1、 1.了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.2.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直；1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算的结果为AC1的共有 个 ()(+)+(+)+(+)+(+)+DAB BC 1CC 1AA11AD11DCAB 1BB11BC1AA11AD11BCA.1 B.2C.3 D.42.已知O、A、B、C为空间四点，又 、为空间的一个基底，则()DOA OB OCA.O、A、B、C四点共线B.O、A、B、C四点共面但不共线C.O、A、B、C四点中有三点共线D.O
2、、A、B、C四点不共面3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且ab,则()CA.x=1,y=1 B.x=，y=-C.x=,y=-D.x=-，y=121216232321x12y 391623解析：因为ab，所以 =，所以x=，y=-.4.已知正四面体ABCD的棱长为1，点F、G分别是AD、DC的中点,则 =.FG BA 14 FG 12AC12BC BA FG BA 12BC BA BA 12BC BA 2BA 121214解析：因为 =(-),所以 =(-)=(-)=(-1)=-.5.已知a、b是空间两向量:若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,则cosa,b=.718121
3、222 18解析：由|a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2=22-2ab+22=7.所以ab=，所以cosa，b=ab|a|b|=.1.空间向量的有关概念 （1）空间向量:在空间,我们把具有 和 的量叫做向量,其大小叫做向量a的长度或模，记作|a|.(2)单位向量：长度或模为_的向量 (3)零向量：长度或模为_的向量 (4)相等向量：方向_且模_的向量 大小方向10相同相等(5)相反向量：方向_且模_的向量(6)共线向量：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b b，记作ab b.(7)共面向量：平行于同一_的向量
4、叫做共面向量相反相等平面abpxyab2空间向量中的有关定理(1)共线向量定理及其推论共线向量定理：空间任意两个向量a a，b b（b b=0 0），ab b的充要条件是存在实数 ，使_.(2)共面向量定理如果两个向量a a，b b不共线，p p与向量a a，b b共面的充要条件是存在实数x，y使_.OD=.1)ABCDxabcpxyzpxOAyOBzOCxyz 空间四点、共面空间任意使空间向量基本定理如果三个向量，不共面，那么对空间任一向量，存在有序数组，使得(其中 xxyz空间向量基本定理如果三个向量，不共面，那么对空间任一向量，存在有序数组，y，z，使得abcpp=a+b+3c.(4)向
5、量对实数加法的分配律：_ (5)数乘向量的结合律：_ .3向量线性运的运算律(1)加法交换律：_ (2)加法结合律：_(3)数乘分配律：_a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)=a+ba(+)=a+a)aa（OA=,_0p_.a OBbababababbaabab 作作则则叫叫做做向向量量 与与的的夹夹角角，记记作作，且且规规定定，显显然然有有，；若若，则则称称 与与 互互相相垂垂直直，记记作作：4空间向量的数量积及其运算律(1)空间向量的夹角及其表示已知两非零向量，b，在空间任取一个点O，AOB 2ab，a(2)数量积及坐标运算(2)已知向量a，b，则_ 叫做a，b的数量积，
6、记作ab.(3)空间向量数量积的运算律结合律：_；交换律：_;分配律：_。cosa bab，()()()baa baba bb aabca ba ca b 5空间向量的坐标表示及应用(设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)(1)坐标运算ab=_；a=_；=_；121212(,)xxyyzz123(,)xyz121212x xy yz z121212222111121212222222111222111222(1)/(2)0_(3);(4)cos(5)()()_)_(_2xxyyzzaxyzx xy yz zxyzxyzA xyzB xyzABababababa aab 坐坐标标应
