1、 1 2016 2017学年度下学期瓦房店市期末考试 高一数学 (理 )试题 试卷满分： 150分 考试时间： 120分钟 一、选择题 (本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 .) 1. 已知全集 ,集合 , ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ,故选 C. 2. 已知 为直线， 为平面， ， ，则与 之间的关系是 ( ) A. 平行 B. 垂直 C. 异面 D. 平行或异面 【答案 】 D 【解析】 直线和平面平行，则直线和平面上的直线可能平行或异面 . 3. 设 的平均数为 ，标准差是 ，则另一组数 的平均数和标准差分
2、别是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据平均数和方差公式可得 ，故选 C. 4. 幂函数 在 上为增函数，则实数 的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或 2 2 【答案】 C 【解析】 因为 是幂函数，所以 可得 或，又当 时 在 上为减函数，所以 不合题意， 时，在 上为增函数 ，合题意，故选 C. 5. 已知向量 ， ，且 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 且 【答案】 D . 实数 的取值范围为 且 ，故选 D. 6. 设 ， ， ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ,因为 ,所以
3、 ,选 C. 7. 我国古代名著九章算术中有这样一段话： “ 今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤 ” 意思 是： “ 现有一根金锤，头部的 1尺，重 4斤；尾部的 1尺，重 2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列 .” 则下列说法 错误 的是 ( ) A. 该金锤中间一尺重 3斤 B. 中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的 3倍 C. 该金锤的重量为 15 斤 D. 该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为 0.5斤 【答案】 B 【解析】 依题意，从头至尾 ， 每尺的重量构成等差数列 ，可得，可知选项 A、 C、 D都正确，而中间三尺的重量和不是头尾两尺重量和的 倍，故选 B.
4、8. 在区间 上随机取一实数 ，则事件 “ ” 发生的概率为 ( ) 3 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 所求概率为 ，故选 A. 9. 在 中，角 的对边分别为 ， 表示 的面积，若， ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由， ,故选 B. 10. 若 表示不超过 的最大整数，则下图的程序框图运行之后输出的结果为 ( ) A. 49850 B. 49900 C. 49800 D. 49950 【答案】 A 【解析 】 由已知可得， 故选 A. 11. 已知 ， ，则 ( ) 4 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由已知可得，故选 D.
5、12. 已知函数 ，若函数 在区间 内没有零点，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 ，又或 或，故选 D. 二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分 ) 13. 从编号为 0， 1， 2， ? ， 79 的 80 件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为 5的一个样本 ，若编号为 42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为 _ 【答案】 10 【解析】 样本间隔为 805=16 ， 42=162+10 ， 该样本中产品的最小编号为 10,故填 10. 14. 与向量 垂直且模长为 的向量为 _ 【答案】 或 【解析】 设所求向量 或 . 15. 如图
6、所示，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某一几何体的三视图，则该几何体的表面积为 _ 5 【答案】 【解析】 该几何体由一个半球和一个圆锥组成，则该几 何体的体积： . 16. 三角形 ABC中， ，且 ，则三角形 ABC面积最大值为_. 【答案】 【解析】,所求最大值为 三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17. 已知 . (1)求 ； (2)求 的值 . 【答案】 (1) (2) 6 试题解析： (1) 由题意可得： ， ， . (2) . 18. 三角形 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a,b,c，已知 (1)求角 B的大小； (2)若 ，求 的最大
7、值 【答案】 (1) (2) 【解析】 试题分析：（ 1）由于是边的齐次式，用正弦定理化角做，得，再统一成角 A,B做。（ 2）由（ 1） 及 写角 B的余弦定理，得 ，由均值不等式可求 的最大值。 试题解析：（ ）由已知及正弦定理，得 ， 化简，得 ， ， （ ）由已知及余弦定理，得 即 ， ，即 ，当且仅当 时，取等号 7 的最大值为 19. 2017年高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此瓦房店市高级中学高三年级数学组特命制了一 套与数学文化有关的专题训练卷 (文、理科试卷满分均为 100分 )，并对整个高三年级的学生进行了测试 .现从这些学生中随机抽取了 50 名学生的成绩，按照成
