1、线性系统的频域分析法之二1（优选）线性系统的频域分析法之二234 F(s)是复变量是复变量s的单值有理函数。如果函数的单值有理函数。如果函数F(s)在在s平面上指平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 都可以在都可以在F(s)平面上找到一个相应的点平面上找到一个相应的点 ，称为称为 在在F(s)平面上的映射。平面上的映射。sdfdfdsd 同样，对于同样，对于s平面上任意一条不通过平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭任何奇异点的封闭曲线曲线 ，也可在，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线平面上找到一条与之相对应的封闭
2、曲线 （为（为 的映射）。的映射）。sfs基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性一、预备知识一、预备知识幅角定理幅角定理5例：例：辅助方程为：辅助方程为：，则，则s平面上平面上 点（点（-1，j1），映射），映射到到F(s)平面上的点平面上的点 为（为（0，-j1）,见下图：见下图：sssF2)(sdfd)1,1(jds)1,0(jdf平面s平面)(sF设辅助函数为：设辅助函数为：)()()(pszssF1111jn1jin1isFsFpszspszsnjjniinjjnii6 令令s s从从 开始沿任一闭合路径开始沿任一闭合路径s s（不经过
3、（不经过F(s)F(s)的零点和极点）顺时针旋转一圈，的零点和极点）顺时针旋转一圈，F(s)F(s)的相角变化的相角变化情况如下情况如下 零点零点(Zi)(Zi)极点极点(Pj)(Pj)1)Zi 1)Zi在在ss外。外。2)Pj2)Pj在在ss外。外。结论相角无变化结论相角无变化 1)Zi 1)Zi在在ss内，内，。(顺时针顺时针)2)Pj 2)Pj在在ss内，内，。(逆时针逆时针)1s2izs7 结论若结论若F(s)F(s)在在ss中有中有Z Z个零点和个零点和P P个极点，则当个极点，则当S S沿沿ss顺时针方向旋转一圈时，顺时针方向旋转一圈时，F(s)F(s)相角有变化相角有变化 （顺时
4、针）（顺时针）)(2)(PZsF8幅角定理幅角定理 F(s)F(s)是是s s的单值有理函数，在的单值有理函数，在s s平平面上任一闭合路径（面上任一闭合路径（s s）包围了）包围了F(s)F(s)的的Z Z个零点和个零点和P P个极点，并且不经过个极点，并且不经过F(s)F(s)的任一零的任一零点和极点，则当点和极点，则当s s沿闭合路径顺时针方向旋转沿闭合路径顺时针方向旋转一圈时，映射到一圈时，映射到F(s)F(s)平面内的平面内的F(s)F(s)曲线（曲线（F F）顺时针绕原点（）顺时针绕原点（Z PZ P）圈。）圈。即即 N=ZP N=ZP （或逆时针绕原点（或逆时针绕原点N=PZN=
5、PZ圈）圈）其中其中N N为圈数，正、负表示的旋转方向逆时针为圈数，正、负表示的旋转方向逆时针为负，顺时针为正。为负，顺时针为正。9=tg-1幅相曲线对临界点包围的圈数与正负穿越次数差相对应。707 M0时的频率。当 ，开环幅相特性曲线 GH称作是Nyquist曲线P=开环系统s右半平面极点数研究表明，较小时，2）h4 6dB以上；1 应用开环频率特性曲线判断闭环稳定性。(a)对于型系统：将奈氏路径中的点试讨论K在不同范围内取正值时，系统的闭环稳定性，并指出系统在右半平面的闭环极点的个数。S右平面Nyquist围线函数为：解:开环频率特性为F的绘制:GH(j)和GH(-j)关于实轴对称统“惯性
6、”小，动作迅速，ts也小。幅相曲线对临界点包围的圈数与正负穿越次数差相对应。33 1,故此时系统稳定;0b，称为系统带宽。当 ，开环幅相特性曲线 GH称作是Nyquist曲线有以下三点是明显的：当开环传函G(s)H(s)包含积分环节时,在对数相频曲线 为 0+的地方,应该补画一条从相角 到 的虚线,其中 v 是积分环节数。用奈氏判据判断反馈系统稳定性时,一般只需绘制 从 0 到 时的开环幅相曲线,然后按其包围临界点圈数 N*(逆时针方向包围时,N*为正;顺时针方向包围时,N*为负)和开环传递函数在右半 s 平面上的极点数 P,根据公式函数为：此时，增益K=500，S右半平面的开环极点数P=0。
