1、第四章第四章 频域图像增强频域图像增强 主要内容主要内容傅里叶变换和频率域的介绍傅里叶变换和频率域的介绍频率域平滑滤波器频率域平滑滤波器频率域锐化滤波器频率域锐化滤波器1背景背景 Background法国数学家傅立叶法国数学家傅立叶(生于生于1768年年)在在1822年年出版的出版的热分析理论热分析理论一书中指出一书中指出:任何周期任何周期函数都可以表达为不同频率的正弦和或余弦函数都可以表达为不同频率的正弦和或余弦和的形式和的形式,即傅立叶级数。即傅立叶级数。20世纪世纪50年代后期年代后期,快速傅立叶变换算法出快速傅立叶变换算法出现现,得到了广泛的应用。得到了广泛的应用。2背景背景 Back
2、ground3背景背景 Background应用泰勒级数，将函数应用泰勒级数，将函数f(x)展开为常数展开为常数项、斜坡函数、二次项函数等：项、斜坡函数、二次项函数等：!2)0()0()0()(2tfxffxf4傅里叶变换和频率域的介绍傅里叶变换和频率域的介绍一维傅立叶变换及其反变换一维傅立叶变换及其反变换二维二维DFT变换及其反变换变换及其反变换二维二维DFT变换性质变换性质5一维傅立叶变换及其反变换一维傅立叶变换及其反变换 连续函数连续函数f(x)的傅立叶变换的傅立叶变换F(u):傅立叶变换傅立叶变换F(u)的反变换的反变换:dxexfuFuxj2)()(dueuFxfuxj2)()(6一
3、维傅立叶变换及其反变换一维傅立叶变换及其反变换离散函数离散函数f(x)(其中其中x，u=0,1,2,M-1)的傅立叶变换的傅立叶变换:10/2)(1)(MxMuxjexfMuF10/2)()(MxMuxjeuFxfF(u)的反变换的反变换的反变换的反变换:计算计算F(u)：1)在指数项中代入在指数项中代入u=0，然后将所有，然后将所有x 值相加值相加2)u=1，复对所有，复对所有x 的相加；的相加；3)对所有对所有M 个个u 重重复此过程，得到完复此过程，得到完整的整的FT。7傅里叶变换的连续性和离散性傅里叶变换的连续性和离散性函数在时（频）域的离散对应于在频（时）域的周期性函数在时（频）域的
4、离散对应于在频（时）域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性8一维离散傅里叶变换一维离散傅里叶变换离散傅里叶变换及其反变换总存在。离散傅里叶变换及其反变换总存在。用欧拉公式得用欧拉公式得sincosjej10/2sin/2)cos(1)(MxMuxjMuxxfMuF 得：得：每个每个F(u)由由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成与对应频率的正弦和余弦乘积和组成；u 值决定了变换的频率成份，因此，值决定了变换的频率成份，因此，F(u)覆盖的域覆盖的域(u值值)称为频率域，其中每一项都被称为称为频率域，其中每一项都被称为FT 的频率的频率分
5、量。与分量。与f(x)的的“时间域时间域”和和“时间成份时间成份”相对应。相对应。9一维离散傅里叶变换一维离散傅里叶变换傅里叶变换将信号分成不同频率成份。傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类似光学中的分色棱镜把白光按波长类似光学中的分色棱镜把白光按波长(频频率率)分成不同颜色，称数学棱镜。分成不同颜色，称数学棱镜。傅里叶变换的成份：直流分量和交流分傅里叶变换的成份：直流分量和交流分量量10一维离散傅里叶变换一维离散傅里叶变换 傅立叶变换在极坐标下表示傅立叶变换在极坐标下表示:)()()(ujeuFuF)()()(22uIuRuF)()(arctan)(uRuIu)()()(22uIuRuP频率
