1、2020 年中考数学冲刺难点突破 抛物线与圆问题 专题一专题一 二次函数中的二次函数中的圆和直线相切问题圆和直线相切问题 【模型展示】【模型展示】 圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的解析式可求交点 坐标，根据交点可求三角形的边长，由 于圆的位置不同，三角形的形状也不同。再根据三角形的形状，再解决其它问题。 【精典讲解】【精典讲解】 1、如图，在平面直角坐标系中，点 M 的坐标是（5，4） ，M 与 y 轴相切于点 C，与 x 轴相交于 A，B 两 点 （1）则点 A，B，C 的坐标分别是 A （2，0） ，B （8，0） ，C （0，4） ； （2）设经过 A，B 两点的抛物线解析式为
2、y= 1 4 （x-5）2+k，它的顶点为 E，求证：直线 EA 与M 相切； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 P，且点 P 在 x 轴的上方，使 PBC 是等腰三角形？如果存在，请 求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 2、如图，已知抛物线 y=- 1 2 （x2-7x+6）的顶点坐标为 M，与 x 轴相交于 A，B 两点（点 B 在点 A 的右侧） ， 与 y 轴相交于点 C （1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x-h）2+k（a0） ，并指出顶点 M 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找点 R，使得 CR+AR 的值最小，并求出其最小值和点 R 的坐标； （3）
3、以 AB 为直径作N 交抛物线于点 P（点 P 在对称轴的左侧） ，求证：直线 MP 是N 的切线 3、已知二次函数 yx2bxc1. (1)当 b1 时，求这个二次函数的对称轴的方程； (2)若 c1 4b 22b，问：b 为何值时，二次函数的图象与 x 轴相切； (3)如图所示，若二次函数的图象与 x 轴交于点 A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1x2，与 y 轴的正半轴交于点 M， 以 AB 为直径的半圆恰好经过点 M， 二次函数的对称轴 l 与 x 轴， 直线 BM， 直线 AM 分别相交于点 D， E， F，且满足DE EF 1 3，求二次函数的表达式 4、如图所示，已知抛物线
4、yax2bxc(a0)的图象的顶点坐标是(2，1)，并且经过点(4，2)直线 y1 2x 1 与抛物线交于 B，D 两点，以 BD 为直径作圆，圆心为点 C，C 与直线 m 交于对称轴右侧的点 M(t， 1)直线 m 上每一点的纵坐标都等于 1. (1)求抛物线的表达式； (2)证明：C 与 x 轴相切； (3)过点 B 作 BEm，垂足为 E，再过点 D 作 DFm，垂足为 F.求 BEMF 的值 5、已知抛物线 yx2mx2m4(m0) (1)证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点 (2)设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A，B(点 A 在点 B 的右侧)，与 y 轴交于点 C，A
5、，B，C 三点都 在P 上 试判断：不论 m 取任何正数，P 是否经过 y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是， 说明理由； 若点 C 关于直线 xm 2的对称点为点 E，点 D(0，1)，连结 BE，BD，DE， BDE 的周长记为 l， P 的半径记为 r，求l r的值 设 BDa，BE2a，则 DE 5a，l r 3a 5a 5a 2 106 5 5 . 6、在平面直角坐标系中，二次函数 yax25 3xc 的图象经过点 C(0，2)和点 D(4，2)，点 E 是直线 y 1 3x2 与二次函数图象在第一象限内的交点 (1)求二次函数的表达式及点 E 的坐标； (2)如图 1，
6、 若点 M 是二次函数图象上的点， 且在直线 CE 的上方， 连结 MC， OE， ME， 求四边形 COEM 面积的最大值及此时点 M 的坐标； (3)如图 2，经过 A，B，C 三点的圆交 y 轴于点 F，求点 F 的坐标 7、若抛物线 L：y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，abc0）与直线 l 都经过 y 轴上的同一点，且抛物线 L 的顶 点在直线 l 上，则称次抛物线 L 与直线 l 具有“一带一路”关系，并且将直线 l 叫做抛物线 L 的“路线”，抛物 线 L 叫做直线 l 的“带线” （1）若“路线”l 的表达式为 y=2x4，它的“带线”L 的顶点的横坐标为1，求“带线”
7、L 的表达式； （2）如果抛物线 y=mx22mx+m1 与直线 y=nx+1 具有“一带一路”关系，求 m，n 的值； （3）设（2）中的“带线”L 与它的“路线”l 在 y 轴上的交点为 A已知点 P 为“带线”L 上的点，当以点 P 为 圆心的圆与“路线”l 相切于点 A 时，求出点 P 的坐标 8、如图已知抛物线 y=ax23ax4a（a0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 的正 半轴交于点 C，连结 BC，二次函数的对称轴与 x 轴的交点为 E （1）抛物线的对称轴与 x 轴的交点 E 坐标为_，点 A 的坐标为_； （2）若以 E 为圆心的圆与 y