7、（1）正、负穿越的概念(4)带宽频率bM圆越来越小，最后收敛于 点；幅频最大值与零频幅值之比。一个反馈系统,若开环传递函数右半 s 平面的极点数 P=0,开环频率特性曲线在开环传递系数(即开环增益)改变时,闭环系统的稳定性将发生变化。2、相角裕度的定义：180加上开环幅相曲线幅值等于1时的相角。G2（j5）=-180式中 zi 和 pi 分别为 F(s)的零点和极点。如果系统稳定，()再负多少度系统就不稳定了。根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈魁斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。bode(feedback(g,1)=180o-90o-tg-1(0.解首先
8、，由开环幅相（极坐标）曲线可以确定P-FP-F（S S）在）在ss内的极点数；内的极点数；Z-FZ-F（S S）在）在ss内的零点数；内的零点数；N-N-F F曲线绕其原点逆时针转曲线绕其原点逆时针转过的圈数。过的圈数。10Z=0P=1N=Z-P=0-1=-1 例：例：11Z=3P=1N=Z-P=3-1=2 例：例：12解:G(s)H(s)有两个积分环节,故在对数相频曲线 为 0+处,补画了00到-1800的虚线,作为对数相频曲线的一部分。解:系统的开环幅相曲线如图示.例5-17 下述各图所示系统开环都是稳定的，试根据其开环幅相曲线分析各系统的稳定性。为使二阶系统不至于振荡得太厉害以及调节时间
9、太长，一般取11)GH(j)图和GH(-j)图关于实轴对称将 代入上式F包围原点(0,0)的周数n=p-z在 直线的左边，且随着M值的增大，P-F（S）在s内的极点数；它反映了系统动态响应的平稳性和快速性。半径为无限小的右半圆：33 1,故此时系统稳定;解首先，由开环幅相（极坐标）曲线可以确定 应用开环频率特性曲线判断闭环稳定性。解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2），G（jg）H（jg）)=-90o-tg-1（对应于映射曲线第部分）要求闭环稳定：Z=0幅相曲线对临界点包围的圈数与正负穿越次数差相对应。但零值极点不包括在右半开环极点的数目中。我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的
10、稳定性，因此开环频率特性是已知的，辅助方程也已知。高频段对应系统的小时间常数，对系统动态性能影响不大。1 1、围线、围线 如何取？如何取？s()F s 为了运用为了运用CauchyCauchy定理，在频域内验证系统是定理，在频域内验证系统是否稳定，否稳定，需要考虑需要考虑2 2个问题：个问题：2 2、围线映射、围线映射 如何取？如何取？思路：思路：1 1、右半平面取为内部；、右半平面取为内部；2 2、围线映射取为特征函数。、围线映射取为特征函数。13 M Ms s M Ms sG G s s H Hs sN Ns s N Ns s1 12 21 12 2()()()()()()M Ms s N
11、 Ns ss sN Ns s N Ns sM Ms s M Ms s1 12 21 12 21 12 2()()()()()()()N Ns s N Ns sM Ms s M Ms sF F s sG G s s H H s sN Ns s N Ns s1 12 21 12 21 12 2()()()()()1 1()()()()M Ms sM Ms sG G s sH Hs sN Ns sN Ns s1 12 21 12 2()()(),()()()14b)零点和极点个数相同零点和极点个数相同;c)F(s)和和 G(s)H(s)只差常数只差常数 1。式中式中 zi 和和 pi 分别为分别为
12、F(s)的零点和极点的零点和极点。由上由上,辅助函数辅助函数 F(s)具有如下特点具有如下特点:a)其零点和极点分别是闭环和开环特征其零点和极点分别是闭环和开环特征根根;物理系统中开环传递函数分子的最高次幂必小于物理系统中开环传递函数分子的最高次幂必小于分母的最高次幂分母的最高次幂,故故 F(s)可改写为可改写为 n ni ii in ni ii is sz zN Ns s N Ns sM Ms s M Ms sF F s sG G s s H Hs sN Ns s N Ns ss sp p1 11 12 21 12 21 12 21 1()()()()()()1 1()()()()()15辅