6、谱频率谱相位谱相位谱功率谱功率谱11一维离散傅里叶变换一维离散傅里叶变换f(x)是一门函数，如图所示，它表示为：是一门函数，如图所示，它表示为：)(0 0 0)(XxAxxf求其傅立叶变换求其傅立叶变换F(u)12一维离散傅里叶变换一维离散傅里叶变换解：解：uXjuXjuXjuXjXuxjXuxjuxjeuXuAeeeujAeujAdxAedxexfuF)sin(2 2 )()(0202213一维离散傅里叶变换一维离散傅里叶变换对应的傅立叶谱为：对应的傅立叶谱为：uXuXAXeuXuAuFuXj)sin()sin()(14一维离散傅里叶变换一维离散傅里叶变换简单函数的傅里叶谱简单函数的傅里叶谱
7、M 点离散函数及其傅里叶频点离散函数及其傅里叶频谱谱(M=1024,A=1,K=8)；对应的傅里叶频谱对应的傅里叶频谱 曲线下面积：当曲线下面积：当x 域加倍时，域加倍时，频率谱的高度也加倍；频率谱的高度也加倍；当函数长度加倍时，相同当函数长度加倍时，相同间隔下频谱中零点的数量间隔下频谱中零点的数量也加倍。也加倍。15二维二维DFT傅里叶变换傅里叶变换一个图像尺寸为一个图像尺寸为MN的函数的函数f(x,y)的离散傅立叶变换的离散傅立叶变换F(u,v):F(u,v)的反变换的反变换的反变换的反变换:1010)/(2),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF1010)/(2),(),(
8、MuNvNvyMuxjevuFyxf16二维二维DFT傅里叶变换傅里叶变换 二维离散二维离散傅立叶变换在极坐标下表示傅立叶变换在极坐标下表示:频率谱频率谱相位谱相位谱功率谱功率谱),(),()(vujevuFuF),(),(),(22vuIvuRvuF),(),(arctan),(vuRvuIvu),(),(),(22vuIvuRvuP17二维二维DFT傅里叶变换傅里叶变换(u,v)=(0,0)位置的傅里叶变换值为位置的傅里叶变换值为1010),(),(1)0,0(MxNyyxfyxfMNF即即f(x,y)的均值，原点的均值，原点(0,0)的傅里叶变换是图像的的傅里叶变换是图像的平均灰度。平均
9、灰度。F(0,0)称为频率谱的直流分量称为频率谱的直流分量(系数系数)，其它其它F(u,v)值称为交流分量值称为交流分量(交流系数交流系数)。18二维二维DFT傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质平移特性平移特性)/(20000)/(20000),(),(),(),(NyvMuxjNyvMxujevuFyyxxfvvuuFeyxf当当u0=M/2,v0=N/2时时yxyxjNyvMxujeeyxf)1(),()()/(200 通常在变换前用通常在变换前用(-1)x+y 乘以输入图像函数，实现中心化乘以输入图像函数，实现中心化变换：变换：)2,2()1)(,(NvMuFyxfyx19二维二维DFT傅
10、里叶变换的性质傅里叶变换的性质将将F(u,v)原点变换到原点变换到(M/2,N/2),它是频域它是频域MN 区域中心。区域中心。频率范围指定为频率矩形：频率范围指定为频率矩形：u=0,M-1,v=0,N-1。为了确保移动后的坐标为整数，要求为了确保移动后的坐标为整数，要求M 和和N 为偶数。为偶数。计算过程中，变量计算过程中，变量u 从从1到到M，而，而v 从从1到到N，变换的实际中心变为变换的实际中心变为u=(M/2)+1，v=(N/2)+1。2021离散傅里叶变换是对区间离散傅里叶变换是对区间0,M-1 中的中的u 值表述的，变值表述的，变换结果是关于原点对称的两个半周期，要显示完全的周换
11、结果是关于原点对称的两个半周期，要显示完全的周期，需要将变换的原点移到期，需要将变换的原点移到u=M/2，二维图像中心化亦，二维图像中心化亦是如此是如此22二维二维DFT傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质共轭对称性共轭对称性 如果如果f(x,y)是实函数，其傅里叶变换必然对称：是实函数，其傅里叶变换必然对称：F(u,v)=F*(-u,-v)|F(u,v)|=|F(-u,-v)|傅里叶变换的频率谱是对称的。共轭对称和中心傅里叶变换的频率谱是对称的。共轭对称和中心对称的性质简化了频率域内循环对称滤波器的技术对称的性质简化了频率域内循环对称滤波器的技术条件。条件。23简单二维函数的中心谱简单二维函数的
