 解：AABE =EADE CCDE =ECBE 得 AABECCDE =EADEECBE BE 平分ABC、DE 平分ADC， ABE =CBE，CDE =ADE 2E =AC E = 1 2 (AC) A =45o,C =55o, E =50o 三角形部分三角形部分 规律规律 15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边 构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几
7、个三角形中，再利用三边关系定理及不等式 1 ABC+BCD+CDE=360 E D C B A +=CDEABCBCD2 E D C B A -= CDEABCBCD 3 E D C B A -=CDEABCBCD 4 E D C B A + =CDEABCBCD 5 ED C B A + =CDEABCBCD 6 ED C BA N M E D B C A H G F E D B C A H G F E D B C A H G F E D B C A 性质证题性质证题. 例：如图，已知 D、E 为ABC 内两点，求证：ABACBDDECE. 证法（一） ：将 DE 向两边延长，分别交 AB、
8、AC 于 M、N 在AMN 中， AM ANMDDENE 在BDM 中，MBMDBD 在CEN 中，CNNECE 得 AMANMBMDCNNEMDDENEBDCE ABACBDDECE 证法（二）延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G, 在ABF 和GFC 和GDE 中有， ABAFBDDGGF GFFCGECE DGGEDE 有 ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDE ABACBDDECE 注意：注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的 量）
9、移到同一个或几个三角形中去然后再证题量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题. 练习练习：已知：如图 P 为ABC 内任一点， 求证： 1 2 (ABBCAC)PAPBPCABBCAC 规律规律 16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半. 例：如图，已知 BD 为ABC 的角平分线，CD 为ABC 的外角ACE 的平分线，它与 BD 的延长 线交于 D. 求证：A = 2D 证明：BD、CD 分别是ABC、ACE 的平分线 ACE =21, ABC =22 A = ACE ABC A
10、 = 2122 又D =12 A =2D 规律规律 17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于 90o加上第三个内角的一半加上第三个内角的一半. 例：如图，BD、CD 分别平分ABC、ACB， 求证：BDC = 90o 1 2 A 证明：BD、CD 分别平分ABC、ACB A2122 = 180o 2(12)= 180oA BDC = 180o(12) (12) = 180oBDC 把式代入式得 2(180oBDC)= 180oA 即：360o2BDC =180oA 2BDC = 180oA FG N M E D C B A 21 CE D B A
11、 D CB A 21 BDC = 90o 1 2 A 规律规律 18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于 90o减去第三个内角的一半减去第三个内角的一半. 例：如图，BD、CD 分别平分EBC、FCB， 求证：BDC = 90o 1 2 A 证明：BD、CD 分别平分EBC、FCB EBC = 21、FCB = 22 21 =AACB 22 =AABC 得 2（12）= AABCACBA 2（12）= 180oA （12）= 90o 1 2 A BDC = 180o(12) BDC = 180o(90o 1 2 A) BDC = 90o 1 2
12、A 规律规律 19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对 值）的一半值）的一半. 例：已知，如图，在ABC 中，CB， ADBC 于 D， AE 平分BAC. 求证：EAD = 1 2 (CB) 证明：AE 平分BAC BAE =CAE = 1 2 BAC BAC =180o(BC) EAC = 1 2 180o(BC) ADBC DAC = 90o C EAD = EACDAC EAD = 1 2 180o(BC)(90oC) = 90o 1 2 (BC)90oC = 1
13、 2 (CB) 如果把如果把 AD 平移可以得到如下两图，平移可以得到如下两图， FDBC 其它条件不变， 结论为其它条件不变， 结论为EFD = 1 2 (CB). 注意：注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌 握一类题，提高自己举握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力一反三、灵活应变的能力. 规律规律 20.在利用在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，证明角的不等关系时，如果直接证不出来，