13、助函数与开环传函的关系辅助函数与开环传函的关系F sG so()()1平面)(sFImRe0)(sF)(sGo平面)(sGo0(-1,j0)F(s)F(s)平面围绕平面围绕(0,0)(0,0)点的旋转点的旋转G G0 0(s)(s)平面围绕平面围绕(-1,j0)(-1,j0)点的旋转点的旋转16)(jF)(jGkF(s)与与 的关系图。的关系图。)(sGk17 对于一个控制系统，若其特征根处于对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 ，其零点恰，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清好是闭环系统的
14、极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在的的零点在s右半平右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。零，则闭环系统是稳定的。)(1)(sGsFk 我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的，辅助方程也稳定性，因此开环频率特性是已知的，辅助方程也已知。设想：已知。设想：18 如果有一个如果有一个s s平面的封闭曲线能包围整个平面的封闭曲线能包围整个s s右半平右半平面，则根据柯西幅角原理知：该封闭曲线在面，则根据柯西幅角原理知：该
15、封闭曲线在F F(s s)平面平面上的映射包围原点的次数应为：上的映射包围原点的次数应为：N N=F F(s s)的右半零点数的右半零点数F F(s s)的右半极点数的右半极点数 =闭环系统右半极点数开环系统右半极点数闭环系统右半极点数开环系统右半极点数 当已知开环右半极点数时，便可由当已知开环右半极点数时，便可由N N判断闭判断闭环右极点数。环右极点数。19完成这个设想需要解决两个问题：完成这个设想需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？满足柯西幅角条件的？2、如何确定相应的映射、如
16、何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数对原点的包围次数N。并将它和开。并将它和开环频率特性环频率特性 相联系？相联系？)(jGH20Nyquist围线围线 GHGH在虚轴上无开环极点在虚轴上无开环极点S S右平面右平面NyquistNyquist围线围线 可以分成可以分成3 3部分：部分：1 1、正半虚轴：、正半虚轴：映射像为映射像为GH(j)GH(j)，从变到从变到,正好是开环频率特性曲线；正好是开环频率特性曲线；2 2、负半虚轴：、负半虚轴：映射像为映射像为GH(j)GH(j)，从从-变到变到,正好是开环频率特性曲线关于正好是开环频率特性曲线关于实轴的对称曲线；实轴的对称曲线；0sj j
17、 FjGjHjFjGjHj()1()()()1()()0:js0:js（1）（2）213 3、大半圆弧：、大半圆弧：FjGjHjFjGjHj()1()()()1()()22:jeRs)()(lim212100)1lim()()()()()(nmjnmjmnReRsnmemneRKpspspszszszsKsGjR常数22 F F的绘制的绘制:GH(jGH(j)和和GH(-jGH(-j)关于实轴对称关于实轴对称=-=-=+=+=0=0（3 3）（1 1）（2 2）sL(s)=GH(s)(1)极坐标图(2)原点(3)sj:0 GH jjsres 0,0sj:0 GHj 结论：结论：从从+变到变到-
18、,-,映射像收缩为一个点，映射像收缩为一个点，N=MN=M时，为等于开环增益的实轴上的点，其他情况下均时，为等于开环增益的实轴上的点，其他情况下均为原点。为原点。23 GHGH在虚轴上有开环极点在虚轴上有开环极点 如果如果GHGH在虚轴上有在虚轴上有开环极点，通常用半径开环极点，通常用半径为无穷小的小半圆弧，为无穷小的小半圆弧，避开该点。该小半圆弧避开该点。该小半圆弧的映射像为的映射像为GHGH平面上的平面上的顺时针旋转的无穷大圆顺时针旋转的无穷大圆弧，旋转弧度由系统型弧，旋转弧度由系统型数决定，为数决定，为v v个个180180度。度。的极点s平面24S平面平面j0:0:半径为无限小的右半圆
19、：半径为无限小的右半圆：22:lim0jesjjesijeeKsssKsGj)1lim()1()1()(0lim0025(b)对于对于型系统：将奈氏路径中的点型系统：将奈氏路径中的点 代入代入 中得：中得：0,ReRsj)(jGk2200)(lim)(limjjRkseeRksG所以这一段的映射为：半径为所以这一段的映射为：半径为 ，角度从角度从 变到变到 的整个圆（顺时的整个圆（顺时针）。针）。00lim)(limjjRkseeRksG所以这一段的映射为：半径为所以这一段的映射为：半径为 ，角，角度从度从 变到变到 的右半圆（顺时针）。的右半圆（顺时针）。2222 0 0 0 0(a)对于对