12、中心谱空间域和频率域抽样点之间的关系如下：空间域和频率域抽样点之间的关系如下：yNvxMu1 124简单二维函数的中心谱简单二维函数的中心谱25二维傅里叶变换的性质二维傅里叶变换的性质周期性周期性 傅里叶级数傅里叶级数(DFS)有周期性有周期性MN，反变换也，反变换也是周期性的。是周期性的。DFT 是其中的一个周期。是其中的一个周期。26二维傅里叶变换的性质二维傅里叶变换的性质分配性分配性 傅里叶变换对加法有分配性，而乘法没有。傅里叶变换对加法有分配性，而乘法没有。傅里叶反变换适用于相同的结论。傅里叶反变换适用于相同的结论。27二维傅里叶变换的性质二维傅里叶变换的性质比例变换性比例变换性 对于
13、比例因子对于比例因子a,b 28二维傅里叶变换的性质二维傅里叶变换的性质旋转性旋转性 引入极坐标引入极坐标f(x,y)旋转角度旋转角度0，F(u,v)将转过相同的角度。将转过相同的角度。类似类似,旋转旋转F(u,v)，f(x,y)也将转过相同的角度。也将转过相同的角度。29二维傅里叶变换的性质二维傅里叶变换的性质微分性质微分性质30二维傅里叶变换的性质二维傅里叶变换的性质拉普拉斯算子拉普拉斯算子线性线性31某些有用的某些有用的FT 变换对变换对32频率域滤波频率域滤波频率域的基本性质频率域的基本性质 每个每个F(u,v)项包含了被指数项修正的项包含了被指数项修正的f(x,y)的所有值：的所有值
14、：1010)/(2),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF直观上将傅里叶变换和图像中的亮度变化联系起来并直观上将傅里叶变换和图像中的亮度变化联系起来并不困难：不困难：直流分量直流分量F(0,0)对应一幅图像的平均灰度；对应一幅图像的平均灰度；低频部分对应图像缓慢变化的分量；低频部分对应图像缓慢变化的分量；高频部分对应图像边缘和灰度级突变的部分高频部分对应图像边缘和灰度级突变的部分33图为一幅集成电路的扫描电图为一幅集成电路的扫描电子显微镜子显微镜(SEM)图像，放大图像，放大将近将近2500倍。注意图中倍。注意图中45的强边缘，和两个的强边缘，和两个因热感应不足而产生的白色因热感
15、应不足而产生的白色氧化突起氧化突起图是上图的傅里叶频谱，沿图是上图的傅里叶频谱，沿着着45方向对应上图边缘方向对应上图边缘突起部分。沿垂直轴偏左部突起部分。沿垂直轴偏左部分有垂直分量，由氧化突起分有垂直分量，由氧化突起的上下黑白边沿形成。的上下黑白边沿形成。34频率域的基本性质频率域的基本性质 频率域的基本性质：频率域的基本性质：频域的中心邻域频域的中心邻域对应图像中慢变化部分，较高的频率开对应图像中慢变化部分，较高的频率开始对应图像中变化较快的部分始对应图像中变化较快的部分（如：物（如：物体的边缘、线条等）。体的边缘、线条等）。35频率域滤波频率域滤波1.用用(-1)x+y乘以输入图像来进行
16、中心变化。乘以输入图像来进行中心变化。2.由由(1)计算图像的计算图像的DFT，即，即F(u,v)；3.用滤波函数用滤波函数H(u,v)乘以乘以F(u,v)。H(u,v)称为滤称为滤波器：抑制某些波器：抑制某些频率，其他频率频率，其他频率不受影响不受影响 频率域中滤波步骤：频率域中滤波步骤：36频率域滤波频率域滤波4.计算计算(3)中结果的反中结果的反DFT。5.得到得到(4)中结果的实部。中结果的实部。6.用用(-1)x+y乘以乘以(5)中的结果。中的结果。37频率域中滤波步骤频率域中滤波步骤输入图像前处理傅里叶变换滤波函数傅里叶反变换后处理增强后的图像前处理、后处理：前处理、后处理：1.中