8、绩为， ， ? ， 分成了 5组，制成了如图所示的频率分布直方图 (假定每名学生的成绩均不低于 50分 ). (1)求频率分布直方图中的 的值，并估计所抽取的 50名学生成绩的平均数、中位数 (同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示 )； (2)若高三年级共有 700名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于 70分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩 不低于 70分的三组学生中抽取 6人，再从这 6人中随机抽取 3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有 1人被抽到的概率 . 【答案】 (1) 74分； 分 (2) (3) 【解析】 试题分析： （ 1）
9、根据个矩形面积和为 可得第 4组的频率为 ，从而可得结果；（ 2） 由（ 1）可知， 50名学生中成绩不低于 70 分的频率为 ， 从而可得成绩不低于 70分的人数； （ 3） 根据分层抽样方法可得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1， 列举出中任抽取 3人的所有可能结果共 20种 ， 其中后两组中没有人被抽到的可能结果只有 1种，由古典概型 概率公式可得结果 . （ 1）由频率分布直方图可得第 4组的频率为 ， 故 . 故可估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数为 （分） . 由于前两组的频率之和为 ，前三组的频率之和为 ，8 故中位数在第 3组中 . 设中位数为分， 则有 ，所以 ， 即所
10、求的中位数为 分 . （ 2）由（ 1）可知， 50名学生中成绩不低于 70 分的频率为 ， 由以上样本的频率，可以估计高三年级 2000名学生中成绩不低于 70 分的人数为. （ 3）由（ 1）可知，后三组中的人数分别为 15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为 3,2,1.记成绩 在 这组的 3名学生分别为 ， ， ，成绩在 这组的 2名学生分别为 ，成绩在 这组的 1名学生为，则从中任抽取 3人的所有可能结果为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 20种 . 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为 ，只有 1种， 故后两组中至少有 1人被抽到的概率为
11、 . 【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及离散型随机变量的分布列，属于难题，利用古典概型概率公式 ,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先 ， ?. ，再 ， ?.依次 ?. ? 这样才能避免多写、漏写现象的发生 . 20. 如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，点 为棱 的中点 . (1)证明： 面 ； (2)证明： ； (3)求三棱锥 的体积 9 【答案】 (1)见解析 (2) 见解析 (3) 【解析】 试题分析： （ 1）取 中点 ，利用中位线性质可证四边形 是平行四边形，得，进一步得出线面平行 面 ；（ 2）由已知条件可证 ，得
12、，可证 ；（ 3）利用立方体等积的转化，可将所求体积转化，可求得体积 试题解析： 证明： 取 中点 ，连接 分别是 的中点 四边形 是平行四边形 又 （ 2） （ 3） 点睛： 本题主要考查 ,线面间垂直的性质与判定 ,三棱锥的体积 ,空间想象能力 ,推理论证能力 .在计算柱 ,锥 ,台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高 .如果给出的几何体不规则 ,需要利用求体积的一些特殊方法 :分割法 ,补体法 ,转化法等 ,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法 ,选择 ,填空题中使用居多 ,要熟练掌握 .本题使用转化法 ,将底和高进行转化 . 21. (12分 )已知等差数列 的前 项和为
13、， ， . (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】 (1) (2) 【解析】 试题分析 ：（ 1）根据等差数列性质可得公差 d=-2，然后由等差通项公式求解即可10 （ 2） 若 ，求数列 的前 项和 则需现要明确该数列由多少项正数项和负数项，而绝对值只对负数项产生影响，可令 0得正数项，然后根据 n的取值讨论借助求和公式求解即可 试题解析： 解：（ 1） ； （ 2）当 且 时， ， 当 且 时， ， 综上， 22. 已知圆 与直线 相切 . (1)求圆 的方程； (2)过点 的直线截圆所得弦长为 ，求直线的方程； (3)设圆 与 轴的负半轴的交点为 ，过点 作两条斜率分别为 的直线交圆 于 两点，且 ，证明：直线 恒过一个定点，并求出该定点坐标 . 【答案】 (1) (2) (3) 证明见解析 ； 恒过定点为 【解析】 试题分析： (1)利用点到直线的距离公式求得圆的半径，结合圆心坐标可得圆的方程为 . (2)利用弦长结合题意求解直线方程即可，注意考虑斜率不存在的情况； (3)联立直线与圆的方程，结合题意整理计算可得直线 定点为 . 试题解析： (1)