20、于型系统：将奈氏路径中的点型系统：将奈氏路径中的点 代入代入 中得：中得：0,ReRsj)(jGk26奈魁斯特路径的第奈魁斯特路径的第部分的映射是部分的映射是 曲线向右移曲线向右移1；第；第部部分的映射对应分的映射对应 ，即，即F(s)=1;第第部分的映射是第部分的映射是第部分映部分映射的关于实轴的对称。射的关于实轴的对称。)(jGk0)(sGk由由 可求得可求得 ，而，而 是开环频率特性。一般在是开环频率特性。一般在 中，分母阶数比分子阶数高，所以当中，分母阶数比分子阶数高，所以当 时，时，即即F(s)=1。（对应于映射曲线第。（对应于映射曲线第部分）部分）)(jGk)(jF)(jGkjes
21、0)(sGk)(jGk辅助方程与开环频率特性的关系：我们所构造的辅助方程辅助方程与开环频率特性的关系：我们所构造的辅助方程为为 ，为开环频率特性。因此，为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的：有以下三点是明显的：)(1)(sGsFk)(sGk27F(s)对原点的包围，相当于对原点的包围，相当于 对对(-1,j0)的包围；因此映射曲的包围；因此映射曲线线F(s)对原点的包围次数对原点的包围次数N与与 对对(-1,j0)点的包围的次数一样。点的包围的次数一样。)(sGk)(sGkF(s)的极点就是的极点就是 的极点，因此的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就在右半平面的极点数就是是 在右半平面
22、的极点数。在右半平面的极点数。)(sGk)(sGk 根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈魁斯特路径，则可将柯西幅角定理用于闭曲线取奈魁斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的奈奎判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的奈奎斯特稳定判据。斯特稳定判据。28 当当 时，时，系统开环幅相特性曲线系统开环幅相特性曲线 GH 逆时针逆时针包围包围 点的圈数点的圈数N是位于是位于s右半闭平面开环特征根数右半闭平面开环特征根数P与位于与位于s右半闭平面闭环极点右半闭平面闭环极点Z之差之差 。0 0 j j(1 1,0 0)
23、R RP PZ Z当当 ，开环幅相特性曲线，开环幅相特性曲线 GH称作是称作是Nyquist曲线曲线 0 0Z-PN 。奈氏定理奈氏定理29由于 ,该系统不稳定,闭环特征方程在右半 s 平面的根数为 2。且和h越大，系统越稳定；9)开环系统不稳定：P030%，可获得适度的振荡性能。只能通过闭环传递函数求性能指标。分别为原来的幅频和相频特性。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。Z 为零,闭环系统稳定;否则,不稳定。(2)中频段的斜率与动态性能的关系用奈氏判据判断反馈系统稳定性时,一般只需绘制 从 0 到 时的开环幅相曲线,然后按其包围临界点圈数 N*(逆时针方向包围时,N*为正;
24、顺时针方向包围时,N*为负)和开环传递函数在右半 s 平面上的极点数 P,根据公式（对应于映射曲线第部分）L()=0dB(2)尼柯尔斯曲线低频段斜率越负，积分环节数越多。通常用Mr和b（或r）作为闭环系统的频域动态指标。（3）谐振频率r 谐振峰值时频率。G2（j）=-902、围线映射取为特征函数。4、稳定性判据稳定性判据奈氏判据（奈氏判据（2）：）：若开环系统稳定若开环系统稳定(P=0),则闭环则闭环系统稳定的充要条件是：系统开环幅相频率特性曲系统稳定的充要条件是：系统开环幅相频率特性曲线不包围线不包围(-1,j0)点，否则闭环系统不稳定。点，否则闭环系统不稳定。奈氏判据（奈氏判据（1）：）：
25、反馈控制系统稳定的充要条件反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围临界点的圈数是奈氏曲线逆时针包围临界点的圈数 N 等于开环传等于开环传递函数右半递函数右半 s 平面的极点数平面的极点数 P,即即 N=P;否则闭环系否则闭环系统不稳定统不稳定,闭环正实部特征根个数闭环正实部特征根个数 Z 可按下式确定可按下式确定Z ZP PR R Z-PN 30 应用开环频率特性曲线判断闭环稳定性。应用开环频率特性曲线判断闭环稳定性。开环开环 频率特性曲线可以按开环频率特性绘制频率特性曲线可以按开环频率特性绘制,也可以全部也可以全部(或部分或部分)由实验方法绘制由实验方法绘制;便于研究系统参数和结构改变