17、心变换中心变换2.输入图像向其最接近的偶数维转换输入图像向其最接近的偶数维转换3.灰度级标定灰度级标定4.输入向浮点的转换输入向浮点的转换5.输出向输出向8比特整数的转换比特整数的转换38一些基本的滤波器及其性质一些基本的滤波器及其性质陷波滤波器：希望图像的平均值为零陷波滤波器：希望图像的平均值为零设置设置F(0,0)=0，保留其它频率成分不变，保留其它频率成分不变除原点有凹陷外其它均是常量函数除原点有凹陷外其它均是常量函数39频率域滤波频率域滤波陷波滤波器陷波滤波器40一些基本的滤波器及其性质一些基本的滤波器及其性质l低通滤波器：使低频通过，高频衰减低通滤波器：使低频通过，高频衰减低频主要决
18、定图像在平滑区域中总体灰度级的显示低频主要决定图像在平滑区域中总体灰度级的显示比原始图像少一些尖锐的细节部分比原始图像少一些尖锐的细节部分l高通滤波器：使高频通过，低频衰减高通滤波器：使高频通过，低频衰减高频决定图像细节部分，如边缘和噪声高频决定图像细节部分，如边缘和噪声在平滑区域中减少灰度级变化，突出过渡（如边缘）在平滑区域中减少灰度级变化，突出过渡（如边缘）灰度级的细节部分，使图像更加锐化。灰度级的细节部分，使图像更加锐化。41基本的滤波器及其性质基本的滤波器及其性质图像被模糊图像被模糊锐化锐化F(0,0)=0:几乎几乎没有平滑细节没有平滑细节周期对称Lowpass filterHighp
19、ass filter 42基本的滤波器及其性质基本的滤波器及其性质对于高通滤波，对于高通滤波，F(0,0)被滤为被滤为0，图像几乎没有，图像几乎没有平滑的灰度细节，为此，通常在滤波器中加入平滑的灰度细节，为此，通常在滤波器中加入常数，以使常数，以使F(0,0)不被完全消除，改进明显。不被完全消除，改进明显。43空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系空间域和频率域之间最基本的联系是由卷积定理建立的空间域和频率域之间最基本的联系是由卷积定理建立的大小为大小为MN的两个离散函数卷积的定义的两个离散函数卷积的定义:1010),(),(1),(),(MmNnnymxhn
20、mfMNyxhyxf计算过程：计算过程：1.h(m,n)关于原点翻转：关于原点翻转：h(-m,-n)2.通过改变通过改变(x,y)的值的值,相对于一个函数移动另外一个函数相对于一个函数移动另外一个函数;3.对于每一个对于每一个(x,y)的位移值，计算所有的位移值，计算所有m,n 值乘积和；值乘积和；4.(x,y)位移是以整数增加的，当函数不再有重叠部分时停位移是以整数增加的，当函数不再有重叠部分时停止。止。44空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系卷积定理：卷积定理：空间域的乘法对应频域卷积空间域的乘法对应频域卷积45空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系空间域
21、滤波和频率域滤波之间的对应关系 重要性质:),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(yxHyxhyxHyxyxhyxvuHvuFyxhyxf根据冲击函数和卷积定理的性质，可知空间域和频率根据冲击函数和卷积定理的性质，可知空间域和频率域的滤波器组成傅里叶变换对域的滤波器组成傅里叶变换对h(x,y)和和H(u,v)。给出频。给出频率域滤波器率域滤波器H(u,v)，通过反傅里叶变换可以得到空间域，通过反傅里叶变换可以得到空间域相应的滤波器相应的滤波器h(x,y)。46空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系滤波器大小滤波器大小前述的所有函数均具有相同
22、的尺寸前述的所有函数均具有相同的尺寸MN。在。在实际中，指定一个频率域滤波器，进行反变实际中，指定一个频率域滤波器，进行反变换后会得到一个相同尺寸的空间域滤波器。换后会得到一个相同尺寸的空间域滤波器。如果两个域中滤波器尺寸相同，那么通常频如果两个域中滤波器尺寸相同，那么通常频域中进行滤波计算更为有效，更为直观，但域中进行滤波计算更为有效，更为直观，但空域中适用更小尺寸的滤波器，更为有效。空域中适用更小尺寸的滤波器，更为有效。47空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系方法：方法：在频率域指定滤波器；在频率域指定滤波器；做反变换；做反变换；使用结果滤波器作为在空间
