1、 一、解决此类题目的基本步骤与思路 1.根据已知的函数解析式求出点坐标 2.综合运用勾股定理，相似三角形相似比求出所需的线段长度 3. 进行相应的计算与化简 注意事项注意事项：1.在求解二次函数的点坐标时不要出现计算错误在求解二次函数的点坐标时不要出现计算错误 2.对于复杂的二次函数表达对于复杂的二次函数表达 式，会通过十字相乘等因式分解的方法分解式，会通过十字相乘等因式分解的方法分解 3.在勾股定理计算复杂的情况下，巧妙的进行化在勾股定理计算复杂的情况下，巧妙的进行化 简计算简计算 4.利用相似计算要注意长度的表示。利用相似计算要注意长度的表示。 二、二次函数问题中定值问题 （一）例题演示
2、如图，已知ABC 为直角三角形，ACB90 ，ACBC，点 A、C 在 x 轴上，点 B 的坐标为(3，m)(m0)， 线段 AB 与y轴相交于点 D，以 P(1，0)为顶点的抛物线过点 B、D （1）求点 A 的坐标（用 m 表示） ； （2）求抛物线的解析式； （3）设点 Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点，连结 PQ 并延长交 BC 于点 E，连结 BQ 并延长交 AC 于点 F，试证明：FC(ACEC)为定值 y x F A O D B P C E Q 【解析】 （1）AO=ACOC=m3，用线段的长度表示点 A 的坐标； （2）ABC 是等腰直角三角形，AOD 也是等腰直角
3、三角形， OD=OA，D（0，m3） ，又 P（1，0）为抛物线顶点，可设顶点式，求解析式； （3）设 Q（x，x22x+1） ，过 Q 点分别作 x 轴，y 轴的垂线，运用相似比求出 FC、 EC 的长，而 AC=m，代入即可 解答： （1）解：由 B（3，m）可知 OC=3，BC=m，又ABC 为等腰直角三角形， AC=BC=m，OA=m3，点 A 的坐标是（3m，0） 来源来源:学学*科科*网网 Z*X*X*K （3）证明：过点 Q 作 QMAC 于点 M，过点 Q 作 QNBC 于点 N， 设点 Q 的坐标是（x，x22x+1） ，则QM=CN=（x1）2，MC=QN=3x QMCE，
4、PQMPEC， ， 即，得 EC=2（x1） QNFC，BQNBFC， ， 即，得 又AC=4，FC（AC+EC）=4+2（x1）=（2x+2）= 2 （x+1）=8 即 FC（AC+EC）为定值 8 来源:163文库 【试题精炼】【试题精炼】 如图所示，已知点 C(一 3，m)，点 D(m 一 3，0)直线 CD 交 y 轴于点 A作 CE 与 X 轴垂直，垂足为 E， 以点 B(一 1，0)为顶点的抛物线恰好经过点 A、C (1)则CDE= (2)求抛物线对应的函数关系式； (3)设 P(x，y)为抛物线上一点(其中31x -或11x ，来源:163文库 连结 BP 并延长交直线 CE 于
5、点 N,记 N 点的纵坐标为 N y， 连结 CP 并延长交 X 轴于点 M 试证明：EM (EC+ N y)为定值； 试判断 EM+EC+ N y是否有最小值，并说明理由来源:学_科_网 Z_X_X_K 【解析】（1）根据 AE=m-3-（-3）=m，CE=m，得到 AE=CE，从而得到EAC=45； （2）设 E 点横坐标为 XE，D 点横坐标为 XD，则 ED=XD-XE=m，又 C（-3，m），可知，A（0，m-3），C（-3，m）， 设抛物线的方程为 y=a（x+1） 2，代入求值即可； （3）设 P（x，x 2+2x+1），作 PQx 轴于 Q，根据 EM（EC+Y N）=（-2x
6、-2+4）=8 可得定值； 解得，a=1，m=4，故抛物线方程为 y=（x+1）2 （3）设 P（x，x 2+2x+1），作 PQx 轴于 Q， 由 RtBPQRtBNE，可得 YN =-2（x+1）， 由 RtMPQRtMCE 可得，EM=， EM（EC+YN）=（-2x-2+4）=8（为定值）（-3x-1 和-1x1 两种情况完全相同） 【中考链接】【中考链接】 如图，二次函数 y=a（x22mx3m2） （其中 a，m 是常数，且 a0，m0）的图象与 x 轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴交于 C（0，3） ，点 D 在二次函数的图象上，CDAB，连接 A
7、D， 过点 A 作射线 AE 交二次函数的图象于点 E，AB 平分DAE （1）用含 m 的代数式表示 a； （2）求证：为定值； 【解析】 ： （1）由 C 在二次函数 y=a（x22mx3m2）上，则其横纵坐标必满足方程，代入即可得到 a 与 c 的关系式 （2）求证为定值，一般就是计算出 AD、AE 的值，然后相比而求其长，过 E、D 作 x 轴的垂线段，进 而通过设边长，利用直角三角形性质得方程求解，是求解此类问题的常规思路，如此易得定值 解答： （1）将 C（0，3）代入二次函数 y=a（x22mx3m2） ， 则3=a（003m2） ，解得 a= （2）证明：如图 1，过点 D、E
8、 分别作 x 轴的垂线，垂足为 M、N 由 a（x22mx3m2）=0，解得 x1=m，x2=3m，则 A（m，0） ，B（3m，0） CDAB，点 D 的坐标为（2m，3） AB 平分DAE，DAM=EAN， DMA=ENA=90 ，ADMAEN= 设 E 坐标为（x，） ，=， x=4m，E（4m，5） ，AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m， = ，即为定值 【巩固练习】【巩固练习】 如图 1，直线 4 :4 3 l yx与x轴、y轴分别交于A、B两点，二次函数 2 22(0)yaxaxa的图像 经过点A，交y轴于点C. (1)求该二次函数的表达式; (2)
9、已知点M是抛物线上的一个动点，经过点M作x轴的垂线MD，交直线l于点E,过点C 作 CDMD，垂足为D，连接CM.设点M的横坐标为m. 当点M位于第四象限的抛物线上，且CDM是等腰直角三角形时，CM交直线l于点F， 设点F至直线DM的距离 1 d，到y轴的距 离为 2 d，求 1 2 d d 的值. 解答：(1)根据直线方程求出 A 点坐标为(3，0)，将 A 点坐标代入到二次函数表达式中得求出 a=- 。得解析 式为 y=.- x2+ x+2 (2)设点 M 坐标为（m，.- m2+ m+2）则 DM= m2- m,CD=m来源:Z。xx。k.Com CDM为等腰直角三角形，CD=DM 解得 m= 。 且直线 CM 的斜率为-1，截距为 2 解析式为 y=-x+2，联立 l 的解析式得 F 的横坐标为 d1=和 d2= =