26、对稳定性的影响便于研究系统参数和结构改变对稳定性的影响;很容易研究包含延迟环节系统的稳定性很容易研究包含延迟环节系统的稳定性;奈氏判据稍加推广还可用来分析某奈氏判据稍加推广还可用来分析某些非线性系统的稳定性。些非线性系统的稳定性。310-1j（a）（b）0-1j0-1j（c）解：解：因开环都是稳定的，因开环都是稳定的，即即P=0P=0,根据奈氏判据：根据奈氏判据：图（图（a a）之奈氏曲线不包围（）之奈氏曲线不包围（-1-1，j0j0）点，即）点，即N=0N=0，故，故Z=P-N=0Z=P-N=0，所以，系统稳定。，所以，系统稳定。图（图（b b）之奈氏曲线恰好穿过（）之奈氏曲线恰好穿过（-1
27、-1，j0j0）点，系统处于临界）点，系统处于临界稳定。稳定。图（图（c c）之奈氏曲线顺时针包围（）之奈氏曲线顺时针包围（-1-1，j0j0）点两圈，即）点两圈，即N=-N=-2 2，故，故Z=P-N=20Z=P-N=20，所以，系统不稳定。，所以，系统不稳定。32试用奈氏判据判断系统稳定性试用奈氏判据判断系统稳定性2 2()1 1G G s ss s 解解:开环频率特性为开环频率特性为2 2()()1 1GjGjj j 开环幅相曲线为图中的下半圆开环幅相曲线为图中的下半圆 ,当当 时时为图中的上半圆为图中的上半圆 ,今今P=1,N=1,故系统稳定。故系统稳定。:0 0 33若开环传递函数若
28、开环传递函数G(s)H(s)包含虚轴上的极点包含虚轴上的极点,则则闭曲线闭曲线 s 应稍作变动应稍作变动,使其不过此极点。例如使其不过此极点。例如G(s)H(s)包含积分环节时包含积分环节时,习惯上以半径习惯上以半径 趋于零的趋于零的半圆在原点右侧绕过这一极点半圆在原点右侧绕过这一极点,小半圆通过小半圆通过G(s)H(s)映射到映射到G(s)H(s)平面的象是半径趋于无穷的圆弧。平面的象是半径趋于无穷的圆弧。34 结论结论 用上述形式的奈氏路径，奈氏判据仍可应用于用上述形式的奈氏路径，奈氏判据仍可应用于、型型系统。但零值极点不包括在右半开环极点的数目中。系统。但零值极点不包括在右半开环极点的数
29、目中。例例1：设设型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。解：解：显然这是显然这是1型系统。先根据奈型系统。先根据奈氏路径画出完整的映射曲线。氏路径画出完整的映射曲线。01 0从图上看出：映射曲线顺时针包从图上看出：映射曲线顺时针包围围(-1,j0)一圈，逆时针包围一圈，逆时针包围(-1,j0)一圈，所以一圈，所以N=1-1=0，而，而 ，故故 ，闭环系统是稳，闭环系统是稳定的。定的。0P0NPZ35例例2:某某型系统的开环频率特性型系统的开环频率特
30、性 如下图所示，且如下图所示，且s右半平面无极右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。1 00解：解：首先画出完整的奈氏曲首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线。如右图：线的映射曲线。如右图：从图上可以看出：映射曲线顺时从图上可以看出：映射曲线顺时针包围针包围(-1,j0)两圈。因两圈。因 ，所，所以以 ，闭环系统是不，闭环系统是不稳定的。稳定的。2NPZ0P36用奈氏判据判断反馈系统稳定性时用奈氏判据判断反馈系统稳定性时,一般只需一般只需绘制绘制 从从 0 到到 时的开环幅相曲线时的开环幅相曲线,然后按其包围然后按其包围临界点圈数临界点圈数 N*(逆时针
31、方向包围时逆时针方向包围时,N*为正为正;顺顺时针方向包围时时针方向包围时,N*为负为负)和开环传递函数在右半和开环传递函数在右半 s 平面上的极点数平面上的极点数 P,根据公式根据公式 确定闭环特征方程正实部根的个数确定闭环特征方程正实部根的个数。如果如果 Z 为零为零,闭环系统稳定闭环系统稳定;否则否则,闭环系统不稳定闭环系统不稳定。*2N-PZ 37如果开环传递函数如果开环传递函数G(s)H(s)包含积分环节包含积分环节,且假且假定个数为定个数为 v,则绘制开环幅相曲线后则绘制开环幅相曲线后,应从与频率应从与频率 0+对应的点开始对应的点开始,逆时针方向补画逆时针方向补画 v/4 个半径