23、域构建更小空间使用结果滤波器作为在空间域构建更小空间滤波模板的指导；滤波模板的指导；48基于高斯函数的滤波基于高斯函数的滤波高斯滤波器函数高斯滤波器函数(低通低通):222/)(uAeuH对应的空间域滤波器对应的空间域滤波器22222)(xAexh 为高斯曲线的标准差。为高斯曲线的标准差。49基于高斯函数的滤波基于高斯函数的滤波高斯滤波器的重要特性高斯滤波器的重要特性频域和空域高斯滤波器构成傅里叶变换对，且频域和空域高斯滤波器构成傅里叶变换对，且都是实高斯函数。处理时不用考虑复数，而且高都是实高斯函数。处理时不用考虑复数，而且高斯曲线直观，易于操作。斯曲线直观，易于操作。高斯滤波器傅里叶变换对
24、之间有相互作用：高斯滤波器傅里叶变换对之间有相互作用：当当H(u)有很宽轮廓时有很宽轮廓时(大大值值)，h(x)很窄轮廓，很窄轮廓，反之亦然；反之亦然；当当趋于无穷时，趋于无穷时，H(u)趋于常函数，趋于常函数，h(x)趋趋于冲击函数。于冲击函数。50基于高斯函数的滤波器基于高斯函数的滤波器频域滤波器越窄，滤除频域滤波器越窄，滤除的低频部分越多，图像的低频部分越多，图像越模糊。在空域中意味越模糊。在空域中意味着滤波器越宽，模板就着滤波器越宽，模板就越大越大(阶数越大阶数越大)。51基于高斯函数的滤波器基于高斯函数的滤波器更复杂的滤波器可以通过基本高斯函数构造，例如高斯更复杂的滤波器可以通过基本
25、高斯函数构造，例如高斯高通滤波器高通滤波器2222122/2/)(uuBeAeuH22222212222122)(xxAeAexh相应空间滤波器相应空间滤波器(有正负值，负值不再能转化为正值有正负值，负值不再能转化为正值)52空间域滤波和频域滤波之间的对空间域滤波和频域滤波之间的对应关系应关系一些在空间域直接表述非常困难，甚至一些在空间域直接表述非常困难，甚至是不可能的增强任务，在频率域中变的是不可能的增强任务，在频率域中变的非常简单；非常简单；通过频率域实验选择合适的滤波器，进通过频率域实验选择合适的滤波器，进行反变换获得空间滤波器，实际实施通行反变换获得空间滤波器，实际实施通常都是在空间域
26、进行的。常都是在空间域进行的。53频率域平滑滤波器频率域平滑滤波器理想低通滤波器理想低通滤波器Butterworth低通滤波器低通滤波器高斯低通滤波器高斯低通滤波器54空间域滤波和频域滤波之间的对空间域滤波和频域滤波之间的对应关系应关系关注的焦点在幅度谱关注的焦点在幅度谱|F(u,v)|，因为相位谱，因为相位谱(u,v)是随机的，且没有特征。是随机的，且没有特征。频率域可以看成时一个频率域可以看成时一个”实验室实验室”，可以，可以从中利用频率成分和图像特征之间的关系：从中利用频率成分和图像特征之间的关系：低频部分低频部分(接近接近(0,0)区域区域)对应图像缓慢变化、对应图像缓慢变化、或平坦的
27、分量。或平坦的分量。高频部分高频部分(接近接近M/2,N/2)区域区域)对应图像边对应图像边缘、灰度突变或噪声等部分。缘、灰度突变或噪声等部分。55理想低通滤波器理想低通滤波器理想的低通滤波器是截断傅里叶变换中所有理想的低通滤波器是截断傅里叶变换中所有高频部分，这些成份处与原点的距离大于指高频部分，这些成份处与原点的距离大于指定距离定距离D0。理想的理想的低通滤波器的变换函数低通滤波器的变换函数:56理想低通滤波器理想低通滤波器理想低通滤波器理想低通滤波器ILPF变换函数的变换函数的3D 透视图透视图以图像显示的以图像显示的理想滤波器理想滤波器理想滤波器的理想滤波器的径向横截面径向横截面理想低