7、应用用共共：，；垂垂直直：；模模：夹夹角角：，距距离离：设设，则则_.1212120 x xy yz z222212121xxyyzz 题型题型 一一 空间向量的线性运算空间向量的线性运算111111111,APA NABCDA BC DAAa ABb ADc M N PAA BC C Dabc 如如图图所所示示，在在平平行行六六面面体体中中，分分别别是是，的的中中点点，试试用用，表表示示以以下下各各向向量量：（1 1）1 1（2 2）例例要要想想用用已已知知向向量量表表示示未未知知向向量量，只只需需结结合合图图形形，力力扣扣基基底底，充充分分运运用用空空间间向向量量加加法法和和数数乘乘向向量
8、量的的运运分分析析：算算律律即即可可 111111111AP=AD+D PAD+D C2PC DAAa 因因为为 是是的的中中：点点，解解析析(2)因为N是BC的中点，13MAA因因为为是是的的中中点点，11()2211.22 aacbabc111()()222313222abcacabc 评析：用已知向量表示未知向量，一是要选好基底，二是要以图形为指导，利用平面图的性质，比如重心与中点的特殊量的关系等OA OB OCMG OG素材1三棱锥O-ABC中，M、N分别是OA、BC的中点，G是ABC的重心，用基向量 ,表示 和 .12OA OB OCMG OGMAAGOA 23AN12OA 23ON
9、12OA 2312OA 16OA 13OB 13OCOM MG OA 12OA 1613OB 13OCOA 1313OB 13OC =+=+=+(-)=+(+)-=-+.=+=-+=+.解析：题型二题型二 空间中点共线、点共面的问题空间中点共线、点共面的问题EFGHABCDABBCCDDAEFGH 已已知知，分分别别是是空空间间四四边边形形的的边边，的的中中点点用用向向量量法法证证明明：，例例，2 2四四点点共共面面BG如如图图所所示示，解解连连接接析析：，则则EFGH由由共共面面向向量量定定理理知知，四四点点共共面面评析：证明共面问题，关键是要利用向量定理，即只要存在实数x，y，得 即可，也
10、可推论，如对空间中一点O，有即可，如本例可由 只需求得x，y，z满足x+y+z=1即可素材2 在以下命题中，不正确的命题个数为()(1)已知A，B，C，D是空间任意四点，且(2)|a|-|b|=|a+b|是a，b共线的充要条件；(3)若a与b共线，则a与b所在直线平行；(4)对空间任意一点O和不共线的三点 A,B,C （其中x，y，zR)，则P，A，B，C四点共面AB+BC+CD+DA=0 OP=OA+OB+OCxyz A1 B2C3 D4(1)正确，(2)(3)(4)错误，故选C.1AB1AC AD题型三题型三 空间向量的数量积及其应用空间向量的数量积及其应用 如图,在平行六面体ABCD-A
11、1B1C1D1中,A1AB=A1AD=BAD=60，AA1=3,AB=AD=2.(1)求证：AA1BD；(2)求|；(3)求cos ，.例3AB AD1AAAB 1AABD 1AAAD1AAAD1AAAB 1AABD 条件较集中于点A处，故可取 ,为解决问题的基向量,题中各问题中的有关向量,都用基向量来表示,再进行相应运算.分析 (1)证明：因为 =(-)=-=32cos60-32cos60=0,所以 ，即AA1BD.解析：(2)|2=(+)2=+2 +2 +2 =4+4+9+222cos60+223cos60+223cos60=33，所以|=.AB 1AA1AC 21AC AD2AB 2AD
12、21AAAB ADAB 1AAAD1AA1AC 33(3)在A1AB中，由余弦定理，得A1B2=9+4-223cos60=7，即A1B=7.又 =-，所以 =(-)=-=22cos60-23cos60=-1.所以cos ,=.AB 1AAAD1AB1ABADAB 1AAADAB AD1AAAD1AB11|ADABADAB 12 7714评析:本题提供的是利用空间向量的基本运算来处理立体几何中的证明的一般方法，在复习中，应加强这方面的思考.素材3 在正方体中 ，下面给出四个命题：1111ABCDA BC D_()则错误命题的序号是 填出所有错误命题的序号 111111111160120AB/AA
13、ABAAADACABADA BADA BA BDC 由三垂线定理知所以正确与两异面直线的夹角为，但与的夹角为，注意方向因为正确的应是解析：题型四题型四 空间向量的坐标运算及其应用空间向量的坐标运算及其应用1111111ABCDA BC DMACNC DMNACMNC DMN 如如图图，已已知知正正方方体体的的棱棱长长为为，且且4 4试试求求例例，的的长长 分析 建立空间直角坐标系，利用向量共线的条件及向量垂直的条件建立方程组，求得M、N两点的坐标，再求MN11110,0,01,1,00,1,01,1,1AC1,1,0,C D=(1,01)AM=,AC(,0)(01),C N,C D(,0)(0