32、无穷大个半径无穷大的圆。的圆。38解解:系统的开环幅相曲线如图示系统的开环幅相曲线如图示.图中图中,虚线是按虚线是按 v=2 从幅相曲线从幅相曲线 为为 0+点逆时针方向补画的半圆点逆时针方向补画的半圆.由幅相曲线看到由幅相曲线看到,曲线顺时针包围曲线顺时针包围(-1,j0)点一圈点一圈,即即N*=-1,而开环传递函数右半而开环传递函数右半 s 平面的极点数为零平面的极点数为零,即即 P=0.因因此此,闭环特征方程正实部根个数闭环特征方程正实部根个数故闭环系统不稳定故闭环系统不稳定。2 2()()(1)(1)K KG sG ssT ssT s 试用奈氏判据判断系统稳定性。试用奈氏判据判断系统稳
33、定性。22N*-PZ39的右侧，随着M值的减小，M圆也越来越小，因此,闭环特征方程正实部根个数L等于F整体向左移动133 1,故此时系统稳定;其中，g为穿越频率。反之，若按顺时针方向包围点(1,j0)一周，则必负穿越一次。为穿越频率）分别为 、，且线性系统的频域分析法之二否则，0，h1，系统不稳定。当 ，开环幅相特性曲线 GH称作是Nyquist曲线L()=0dB ()0dB解 N+N=12=1，不等于P/2（=1）【Z=P2N=4】,所以，系统不稳定。试用对数频率稳定判据判断系统的稳定性。N-F曲线绕其原点逆时针转过的圈数。通过开环幅相特性曲线与等M圆图的交点，可以得到相应频率的M值，即闭环
34、幅频值。若a点沿着单位圆顺时针转过r角，则=180o-90o-tg-1(0.G(jc)H(jc)下述各图所示系统开环都是稳定的，试根下述各图所示系统开环都是稳定的，试根据其开环幅相曲线分析各系统的稳定性。据其开环幅相曲线分析各系统的稳定性。av=1bv=1cv=2dv=3解：解：因为系统开环都是稳定的，即因为系统开环都是稳定的，即 P=0 P=0 根据各系统的所含积分环节的个数，故将其根据各系统的所含积分环节的个数，故将其开环幅相曲线分别补足开环幅相曲线分别补足1/41/4，1/41/4，1/21/2，3/43/4个圆，个圆，如图所示。如图所示。40a a，c c，d d图开环幅相曲线均不包围
35、（图开环幅相曲线均不包围（-1-1，0j0j），），故故N N*=0=0，所以，所以，Z=P-2NZ=P-2N*=0 =0 即它们对应的闭环系统是稳定的。即它们对应的闭环系统是稳定的。b b图开环幅相曲线顺时针包围（图开环幅相曲线顺时针包围（-1-1，0j0j）一圈，）一圈，故故N N*=-1=-1，所以，所以，Z=P-2NZ=P-2N*=20 =20 即对应的闭环系统是不稳定的。即对应的闭环系统是不稳定的。av=1bv=1cv=2dv=341例例518 518 设某系统的开环幅相曲线如下图所示设某系统的开环幅相曲线如下图所示,给出了半封闭曲线给出了半封闭曲线的所有趋势段的所有趋势段 此时，增
36、益此时，增益K=500K=500，S S右半平面的开环极点数右半平面的开环极点数P=0P=0。试讨论。试讨论K K在不同范围内取正值时，系统的闭环稳定性，并指出系统在右在不同范围内取正值时，系统的闭环稳定性，并指出系统在右半平面的闭环极点的个数。半平面的闭环极点的个数。3ImRe0-50-20-0.05=+=+0 0=+=+2142解首先，由开环幅相（极坐标）曲线可以确定解首先，由开环幅相（极坐标）曲线可以确定，NyquistNyquist曲线会有无限大圆弧，且为一个整圆，曲线会有无限大圆弧，且为一个整圆，因此，开环传递函数在原点处有因此，开环传递函数在原点处有2 2重极点（重极点（2 2个个
37、180180度）度），可以记为，可以记为 sGsKsGv02v 0lim()1osG s 记幅相曲线与负实轴的交点的对应频率（称记幅相曲线与负实轴的交点的对应频率（称 为穿越频率）分别为为穿越频率）分别为 、，且，且 （不必求出）（不必求出）。因此有。因此有12332143101012211202022222303032233500150()()50;()500500120()()20;()50050010.05()()0.05;()500G jGjGjG jGjGjG jGjGj 110112122022223303323()()1;10()()1;25()()1;10000KG jGjKK