28、通滤波器陡峭的截止频率可以在计算机上实现，理想低通滤波器陡峭的截止频率可以在计算机上实现，物理上物理上(电子器件电子器件)不可实现！不可实现！57图像的功率图像的功率 通过基于截止频率的函数对通过基于截止频率的函数对LPF 性能比较。性能比较。标示截止频率位置的方法是：标示截止频率位置的方法是：计算截止频率以内计算截止频率以内的图像功率占图像总功率值的图像功率占图像总功率值PT 的百分比。的百分比。58图像的功率图像的功率总功率总功率PT是频域全部点是频域全部点(u,v)的功率谱成份之和的功率谱成份之和其中其中P(u,v)是傅立叶变换功率谱：是傅立叶变换功率谱：通过的功率为原点在频率矩形的中心
29、、半径为通过的功率为原点在频率矩形的中心、半径为r的圆的圆包含包含%的功率，即：的功率，即：59理想低通滤波器理想低通滤波器60理想低通滤波器理想低通滤波器D0=5,=92%消除所有图像细消除所有图像细节，只剩大物体节，只剩大物体的的“斑点斑点”。细节。细节在滤除的在滤除的8%功率功率中中D0=15,=94.6%严重的振铃现严重的振铃现象象D0=30,=96.4%标准低通振铃现标准低通振铃现象象D0=80,=98%D0=230,=99.5%61理想低通滤波器理想低通滤波器-模糊和模糊和振铃特性的解释振铃特性的解释模糊和振铃特性可用卷积定理来解释模糊和振铃特性可用卷积定理来解释,卷积过程卷积过程
30、滤波器输出是卷积过程，在每个脉冲滤波器输出是卷积过程，在每个脉冲位置复制位置复制h(x,y)（乘以（乘以f(x,y)。理。理想滤波器响应想滤波器响应h(x,y)具有大的旁瓣，具有大的旁瓣，其引起了振铃。其引起了振铃。关键是滤波器脉冲响应关键是滤波器脉冲响应h(x,y)的特性：的特性：h(x,y)为为sinc函数函数62理想低通滤波器理想低通滤波器-模糊和模糊和振铃特性的解释振铃特性的解释如如r=5 的的ILPF，空间滤波器单位脉冲响应，空间滤波器单位脉冲响应h(x,y)H(u,v)乘以乘以(-1)u+v 中心化；中心化；反傅里叶变换；反傅里叶变换；IDFT 的实部乘以的实部乘以(-1)x+y
31、得到得到h(x,y).r=5 的频域的频域ILPF 的的H(u,v)h(x,y)中心水平扫描线的中心水平扫描线的灰度级剖面线灰度级剖面线63理想低通滤波器理想低通滤波器-模糊和模糊和振铃特性的解释振铃特性的解释空间域单位脉冲响应空间域单位脉冲响应h(x,y)两个主要特性：两个主要特性：n原点处有一个主要的中心成份，其主要决定原点处有一个主要的中心成份，其主要决定模糊；模糊；n中心成份周围集中、呈周期性的成份，其中心成份周围集中、呈周期性的成份，其主要决定理想滤波器振铃现象。主要决定理想滤波器振铃现象。h(x,y)中同心振铃的半径与中同心振铃的半径与D0成反比；成反比；小的小的D0 在在h(x,
32、y)中产生稍微宽的振铃，并中产生稍微宽的振铃，并且在且在g(x,y)产生模糊；产生模糊；大的大的D0产生更多产生更多(增加数目增加数目)细微的振铃和细微的振铃和较少的模糊。较少的模糊。64理想低通滤波器理想低通滤波器-模糊和模糊和振铃特性的解释振铃特性的解释*原始图像原始图像f(x,y)黑黑色背景下五个明亮色背景下五个明亮的像素组成，的像素组成，明亮明亮的点可以近似为冲激的点可以近似为冲激。结果图像结果图像g(x,y)原始亮点原始亮点通过卷积而发生模糊，振通过卷积而发生模糊，振铃现象在此种情况下非常铃现象在此种情况下非常严重，以至于相互之间的严重，以至于相互之间的干扰而发生畸变干扰而发生畸变6
33、5Butterworth低通滤波器低通滤波器n阶阶Butterworth低通滤波器低通滤波器(BLPF)的传的传递函数定义递函数定义:这里这里,D0是截止频率是截止频率,D(u,v)是是(u,v)点距频率矩形原点的距离点距频率矩形原点的距离,66Butterworth低通滤波器低通滤波器不同于不同于ILPF，BLPF变换函数在带通和被滤除的频变换函数在带通和被滤除的频率之间没有明显的截断，有一个平滑的过渡带。率之间没有明显的截断，有一个平滑的过渡带。对于有平滑对于有平滑(过渡带过渡带)的传递函数的传递函数H(u,v)的滤波器，的滤波器，定义一个截止频率位置定义一个截止频率位置D0，并在，并在D