8、 轴和直线 BC 都相切，试求出抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，如图Q（m，0）是 x 的正半轴上一点，过点 Q 作 y 轴的平行线，与直线 BC 交 于点 M，与抛物线交于点 N，连结 CN，将 CMN 沿 CN 翻折，M 的对应点为 M在图中探究：是否存 在点 Q，使得 M恰好落在 y 轴上？若存在，请求出 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 9、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，经过 C（1，1）的抛物线 yax2+bx+c（a0）顶点为 M，与 x 轴正 半轴交于 A，B 两点 （1）如图 1，连接 OC，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转使得 C 落在 y 轴的正半轴上，求
9、线段 OC 过的面积； （2）如图 2，延长线段 OC 至 N，使得 ON 2OC，若ONAOBN 且 tanBAM 17 2 ，求抛物线 的解析式； （3）如图 3，已知以直线 x 5 2 为对称轴的抛物线 yax2+bx+c 交 y 轴于（0，5） ，交直线 l：ykx+m（k 0）于 C，D 两点，若在 x 轴上有且仅有一点 P，使CPD90 ，求 k 的值 10、如图 1，抛物线 2 12 3 3 33 yxx与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 左边） ，O 为 坐标原点 点 D 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点， 过点 D 作 DEx 轴交直线 BC
10、 于点 E 点 P 为CAB 角平分线上的一动点，过点 P 作 PQBC 于点 H，交 x 轴于点 Q；点 F 是直线 BC 上的一个动点 （1）当线段 DE 的长度最大时，求 DF+FQ+ 1 2 PQ 的最小值 （2）如图 2，将 BOC 沿 BC 边所在直线翻折，得到 BOC，点 M 为直线 BO上一动点，将 AOC 绕点 O 顺时针旋转 度（0 180 ）得到 AOC，当直线 AC，直线 BO，直线 OM 围成的图形是等腰直角三 角形时，直接写出该等腰直角三角形的面积 11、如图，抛物线 y1 2x 2+bx+c 与 x 轴交于 A、B（A 左 B 右） ，与 y 轴交于 C，直线 y
11、x+5 经过点 B、 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为第二象限抛物线上一点，设点 P 横坐标为 m，点 P 到直线 BC 的距离为 d，求 d 与 m 的函数解 析式； （3）在（2）的条件下，若PCB+POB180 ，求 d 的值 12、 在平面直角坐标系xOy中， 对“隔离直线”给出如下定义： 点 ( ,)P x m是图形 1 G上的任意一点， 点( , )Q x n 是图形 2 G上的任意一点，若存在直线l：(0)ykxb k 满足mkxb且nkxb，则称直线l： (0)ykxb k 是图形 1 G与 2 G的“隔离直线”，如图1，直线l：2yx 是函数 4 (0)yx x
12、 的图像与 正方形OABC的一条“隔离直线”. （1）在直线 1 1yx ， 2 31yx， 3 4yx ， 4 2yx 中，是图1函数 4 (0)yx x 的 图像与正方形OABC的“隔离直线”的为 . （2） 如图2， 第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行， 直角顶点D的坐标是(2,1)， O 的半径为5，是否存在EDF与O 的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式：若不存在，请 说明理由； （3）正方形 1111 DCBA的一边在y轴上，其它三边都在y轴的左侧，点( 1, )Mt是此正方形的中心，若存 在直线2yxb 是函数 2 23( 40)yxxx 的图像与
13、正方形 1111 DCBA的“隔离直线”，请直接写 出t的取值范围. 13、如图，已知直角坐标平面上的 ， = ， = 90，且(1,0)，(,)，(3,0)若抛 物线 = 2+ 3经过、两点 (1)求、的值； (2)将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点，求新抛物线的解析式； (3)设(2)中的新抛物的顶点点，为新抛物线上点至点之间的一点，以点为圆心画图，当 与轴和 直线都相切时，联结、，求四边形的面积 14、如图，在直角坐标系中，直线 y=1 3x1 与 x 轴，y 轴的交点分别为 A、B，以 x=1 为对称轴的抛物 线 y=x2+bx+c 与 x 轴分别交于点 A、C，直线
14、x=1 与 x 轴交于点 D （1）求抛物线的解析式； （2）在线段 AB 上是否存在一点 P，使以 A，D，P 为顶点的三角形与 AOB 相似？若存在，求出点 P 的 坐标；如果不存在，请说明理由； （3）若点 Q 在第三象限内，且 tanAQD=2，线段 CQ 是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果 不存在，请说明理由 15、在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 1 yaxbx a =+-与y轴交于点 A，将点 A 向右平移 2 个单位长 度，得到点 B，点 B 在抛物线上 （1）求点 B 的坐标（用含a的式子表示） ； （2）求抛物线的对称轴； （3） 已知点 11 (,) 2 P a ，(2,2)Q 若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点， 结合函数图象， 求a的取值范围 16、如图，抛物线 yax2+bx+6 与 x 轴交于点 A（6，0） ，B（1，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为该抛物线对称轴上一点，当 CM+BM 最小时，求点 M 的坐标 （3）抛物线上是否存在点 P，使 BCP 为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的 点 P， （保留作图痕迹） ；若不存在，说明理由