38、G jGjKKG jGjK 44-1.统“惯性”小，动作迅速，ts也小。线性系统的频域分析法之二时，G(j)H(j)曲线在（1，j0）点以左的负实轴上的正负穿越之和为 P/2 圈。且和h越大，系统越稳定；记幅相曲线与负实轴的交点的对应频率（称例5-19 如下图所示的乃氏曲线中，判别哪些是稳定的，哪些是不稳定的。式中 zi 和 pi 分别为 F(s)的零点和极点。(2)尼柯尔斯曲线即在 G（j）1（即20lg G（j）0）内G（j）对线的正、负穿越次数相等。（1）正、负穿越的概念等M圆图 可以作闭环幅频特性曲线。=-108o-144o幅频最大值与零频幅值之比。L()=0dB 很容易研究包含延迟环
39、节系统的稳定性;G1（j）/j即 N=ZP （或逆时针绕原点N=PZ圈）对于给定，ts与b成反比。(4)带宽频率b闭环传递函数为：，不稳定。2510K32ImRe0=+=+0 0=+=+1K1=10-1K2=25-1-1K3=1000系统稳定时，系统稳定时，K K的取值范围为的取值范围为 和和 。其他情况下，系统在右半平面有其他情况下，系统在右半平面有2 2个闭环极点。个闭环极点。3，稳定。100 K，稳定。100025 K，不稳定。1000K010K2510000K 451 1）绘制极坐标图）绘制极坐标图2 2）补半圈）补半圈 (的极坐标图的极坐标图)3 3）,补半径为无穷大的圆弧补半径为无
40、穷大的圆弧4 4）图形围绕）图形围绕 旋转的圈数旋转的圈数5 5）P=?P=?判断闭环稳定性判断闭环稳定性0:?0)0,1(j利用奈氏判据判别系统稳定性的步骤利用奈氏判据判别系统稳定性的步骤46一种简易的奈氏判据一种简易的奈氏判据 （1 1）正、负穿越的概念）正、负穿越的概念 G(j)H(j)G(j)H(j)曲线对称实轴。应用中只画曲线对称实轴。应用中只画 部分。部分。所谓所谓“穿越穿越”是指是指 轨迹穿过轨迹穿过 段段。正穿越从上而下穿过该段一次（相角增加）正穿越从上而下穿过该段一次（相角增加），用，用 表示。表示。负穿越由下而上穿过该段一次（相角减少）负穿越由下而上穿过该段一次（相角减少）
41、，用，用 表示。表示。N0N),1(47 正穿越正穿越 负穿越负穿越482N1N例：例：49 若G(j)H(j)轨迹起始或终止于(1,j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+1/2次穿越和1/2次穿越。(1.j0)0 0)(jQ)(P-1-1+1+1-1/2-1/2+1/2+1/2+1/2+1/2-1/2-1/250幅相曲线对临界点包围的圈数与正负穿越次数差相对应。调节时间 ts 与c以及有关。（5）剪切率M()在b处的斜率。通过开环幅相特性曲线与等N圆图的交点，可以得到相应频率的N值（或 ），即闭环相频值。利用奈氏判据判别系统稳定性的步骤Mr较高，超调量p也大，且收F(s)零点：闭环
42、系统极点当 ，开环幅相特性曲线 GH称作是Nyquist曲线尼柯尔斯图线由两簇曲线所组成，一簇是对应于闭环频率特性的幅值()为定值时的轨迹(相当于等M圆)；Mr较高，超调量p也大，且收解：因为系统开环都是稳定的，即 P=0解：因为系统开环都是稳定的，即 P=0F(s)零点：闭环系统极点【（2k+1）】g=zpk(,0,-20,-10,2340)F(s)零点：闭环系统极点开环传递函数：2）h4 6dB以上；N=N+N=0统“惯性”小，动作迅速，ts也小。1)()()(1)(21)(121NNN2/112/1NNN例：例：51 如果G(j)H(j)按逆时针方向绕(1,j0)一周，则必正穿越一次。反
43、之，若按顺时针方向包围点(1,j0)一周，则必负穿越一次。这种正负穿越之和即为G(j)H(j)包围的圈数。故奈氏判据又可表述为 闭环系统稳定的充要条件是当 由0变化到 时，G(j)H(j)曲线在（1，j0）点以左的负实轴上的正负穿越之和为 P/2 圈。P为开环传递函数在s右半平面的极点数。此时 Z=P2N*52 若开环传递函数无极点分布在若开环传递函数无极点分布在S S右半平面，即右半平面，即 ，则闭环系统稳定的充要条件应该是，则闭环系统稳定的充要条件应该是N N*=0=0。注意这里对应的注意这里对应的变化范围是变化范围是 。00P53 例例:某系统某系统G(j)H(j)G(j)H(j)轨迹如
44、下，已知有轨迹如下，已知有2 2个开个开环极点分布在环极点分布在s s的右半平面，试判别系统的稳定性的右半平面，试判别系统的稳定性.2P解：解：系统有系统有2 2个开环极点分布在个开环极点分布在s s的右半平面（的右半平面（P=2P=2），），54 解续解续G(j)H(j)轨迹在点轨迹在点(1,j0)以左的负实轴有以左的负实轴有2次正穿越，次正穿越，1次次负穿越，负穿越，因为因为N*=,求得求得Z=P2N*=22=0 所以系统是稳定系统。所以系统是稳定系统。112NN55 F包围原点包围原点(0,0)的周数的周数N=P-Z5)Nyquist围线围线 s：包围整个右半平面包围整个右半平面 F包围