14、21 F E D C B A ED C B A A B C D E F F E D C B A 可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处 在内角的位置上，再利用外角定理证题在内角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知 D 为ABC 内任一点，求证：BDCBAC 证法（一） ：延长 BD 交 AC 于 E， BDC 是EDC 的外角， BDCDEC 同理：DECBAC BDCBAC 证法（二） ：连结 AD，并延长交 BC 于 F BDF 是ABD 的外角， BDFBAD 同理C
15、DFCAD BDFCDFBADCAD 即：BDCBAC 规律规律 21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为ABC 的中线且1 = 2，3 = 4， 求证：BECFEF 证明：在 DA 上截取 DN = DB，连结 NE、NF，则 DN = DC 在BDE 和NDE 中， DN = DB 1 = 2 ED = ED BDENDE BE = NE 同理可证：CF = NF 在EFN 中，ENFNEF BECFEF 规律规律 22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形有以线段中点
16、为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为ABC 的中线，且1 = 2，3 = 4，求证：BECFEF 证明：延长 ED 到 M，使 DM = DE，连结 CM、FM BDE 和CDM 中， BD = CD 1 = 5 ED = MD BDECDM CM = BE 又1 = 2，3 = 4 123 4 = 180o 3 2 = 90o 即EDF = 90o FDM = EDF = 90o EDF 和MDF 中 ED = MD FDM = EDF DF = DF F A B C D E D C B A 4 3 2 1 N F E D C B A M A B CD
17、E F 1 2 3 4 5 EDFMDF EF = MF 在CMF 中，CFCM MF BECFEF （此题也可加倍 FD，证法同上） 规律规律 23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为ABC 的中线，求证：ABAC2AD 证明：延长 AD 至 E，使 DE = AD，连结 BE AD 为ABC 的中线 BD = CD 在ACD 和EBD 中 BD = CD 1 = 2 AD = ED ACDEBD ABE 中有 ABBEAE ABAC2AD 规律规律 24.截长补短作辅助线的方法截长补短作辅助线的方法
18、 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法这两种方法统称截长补短法. 当已知或求证中涉及到线段当已知或求证中涉及到线段 a、b、c、d 有下列情况之一时用此种方法：有下列情况之一时用此种方法： ab a b = c a b = c d 例：已知，如图，在ABC 中，ABAC，1 = 2，P 为 AD 上任一点， 求证：ABACPBPC 证明：截长法：截长法：在 AB 上截取 AN = AC，连结 PN 在APN 和APC 中， AN = AC
19、 1 = 2 AP = AP APNAPC PC = PN BPN 中有 PBPCBN PBPCABAC 补短法：补短法：延长 AC 至 M，使 AM = AB，连结 PM 在ABP 和AMP 中 AB = AM 1 = 2 AP = AP ABPAMP PB = PM 又在PCM 中有 CM PMPC ABACPBPC 1 2 E DC B A P 12 N D C B A A B C D 2 1 P M 练习练习：1.已知，在ABC 中，B = 60o,AD、CE 是ABC 的角平分线,并且它们交于点 O 求证：AC = AECD 2.已知，如图，ABCD1 = 2 ,3 = 4. 求证：
20、BC = ABCD 规律规律 25.证明两条线段相等的步骤：证明两条线段相等的步骤： 观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。 若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角 形全等形全等. 如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形. 例:如图，已知，BE、CD 相交于 F，B = C，1 = 2，求证：DF = EF 证明：ADF =B3
21、 AEF = C4 又3 = 4 B = C ADF = AEF 在ADF 和AEF 中 ADF = AEF 1 = 2 AF = AF ADFAEF DF = EF 规律规律 26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等. 例：已知，如图 RtABC 中，AB = AC，BAC = 90o，过 A 作任一条直线 AN，作 BDAN 于 D， CEAN 于 E，求证：DE = BDCE 证明：BAC = 90o, BDAN 12 = 90o 13 = 90o 2 = 3 BDAN CE
