1、会计学1经济数学经济数学微积分微积分定义定义:.)(0),(称为隐函数所确定的函数由方程xyyyxF.)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),(yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.(differentiation of functions represented implicitly)第1页/共27页例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方
2、程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy ,0,0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy.1 第2页/共27页例例2 2.,)23,23(,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy .1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy.03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点
3、显然通过原点.第3页/共27页例例3 3.)1,0(,144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1,0 yx;4110 yxy求导得求导得两边再对两边再对将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy,1,0 yx代代入入.16110 yxy第4页/共27页观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:.
4、)()(的情形的情形函数函数多个函数相乘除或幂指多个函数相乘除或幂指xvxu第5页/共27页例例4 4解解142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设第6页/共27页例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(
5、cossinxxxxxx 第7页/共27页一般地一般地)0)()()()(xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 第8页/共27页.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t(differen
6、tiation of functions represented parametrically)第9页/共27页),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy ,0)(,)(),(ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx第10页/共27页,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()()(1)()()()()(2
7、tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即第11页/共27页例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy.1.方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin(ttayttax第12页/共27页.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12(axay)22(axy即即第13页/共27页例例8 8解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy)sin(cos3cossin322ttatta t
8、tan )(22dxdydxddxyd)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 第14页/共27页隐函数求导法则隐函数求导法则:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求导法则求导导法则求导;参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;第15页/共27页思考题思考题 一工厂有x名技术工人和 y 名非技术工人每天可生产的产品产量为yxyxf2),(件)现有16名技术工人和32名非技术工人,而厂长计划再雇用一名技术工人.试求厂长如何调整非
9、技术工人的人数,可保持产品产量不变？第16页/共27页 解 现在产品产量为f(16,32)=8192件,保持这种产量的函数曲线为f(x,y)=8192 对于任一给定值 x 每增加一名技术工人时 y 的变化量即为这函数曲线切线的斜率 .dxdy.2022xydxdyyxxy ；yx2(1)(1)式两端对x求导，整理得：第17页/共27页xydxdy2 为为即即非非技技术术工工人人的的变变化化量量时，可得当32,16yx4dxdy 因此厂长要增加一个技术工人并要使产量不变,就要相应地减少约4名非技术工人.第18页/共27页思考题思考题设设 )()(tytx ，由由)()(ttyx )0)(t 可可
10、知知)()(ttyx ，对对吗吗？第19页/共27页思考题解答思考题解答不对不对 xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 第20页/共27页练练 习习 题题第21页/共27页二二、求求下下列列方方程程所所确确定定的的隐隐函函数数 y y 的的二二阶阶导导数数22dxyd：1 1、yxey 1；2 2、)tan(yxy ；3 3、yxxy )00(yx，.三三、用用对对数数求求导导法法则则求求下下列列函函数数的的导导数数：1 1、2xxy ；2 2、54)1()3(2 xxxy；3 3、xexxy 1sin.第22页/共27页第23页/共27页七、七、在中午十二点正甲船的在中
11、午十二点正甲船的 6 6 公里公里/小时的速率向小时的速率向东行驶，乙船在甲船之北东行驶，乙船在甲船之北 1616 公里，以公里，以 8 8 公里公里/小小时的速率向南行驶，问下午一点正两船相距的速时的速率向南行驶，问下午一点正两船相距的速率为多少？率为多少？八、八、水注入深水注入深8 8 米，上顶直径米，上顶直径8 8 米的正圆锥形容器中，米的正圆锥形容器中，其速率为每分钟其速率为每分钟 4 4 立方米，当水深为立方米，当水深为 5 5 米时，其米时，其表面上升的速率为多少？表面上升的速率为多少？第24页/共27页练习题答练习题答案案第25页/共27页第26页/共27页感谢您的观看！感谢您的观看！第27页/共27页