34、0处使处使H(u,v)幅度幅度降到其最大值的某个百分比。降到其最大值的某个百分比。这里这里决定决定BLPF 滤波器在截止频率滤波器在截止频率D0 处的增益。处的增益。当当=1，D(u,v)=D0 时，时，H(u,v)=0.5(从最大值从最大值1降到降到50%)当当=0.414，D(u,v)=D0 时，时，H(u,v)=0.707 67Butterworth低通滤波器低通滤波器巴特沃思低通巴特沃思低通滤波器传递函滤波器传递函数数H(u,v)的的3D 透视图透视图以图像显示的以图像显示的BLPF 滤波器频域特性滤波器频域特性H(u,v)1到到4阶的阶的BLPF 滤滤波器波器H(u,v)的径向的径向
35、横截面横截面6869Butterworth低通滤波器低通滤波器不同阶数、相同截止频率不同阶数、相同截止频率(都为都为5 个像素个像素)的的BLPF 空间域空间域h(x,y)图像表示和剖面图：图像表示和剖面图：二阶二阶BPLF显示了轻微的振铃和较小的负值，但显示了轻微的振铃和较小的负值，但远没有远没有ILPF明显，是较好的折中选择。明显，是较好的折中选择。70Butterworth滤波器的特性一阶的一阶的Butterworth滤波器没有振铃滤波器没有振铃.二阶的二阶的Butterworth滤波器有很微小的振铃滤波器有很微小的振铃,但阶数增大时振铃便成为一个重要因素但阶数增大时振铃便成为一个重要因
36、素.当阶数当阶数n充分大时充分大时,Butterworth滤波器就变滤波器就变成理想低通滤波器成理想低通滤波器.71高斯低通滤波器高斯低通滤波器 高斯低通滤波器:72高斯低通滤波器高斯低通滤波器当当D(u,v)等于截止频率时，滤波器下降到它等于截止频率时，滤波器下降到它最大值得最大值得0.607处。处。空间高斯滤波器没有振铃现象。空间高斯滤波器没有振铃现象。7374ILPF,BLPF,GLPF滤波效果对比滤波效果对比75ILPF,BLPF,GLPF滤波效果对比滤波效果对比76低通滤波器的应用示例444508像素的低分辨率文像素的低分辨率文本样本，例如扫描、传真、本样本，例如扫描、传真、复印、历
37、史记录等，放大后复印、历史记录等，放大后可以看到形状失真和字符断裂。可以看到形状失真和字符断裂。人眼视觉填充识别这些字人眼视觉填充识别这些字符没有问题，但机器识别符没有问题，但机器识别系统阅读这些断裂字符将系统阅读这些断裂字符将很困难。用很困难。用GLPF(D0=80)滤波模糊后，断开的字符连滤波模糊后，断开的字符连上了，很好地修复了字符。上了，很好地修复了字符。77低通滤波器的应用示例低通滤波器的应用示例印刷出版印刷出版“美容美容”处理，平滑、柔和的外观。处理，平滑、柔和的外观。原始图像原始图像(放大的眼部细纹放大的眼部细纹)用用D0=100的的GLPF滤波的结果滤波的结果(细纹减少了细纹减
38、少了)用用D0=80的的GLPF滤波滤波的结果的结果78低通滤波器的应用示例低通滤波器的应用示例处理卫星和航空图像处理卫星和航空图像(模糊细节模糊细节,保留大的识别特征保留大的识别特征)低通滤波器通过消除比感兴趣特征小的低通滤波器通过消除比感兴趣特征小的特征来简化图像分析特征来简化图像分析79频率域锐化滤波器频率域锐化滤波器由低通滤波可知，衰减傅立叶变换的高由低通滤波可知，衰减傅立叶变换的高频成份将使图像模糊频成份将使图像模糊由于在灰度级的边缘和其它地方的急剧由于在灰度级的边缘和其它地方的急剧变化与高频有关，图像锐化能够在频率变化与高频有关，图像锐化能够在频率域用高通滤波器处理实现，衰减低频部
39、域用高通滤波器处理实现，衰减低频部分不会扰乱傅里叶变换的高频信息。分不会扰乱傅里叶变换的高频信息。80频率域锐化滤波器频率域锐化滤波器高通滤波器的传递函数高通滤波器的传递函数高通滤波器高通滤波器:理想高通滤波器理想高通滤波器IHPF；巴；巴特沃思高通滤波器特沃思高通滤波器BHPF；高斯高通滤波；高斯高通滤波器器GHPF；低通滤波器低通滤波器的传递函数的传递函数81频率域锐化滤波器频率域锐化滤波器理想高通滤波器理想高通滤波器Butterwhorth高通滤波器高通滤波器高斯高通滤波器高斯高通滤波器82频率域锐化滤波器空间域高通滤波器空间域高通滤波器h(x,y)及相应的灰度剖面图及相应的灰度剖面图8