22、AN BDA =AEC = 90o 在ABD 和CAE 中， BDA =AEC 2 = 3 AB = AC ABDCAE BD = AE 且 AD = CE AEAD = BDCE DE = BDCE 规律规律 27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等. 例：AD 为ABC 的中线，且 CFAD 于 F，BEAD 的延长线于 E 求证：BE = CF 证明： （略） 4 3 21 F E D C B A 3 2 1 N E D CB A 2 1 D CB A F E 4 3 2 1 E D CB A 规律规律 28.条件不足时延
23、长已知边构造三角形条件不足时延长已知边构造三角形. 例：已知 AC = BD，ADAC 于 A，BCBD 于 B 求证：AD = BC 证明：分别延长 DA、CB 交于点 E ADAC BCBD CAE = DBE = 90o 在DBE 和CAE 中 DBE =CAE BD = AC E =E DBECAE ED = EC，EB = EA EDEA = EC EB AD = BC 规律规律 29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题. 例：已知，如图，ABCD，ADBC 求证：AB = CD 证明：连结 AC（或 BD）
24、ABCD，ADBC 1 = 2 在ABC 和CDA 中， 1 = 2 AC = CA 3 = 4 ABCCDA AB = CD 练习练习：已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF， 求证：BE = DF 规律规律 30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归角分垂等腰归”. 例：已知，如图，在 RtABC 中，AB = AC，BAC = 90o，1 = 2 ，CEBD 的延长线于 E 求证：BD = 2CE 证明：分别延长 BA、CE 交于 F BECF BEF =BEC = 90o 在BEF
25、 和BEC 中 1 = 2 BE = BE BEF =BEC BEFBEC O E DC B A 4 3 2 1 D C B A 2 1 E F D C B A E F D C BA CE = FE = 1 2 CF BAC = 90o , BECF BAC = CAF = 90o 1BDA = 90o 1BFC = 90o BDA = BFC 在ABD 和ACF 中 BAC = CAF BDA = BFC AB = AC ABDACF BD = CF BD = 2CE 练习：已知，如图，ACB = 3B，1 =2,CDAD 于 D， 求证：ABAC = 2CD 规律规律 31.当证题有困难时
26、，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形. 例：已知，如图，AC、BD 相交于 O，且 AB = DC，AC = BD， 求证：A = D 证明： （连结 BC，过程略） 规律规律 32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件题提供条件. 例：已知，如图，AB = DC，A = D 求证：ABC = DCB 证明：分别取 AD、BC 中点 N、M， 连结 NB、NM、NC（过程略） 规律规律 33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边
27、做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离 相等证题相等证题. 例：已知，如图，1 = 2 ，P 为 BN 上一点，且 PDBC 于 D，ABBC = 2BD， 求证：BAPBCP = 180o 证明：过 P 作 PEBA 于 E PDBC，1 = 2 PE = PD 在 RtBPE 和 RtBPD 中 BP = BP PE = PD RtBPERtBPD O A B D C B A D C 2 1 D C B A N P E D C B A 2 1 BE = BD ABBC = 2BD，BC = CDBD，AB = B
28、EAE AE = CD PEBE，PDBC PEB =PDC = 90o 在PEA 和PDC 中 PE = PD PEB =PDC AE =CD PEAPDC PCB = EAP BAPEAP = 180o BAPBCP = 180o 练习：1.已知，如图，PA、PC 分别是ABC 外角MAC 与NCA 的平分线，它们交于 P， PDBM 于 M，PFBN 于 F，求证：BP 为MBN 的平分线 2. 已知，如图，在ABC 中，ABC =100o，ACB = 20o，CE 是ACB 的平分线，D 是 AC 上一点，若CBD = 20o，求CED 的度数。 规律规律 34.有等腰三角形时常用的辅
29、助线有等腰三角形时常用的辅助线 作顶角的平分线，底边中线，底边高线作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC，BDAC 于 D， 求证：BAC = 2DBC 证明： （方法一）作BAC 的平分线 AE，交 BC 于 E，则1 = 2 = 1 2 BAC 又AB = AC AEBC 2ACB = 90o BDAC DBCACB = 90o 2 = DBC BAC = 2DBC （方法二）过 A 作 AEBC 于 E（过程略） （方法三）取 BC 中点 E，连结 AE（过程略） 有底边中点时，常作底边中线有底边中点时，常作底边中线 例：已知，如图，ABC 中，AB = AC