14、1)ACDCxxxxyyyy 如如图图，建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系，则则，所所以以，设设，解解析析：，1,1,1(,0)(,0)1,1,121103110231 1 133MN()MN,.3 3 333yyxxxyxyxxyxxyyyMN ，得得，解解得得，所所以以，所所以以评析 求空间图形上两点间的距离常用有两种思路：一是将线段放置在直角三角形中，运用勾股定理求解；二是建立空间直角坐标系，求点M、N的坐标，应用两点间距离公式求解而本题需要用到两个条件：一是向量共线，二是向量垂直，尤其是共线这个条件易被忽视 11111111111A O-AB-AD;2222DE=DD,EO=AB3+
15、AD+AA,ABCDA BC DOACEDDxyzxyz 如如图图，在在长长方方体体中中，为为的的中中点点化化简简：设设 是是棱棱上上的的点点，且且若若，试试求求，备备选选例例题题的的值值解析：112.223 xyz，12 3空空间间向向量量的的概概念念及及其其运运算算是是从从平平面面向向量量中中延延伸伸过过来来的的，要要通通过过类类比比的的方方法法来来掌掌。在在进进行行空空间间向向量量的的线线性性运运算算时时可可以以沿沿用用平平面面向向量量线线性性运运算算的的方方法法空空间间向向量量的的基基本本定定理理与与平平面面向向量量的的基基本本定定理理相相比比较较，只只是是多多了了一一维维，在在进进行
16、行向向量量分分解解时时，时时常常进进行行三三个个方方向向的的分分解解空空间间向向量量坐坐标标的的加加、减减、数数乘乘等等线线性性运运算算，体体现现了了几几个个向向量量之之间间的的关关系系；通通过过坐坐标标的的线线性性运运算算还还可可以以计计算算空空间间向向量量的的坐坐标标空空间间向向 4量量的的数数乘乘是是判判断断两两个个向向量量共共线线的的依依据据，常常用用于于证证明明线线线线平平行行、线线面面平平行行、面面面面平平行行问问题题求求空空间间向向量量的的问问题题一一般般有有两两种种方方法法：一一是是选选择择恰恰当当的的向向量量作作为为基基底底用用基基向向量量表表示示相相关关向向量量后后进进行行
17、向向量量运运算算，再再以以图图形形为为指指导导对对有有关关向向量量进进行行分分解解；二二是是建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系，利利用用坐坐标标运运算算来来解解决决空空间间向向量量的的坐坐标标、空空间间点点的的坐坐标标是是进进行行空空间间向向量量运运算算的的基基础础坐坐标标的的求求法法与与平平面面坐坐标标的的求求法法相相似似利利用用空空间间向向量量来来解解决决立立体体几几何何的的问问题题是是一一个个通通法法，应应加加以以重重视视 cos|5a babab空空间间向向量量的的数数量量积积是是运运用用向向量量的的坐坐标标求求向向量量的的模模、求求两两个个向向量量的的夹夹角角、求求线线段段求求线线
18、段段的的长长短短、证证明明两两个个向向量量垂垂直直的的依依据据，常常用用于于证证明明线线线线垂垂直直、线线面面垂垂直直、面面面面垂垂直直问问题题以以及及用用公公式式，进进行行线线线线角角的的求求解解，并并利利用用该该公公式式结结合合平平面面的的法法向向量量进进行行线线面面角角、面面面面角角的的求求解解31(3)22abcababcpababcpabc 已已知知向向量量，是是空空间间的的一一个个单单位位正正交交基基底底，向向量量 ，是是空空间间的的另另一一个个基基底底，若若向向量量 在在基基向向量量，下下的的坐坐标标为为，求求 在在基基底底，下下的的坐坐标标3132211.21(1,3)2 ababcabpabc由由题题意意可可知知，所所以以，因因此此向向量量 在在，下下的的坐坐标标为为，解解：上上述述解解法法中中把把基基向向量量认认为为是是坐坐标标，导导致致解解题题思思路路错错误误，其其根根源源是是错错误误理理解解了了向向量量坐坐标标表表示示错错解解分分析析：的的实实质质()3132223.1,2,3123.pabcabcababcabcabcxyzpxyzxyzp设设向向量量 在在，下下的的坐坐标标为为，则则由由空空间间向向量量基基本本定定理理知知，所所以以，即即 在在基基底底，下下的的坐坐标标为为正正解解：