40、3理想高通滤波器理想高通滤波器理想高通滤波器的变换函数理想高通滤波器的变换函数:这里这里,D0是指定的截止频率是指定的截止频率,D(u,v)是是(u,v)点距频点距频率矩形原点的距离率矩形原点的距离,即即84理想高通滤波器理想高通滤波器与低通滤波器相对，与低通滤波器相对，IHPF 将以将以D0 为半为半径的圆周内的所有频率置为径的圆周内的所有频率置为0，而毫不衰，而毫不衰减地通过圆周外的任何频率。减地通过圆周外的任何频率。IHPF 也是物理不可实现的，只能通过计也是物理不可实现的，只能通过计算机实现。算机实现。和和ILPF 一样有振铃现象一样有振铃现象85理想高通滤波器滤波效果(a)D015
41、(b)D030 (c)D080a图振铃现象十分严重，以致产生失真，物体的边界也被加粗了图振铃现象十分严重，以致产生失真，物体的边界也被加粗了(字字母母a)，顶部三个圆的边缘不清晰，微小的物体和线条显现出几乎纯，顶部三个圆的边缘不清晰，微小的物体和线条显现出几乎纯粹的白色。粹的白色。b图情况有所改善，开始看到对微小物体的过滤，对应图情况有所改善，开始看到对微小物体的过滤，对应的空间滤波器比左图小，但是边缘失真仍然很明显的空间滤波器比左图小，但是边缘失真仍然很明显c图的高通滤波图的高通滤波图像边缘更加清晰，失真更小，而且细小的物体也能得到正确地图像边缘更加清晰，失真更小，而且细小的物体也能得到正确
42、地过滤过滤86Butterworth高通滤波器高通滤波器n阶阶Butterworth高通滤波器的传递函数定义高通滤波器的传递函数定义:这里这里,D0是截止频率是截止频率,D(u,v)是是(u,v)点距频率点距频率矩形原点的距离矩形原点的距离,87Butterworth高通滤波器高通滤波器透视图透视图 图像表示图像表示 横截面图横截面图BHPF 比比IHPF 更平滑，相同设置的更平滑，相同设置的BHPF边缘边缘失真比失真比IHPF 小得多。小得多。88(a)D015(b)D030(c)D0802阶阶Butterworth滤波器比理想滤波器的平滑效果更好滤波器比理想滤波器的平滑效果更好89高斯型高
43、通滤波器高斯型高通滤波器截频距原点截频距原点D0 的高斯高通滤波器的传递函数为的高斯高通滤波器的传递函数为90高斯型高通滤波器高斯型高通滤波器H(D(u,v)=0)=0;H(D(u,v)=D0)=1-e-0.5=0.393 GHPF 比前两种滤波器更平滑，即使对微小物体和比前两种滤波器更平滑，即使对微小物体和细线用细线用GHPF 过滤也是较清晰的。高斯低通滤波器的过滤也是较清晰的。高斯低通滤波器的傅里叶反变换也是高斯的，因此没有振铃现象。傅里叶反变换也是高斯的，因此没有振铃现象。91高斯型高通滤波器高斯型高通滤波器GHPF滤波器比滤波器比2阶阶Butterworth滤波器的平滑效果要好滤波器的
44、平滑效果要好92平滑效果：平滑效果：GHPF2阶阶BHPFIHPF三种高通滤波器三种高通滤波器效果比较效果比较93本章总结第第3 章和第章和第4 章构成了图像增强完整的基础内容；章构成了图像增强完整的基础内容；空域及频域滤波技术基于数学和统计理论背景，空域及频域滤波技术基于数学和统计理论背景，并已在各个领域中得到了广泛的应用。并已在各个领域中得到了广泛的应用。图像增强技术是高度主观化的，严格面向实际问图像增强技术是高度主观化的，严格面向实际问题。更像题。更像“艺术艺术”，而非科学。，而非科学。在第在第5 章中将扩展本章的一些数学概念，尽管都章中将扩展本章的一些数学概念，尽管都是以改善图像为目的，与图像增强不同，图像复是以改善图像为目的，与图像增强不同，图像复原基于客观基础，而非图像增强的主观性准则原基于客观基础，而非图像增强的主观性准则94