30、，D 为 BC 中点，DEAB 于 E，DFAC 于 F， F M N P B A D C E D C B A 21 E D C B A 求证：DE = DF 证明：连结 AD. D 为 BC 中点， BD = CD 又AB =AC AD 平分BAC DEAB，DFAC DE = DF 将腰延长一倍，构造直角三角形解题将腰延长一倍，构造直角三角形解题 例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，在 BA 延长线和 AC 上各取一点 E、F，使 AE = AF，求 证：EFBC 证明：延长 BE 到 N，使 AN = AB,连结 CN,则 AB = AN = AC B = ACB, ACN =
31、ANC BACBACNANC = 180o 2BCA2ACN = 180o BCAACN = 90o 即BCN = 90o NCBC AE = AF AEF = AFE 又BAC = AEF AFE BAC = ACN ANC BAC =2AEF = 2ANC AEF = ANC EFNC EFBC 常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例：已知，如图，在ABC 中，AB = AC，D 在 AB 上，E 在 AC 延长线上，且 BD = CE，连结 DE 交 BC 于 F 求证：DF = EF 证明： （证法一）过 D 作 DNAE，交 BC 于 N，则
32、DNB = ACB，NDE = E， AB = AC， B = ACB B =DNB BD = DN 又BD = CE DN = EC 在DNF 和ECF 中 1 = 2 NDF =E DN = EC DNFECF DF = EF （证法二）过 E 作 EMAB 交 BC 延长线于 M,则EMB =B（过程略） 常过一腰上的某一已知点做底的平行线常过一腰上的某一已知点做底的平行线 FE D C B A N F E C B A 2 1 N F E D C B A 2 1 M F E D C B A 例：已知，如图，ABC 中，AB =AC，E 在 AC 上，D 在 BA 延长线上，且 AD =
33、AE，连结 DE 求证：DEBC 证明： （证法一）过点 E 作 EFBC 交 AB 于 F，则 AFE =B AEF =C AB = AC B =C AFE =AEF AD = AE AED =ADE 又AFEAEFAEDADE = 180o 2AEF2AED = 90o 即FED = 90o DEFE 又EFBC DEBC （证法二）过点 D 作 DNBC 交 CA 的延长线于 N， （过程略） （证法三）过点 A 作 AMBC 交 DE 于 M， （过程略） 常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形等边三角形 例：已知，如图，ABC 中，AB
34、= AC，BAC = 80o ,P 为形内一点，若PBC = 10o PCB = 30o 求PAB 的度数. 解法一：以 AB 为一边作等边三角形，连结 CE 则BAE =ABE = 60o AE = AB = BE AB = AC AE = AC ABC =ACB AEC =ACE EAC =BACBAE = 80o 60o = 20o ACE = 1 2 (180oEAC)= 80o ACB= 1 2 (180oBAC)= 50o BCE =ACEACB = 80o50o = 30o PCB = 30o PCB = BCE ABC =ACB = 50o, ABE = 60o EBC =AB
35、EABC = 60o50o =10o PBC = 10o PBC = EBC 在PBC 和EBC 中 PBC = EBC BC = BC PCB = BCE PBCEBC N M FE D CB A P E C B A BP = BE AB = BE AB = BP BAP =BPA ABP =ABCPBC = 50o10o = 40o PAB = 1 2 (180oABP)= 70o 解法二：以 AC 为一边作等边三角形，证法同一。 解法三：以 BC 为一边作等边三角形BCE，连结 AE,则 EB = EC = BC，BEC =EBC = 60o EB = EC E 在 BC 的中垂线上 同
36、理 A 在 BC 的中垂线上 EA 所在的直线是 BC 的中垂线 EABC AEB = 1 2 BEC = 30o =PCB 由解法一知：ABC = 50o ABE = EBCABC = 10o =PBC ABE =PBC,BE = BC,AEB =PCB ABEPBC AB = BP BAP =BPA ABP =ABCPBC = 50o10o = 40o PAB = 1 2 (180oABP) = 1 2 (180o40o)= 70o 规律规律 35.有二倍角时常用的辅助线有二倍角时常用的辅助线 构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角 例
37、：已知，如图，在ABC 中，1 = 2，ABC = 2C， 求证：ABBD = AC 证明：延长 AB 到 E，使 BE = BD，连结 DE 则BED = BDE ABD =EBDE ABC =2E ABC = 2C E = C 在AED 和ACD 中 E = C 1 = 2 AD = AD AEDACD AC = AE AE = ABBE AC = ABBE 即 ABBD = AC 平分二倍角平分二倍角 21 E D C B A P E C B A 例：已知，如图，在ABC 中，BDAC 于 D，BAC = 2DBC 求证：ABC = ACB 证明：作BAC 的平分线 AE 交 BC 于
