1、 培优选练(四)_与坐标系有关的面积问题_ 学生用书 B24 一、利用点的坐标求面积 1如图 1,ABC 的两个顶点坐标分别为 A(4,0),B(2,0),且 AB 边上的 高为 4,第三个顶点 C 的横坐标为1.求顶点 C 的坐标及三角形的面积 解:如答图,AB 边上的高为 4, 点 C 的纵坐标为 4 或4, 第三个顶点 C 的横坐标为1, 点 C 的坐标为 C1(1,4)或 C2(1,4) AB2(4)246, SABC1 26412. 22019 苍溪期中(1)在平面直角坐标系(图 2)中,描出下列 3 个点:A(1, 0),B(3,1),C(4,3); (2)顺次连接 A,B,C,组
2、成ABC,求ABC 的面积 解:(1)如答图; (2)如答图,SABCS梯形ADECSABDSBCE 1 2(14)5 1 214 1 214 12.5228.5. 32018 春 东阿期末在如图 3 所示的正方形网格中,每个小正方形的单位长 度均为 1,ABC 的三个顶点恰好是正方形网格的格点 (1)写出图中所示ABC 各顶点的坐标; (2)求出此三角形的面积 解:(1)A(3,3),B(2,2),C(4,3); (2)如答图所示,SABCS 矩形DECFSBECSADBSAFC661 261 1 2 551 261 35 2 . 4 如图 4, 在平面直角坐标系中, 四边形 ABCD 各顶
3、点的坐标分别为 A(0, 1), B(5,1),C(7,3),D(2,5) (1)填空:四边形 ABCD 内(边界点除外)一共有_13_个整点(即横、纵坐标都是 整数的点); (2)求四边形 ABCD 的面积 解:(2)如答图所示, S四边形ABCDSADESDFCS四边形BEFGSBCG, SADE1 2244,SDFC 1 2255, S四边形BEFG236,SBCG1 2222, S四边形ABCD456217. 52018 春 北流期末如图 5,平面直角坐标系中,四边形 ABCD 的顶点坐标 分别为 A(1,0),B(5,0),C(3,3),D(2,4),求四边形 ABCD 的面积 解:
4、如答图,作 CEx 轴于点 E,DFx 轴于点 F. 则 SADF1 2(21)42,S 梯形DCEF1 2(34)(32)3.5,SBCE 1 2(5 3)33, S四边形ABCD23.538.5. 二、利用面积求点的坐标 6在平面直角坐标系中,点 A,B 的坐标分别是(0,2),(0,2),点 C 在 x 轴上,如果ABC 的面积为 6,求点 C 的坐标 解:设点 C 的坐标为(x,0) 由1 2(22)|x|6,得|x|3,解得 x13,x23, 点 C 的坐标为(3,0)或(3,0) 7在平面直角坐标系中,点 A(1,0),B(5,0),点 C 在 y 轴上,且ABC 的 面积为 4.
5、求点 C 的坐标 解:设点 C 到 x 轴的距离为 h. AB514,SABC41 24 h,解得 h2, 点 C 的坐标为(0,2)或(0,2) 82019 绍兴期末已知:A(0,1),B(2,0),C(4,3)(1)在坐标系(图 6)中描出 各点,画出ABC. (2)求ABC 的面积; (3)设点 P 在坐标轴上,且ABP 与ABC 的面积相等,求点 P 的坐标 解:(1)如答图; (2)如答图,过点 C 向 x,y 轴作垂线,垂足分别为 D,E. S 四边形DOEC3412,SBCD1 2233,SACE 1 2244,SAOB 1 2 211. SABCS四边形DOECSACESBCD
6、SAOB123414; (3)当点 P 在 x 轴上时,SABP1 2AO BP4,即 1 21BP4,解得 BP8, 点 P 的坐标为(10,0)或(6,0); 当点 P 在 y 轴上时,SABP1 2BO AP4,即 1 22AP4,解得 AP4. 点 P 的坐标为(0,5)或(0,3) 点 P 的坐标为(0,5)或(0,3)或(10,0)或(6,0) 92018 春 庆云期末已知在平面直角坐标系中有三点 A(2,1),B(3,1), C(2,3)请回答如下问题: (1)在坐标系内(如图 7)描出点 A,B,C 的位置; 图 7 (2)求出以 A,B,C 三点为顶点的三角形的面积; (3)
7、在 y 轴上是否存在点 P,使以 A,B,P 三点为顶点的三角形的面积为 10? 若存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 解:(1)描点如答图; 第 9 题答图 (2)依题意得 ABx 轴,且 AB3(2)5, SABC1 2525; (3)存在AB5,SABP10, P 点到 AB 的距离为 4,又点 P 在 y 轴上, 点 P 的坐标为(0,5)或(0,3) 102018 春 黄石期末如图 8,在平面直角坐标系中,已知 A(0,2),B(3,0), C(3,4)三点 (1)求ABC 的面积; (2)如果在第二象限内有一点 P m,1 2 ,请用含 m 的式子表示四边形 AB
8、OP 的面 积; (3)在(2)的条件下, 是否存在点P, 使四边形ABOP的面积与ABC的面积相等? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 解:(1)如答图,过点 A 作 AHBC 于 H, 则 SABC1 2BC AH 1 2436; (2)P m,1 2 在第二象限,m0, S四边形ABOPSAOBSAPO1 223 1 2(m)23m. 故四边形 ABOP 的面积为 3m; (3)由四边形 ABOP 的面积与ABC 的面积相等,得 3m6,解得 m3, 此时 P 点坐标为 3,1 2 ,故存在 P 3,1 2 ,使四边形 ABOP 的面积与ABC 的面积相等 11在平面直角
9、坐标系 xOy 中,对于任意三点 A,B,C 的“矩面积”,给出如 下定义: “水平底”a 是任意两点横坐标差的最大值, “铅垂高”h 是任意两点 纵坐标差的最大值,则“矩面积”Sah.例如:三点坐标分别为 A(1,2),B( 3,1),C(2,2),则“水平底”a5,“铅垂高”h4,“矩面积”Sah 20.根据所给定义解决下列问题: (1)若已知点 D(1,2),E(2,1),F(0,6),则这三点的“矩面积”_15_; (2)若 D(1,2),E(2,1),F(0,t)三点的“矩面积”为 18,求点 F 的坐标 解:(1)点 D(1,2),E(2,1),F(0,6), a1(2)3,h615,Sah3515; (2)由题意可得,“水平底”a1(2)3, 当 t2 时,ht1,则 3(t1)18,解得 t7, 故点 F 的坐标为(0,7); 当 1t2 时,h211,则 3h318,故此种情况不符合题意; 当 t1 时,h2t,则 3(2t)18,解得 t4, 故点 F 的坐标为(0,4) 点 F 的坐标为(0,7)或(0,4)