45、原点包围原点(0,0)的周数的周数n=p-z4）围线映射：）围线映射：若若 s包围包围F(s)的的z个零点和个零点和p个极点个极点s平面右半平面没有闭环系平面右半平面没有闭环系统极点，即统极点，即Z=03)闭环稳定：闭环稳定：Z=闭环系统闭环系统s右半平面极点数右半平面极点数P=开环系统开环系统s右半平面极点数右半平面极点数2)考虑考虑s右半平面右半平面F(s)的零极的零极点情况点情况F(s)零点：闭环系统极点零点：闭环系统极点F(s)极点：开环系统极点极点：开环系统极点1)F(s)=1+L(s)=1+GH(s)小结：小结：56N=P-Z=P;L逆时针包围逆时针包围(-1,j0)点点P周；周；
46、9)开环系统不稳定：开环系统不稳定：P0 要求闭环稳定：要求闭环稳定：Z=0N=P-Z=0;L不包围不包围(-1,j0)8)开环系统稳定：开环系统稳定：P=0 要求闭环稳定：要求闭环稳定：Z=0 L包围包围(-1,j0)的周数的周数N=P-Z7)Nyquist围线围线 s：包围整个右半平面包围整个右半平面 L等于等于 F整体向左移动整体向左移动1 F(0,0)点点=L(-1,0)点点6)F(s)=1+L(s)=1+GH(s)L(s)=F(s)-1 F L(1,0)5755 频率特性与系统性能的关系3）在c附近Bode图的斜率控制在-20 10)当s在Nyqusit围线上取值时，L图可以计算绘制
47、出来，正好依托开环极坐标图。F包围原点(0,0)的周数n=p-z通过开环幅相特性曲线与等M圆图的交点，可以得到相应频率的M值，即闭环幅频值。当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。（1）正、负穿越的概念如果系统稳定，()再负多少度系统就不稳定了。L(s)=F(s)-1即在 G（j）1（即20lg G（j）0）内G（j）对线的正、负穿越次数相等。解续G(j)H(j)轨迹在点(1,j0)以左的负实轴有2次正穿越，1次负穿越，变到,正好是开环频率特性曲线关于若出现Mr2，则与此对应的p 可高达40%以上。其定义的含义：如果系统对频率为截止频率的信号的相角滞后再增大度，则系统处于临界稳定状态
48、。Mo=M()=M(0)完成这个设想需要解决两个问题：穿越频率c附近的区段为中频段。(b)对于型系统：将奈氏路径中的点1、系统参数变化对稳定性影响L(s)=F(s)-1要求闭环稳定：Z=011)GH(j)图和图和GH(-j)图关于实图关于实轴对称轴对称(1)GH(j)极坐标图极坐标图(2)(0,0)(3)GH(-j)图图10)当当s在在Nyqusit围围线上取值时，线上取值时，L图图可以计算绘制出来可以计算绘制出来，正好依托开环极，正好依托开环极坐标图。坐标图。=-=-=+=+=0=0（3 3）（1 1）（2 2）GH(jGH(j)-GH(-jGH(-j)58波德图与极坐标图的对应关系波德图与
49、极坐标图的对应关系 Im Re G(j)-1 K 小 A()()稳定稳定A()=1 ()-()=-A()-()=-L()2，则与此对应的p 可高达40%以上。（2）对于非最小相位系统，不能用0，h1两个条件判断闭环系统稳定性。其中 G1（j）和G1（j）4二阶系统开环频率特性与动态性能的关系解:开环频率特性为L等于F整体向左移动1G(jg)H(jg)1)Zi在s外。0b，称为系统带宽。如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角原理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：即在 G（j）1（即20lg G（j）0）内G（j）对线的正、负穿越次数相等。对应 G（j
50、g）=-180时,20lgh1=20lg G（jg）=-(-10)=10故 h1=3.55 频率特性与系统性能的关系幅频特性为1的频率为截止频率。解：因为系统开环都是稳定的，即 P=0 Im Re G(j)-1 K临 临界稳定临界稳定 A()=1()=-20lgK临 0dB 0-180 L()()L()=0dB ()=-60 Im Re G(j)-1 K大 不稳定不稳定A()=1 ()1L()=0dB ()0dB 20lgK大 0dB 0-180 L()()61 Nyquist幅相曲线自上而下幅相曲线自上而下(相角增加相角增加)穿越负实穿越负实轴区间轴区间(-,-1)称为正穿越称为正穿越,用用