38、E，则BAE = CAE = DBC BDAC CBD C = 90o CAEC= 90o AEC= 180oCAEC= 90o AEBC ABCBAE = 90o CAEC= 90o BAE = CAE ABC = ACB 加倍小角加倍小角 例：已知，如图，在ABC 中，BDAC 于 D，BAC = 2DBC 求证：ABC = ACB 证明：作FBD =DBC,BF 交 AC 于 F（过程略） 规律规律 36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来. 例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，BAC = 120o，EF
39、为 AB 的垂直平分线，EF 交 BC 于 F， 交 AB 于 E 求证：BF = 1 2 FC 证明：连结 AF，则 AF = BF B =FAB AB = AC B =C BAC = 120o B =CBAC = 1 2 (180oBAC) = 30o FAB = 30o FAC =BACFAB = 120o30o =90o 又C = 30o AF = 1 2 FC BF = 1 2 FC 练习：已知，如图，在ABC 中，CAB 的平分线 AD 与 BC 的垂直平分线 DE 交于点 D，DMAB 于 M，DNAC 延长线于 N 求证：BM = CN D E CB A F D CB A F
40、E C B A N M E D CB A 规律规律 37. 有垂直时常构造垂直平分线有垂直时常构造垂直平分线. 例：已知，如图，在ABC 中，B =2C，ADBC 于 D 求证：CD = ABBD 证明： （一）在 CD 上截取 DE = DB，连结 AE，则 AB = AE B =AEB B = 2C AEB = 2C 又AEB = CEAC C =EAC AE = CE 又CD = DECE CD = BDAB （二）延长 CB 到 F，使 DF = DC，连结 AF 则 AF =AC（过程略） 规律规律 38.有中点时常构造垂直平分线有中点时常构造垂直平分线. 例：已知，如图，在ABC
41、中，BC = 2AB, ABC = 2C,BD = CD 求证：ABC 为直角三角形 证明：过 D 作 DEBC，交 AC 于 E，连结 BE，则 BE = CE， C =EBC ABC = 2C ABE =EBC BC = 2AB，BD = CD BD = AB 在ABE 和DBE 中 AB = BD ABE =EBC BE = BE ABEDBE BAE = BDE BDE = 90o BAE = 90o 即ABC 为直角三角形 规律规律 39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题. 例：已知，如图，在AB
42、C 中，A = 90o，DE 为 BC 的垂直平分线 求证：BE2AE2 = AC2 证明：连结 CE，则 BE = CE A = 90o AE2AC2 = EC2 ED C B A F D C B A E D C B A E D C B A AE2AC2= BE2 BE2AE2 = AC2 练习：已知，如图，在ABC 中，BAC = 90o，AB = AC，P 为 BC 上一点 求证：PB2PC2= 2PA2 规律规律 40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中. 例：已知，如图，在ABC 中，B = 45o，C = 30o，AB
43、=2，求 AC 的长. 解：过 A 作 ADBC 于 D BBAD = 90o， B = 45o，B = BAD = 45o， AD = BD AB2 = AD2BD2，AB =2 AD = 1 C = 30o，ADBC AC = 2AD = 2 四边形部分四边形部分 规律规律 41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半. 例：已知,ABCD 的周长为 60cm，对角线 AC、BD 相交于点 O，AOB 的周长比BOC 的周长多 8cm，求这个四边形各边长. 解：四边形 ABCD 为平行四边形 AB = CD，AD = CB，AO = C
44、O D C B A P CB A ABCDDACB = 60 AOABOB(OBBCOC) = 8 ABBC = 30，ABBC =8 AB = CD = 19，BC = AD = 11 答：这个四边形各边长分别为 19cm、11cm、19cm、11cm. 规律规律 42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差. （例题如上） 规律规律 43.有平行线时常作平行线构造平行四边形有平行线时常作平行线构造平行四边形 例： 已知， 如图， RtABC， ACB = 90o， CDAB 于 D， AE 平分CAB 交 CD 于 F， 过 F 作 FHAB 交 BC 于 H 求证：CE = BH 证明： 过 F 作 FPBC 交 AB 于 P， 则四边形 FPBH为平行四 边形 B =FPA，BH = FP ACB = 90o，CDAB 5CAB = 45o，BCAB = 90o 5 =B 5 =FPA 又1 =2，AF = AF CAFPAF CF = FP 4 =15，3 =2B 3 =4 CF = CE CE = BH 练习：已知，如图，ABEFGH，BE = GC 求证：AB = EFGH 规律规律 44.有以平行四边形一边中点为端点
