1、 - 1 - 北京市西城八中 2016-2017 学年高一数学下学期期末考试试题（含解析） 考试时间 120 分钟，满分 150 分 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在括号里） 1已知 : 1 2 3 1px? ? ? ? ， : ( 3) 0q x x?，则 p 是 q 的（）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充 要 D既不充分也不必要 【答案】 A 【解析】解： 1 2 3 0x? ? ? ? ，可得 12x? ，设集合 A 为 ? ?|1 2xx? ， 又 ( 3) 0xx?，可得 03x? ，设集
2、合 B 为 ? ?|0 3xx? ， 则 AB ，可得 p 是 q 的充分不必要条件 2下列函数中，在区间 (0, )? 上为增函数的是（） A ln( 2)yx? B 1yx? ? C 12xy?D 1yxx? 【答案】 A 【解析】解： A 项、 ln( 2)yx?在 ( 2, )? ? 上为增函数，符合题目要求 故选 A 3将函数 sin(2 )yx?的图像沿 x 轴向左平移 8 个单位，得到一个偶函数的图像，则 ? 的一个可能取值为（） A 34 B 3 C 4 D 6 【答案】 C 【解析】解： sin(2 )yx?左移 8 个单位，函数变为 s in 2 s in 284y x x
3、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， sin 2 4yx ? ? ?是偶函数，取 x 为 x? ，则 s in 2 s in 244xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 22 ()44x x k k? ? ? ? ? ? ? Z， 2 2k?，取 1k? ， - 2 - 得 4? ，即 ? 一个可能取值为 4 故选 C 4在二项式 52 1xx?的展开式中，含 4x 的项的系数是（） A 10? B 5? C 10 D 5 【答案】 C 【解析】解： 52 1xx?的展开项 2 1 5 5 3 51 5 5C ( ) ( ) ( 1) Ck
4、k k k k kkT x x x? ? ? ? ? ? ? ?，令 3 5 4k ? ，可得 3k? ， 5 5 3 355( 1) C ( 1) C 10kk? ? ? ? 故选 C 5将 4 名学生分到两个班级，每班至少 1 人，不同的方法有（）种 A 25 B 16 C 14 D 12 【答案】 C 【解析】解： 4 名学生中有 2 名学生分在一个班的种数为 24C6? ， 有 3 名学生分在一个班有 3242C A 8?种结果， 6 8 14? 种，共有 14 种结果 故选 C 6右图是求样本 1x ， 2x ， ， 10x 平均数 x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容的（） A
5、 nS S x? B 10nxSS? C S S n? D xSSn? - 3 - n = n + 1n 10n= 1, S =0输入 x1,x2,?输出 S是否开始结束【答案】 A 【解析】解：该程序的作用是求样本 1x ， 2 10xx，平均数 x ， “ 输出 x ” 的前一步是 “ Sx n? ” ， 循环体的功能是累加个样本的值，应为 nS S x? 故选 A 7将正整数 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（） A 221 B 463 C 121 D 263 【答案】 B 【解析】解：将正整数 1 ，
6、2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 随机分成两 组，使得每组至少有一个数，共有分法： 1 2 3777C C C 63? ? ? 种，其中满足两组中各数之和相等的分法如下 4 种， 1 ， 2 ， 4 ， 7 ； 3 ， 5 ， 6 1 ， 3 ， 4 ， 6 ； 2 ， 5 ， 7 1 ， 6 ， 7 ； 2 ， 3 ， 4 ， 5 1 ， 2 ， 5 ,6 ； 3 ， 4 ， 7 两组中各数之和相等的概率 463P? 故选 B - 4 - 8已知集合 ? ?230 1 2 3| 2 2 2A x x a a a a? ? ? ? ? ? ?，其中 ? ?0,1 ( 0,1,2,3)
7、kak?，且 3 0a? ，则 A中所有元素之和是（） A 120 B 112 C 92 D 84 【答案】 C 【解析】解：根据集合 A 的形式，可以把 0a ， 1a ， 2a ， 3a 看做四位二进制数，四位二进制共可以表示 0 至 15 ， 3 0a? ， 可表示 8 至 15 的数字，由等差数列求和可得 8 9 15 92? ? ? 故选 C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在题中横线上） 9在 ABC 中，若 2a? ， 25cos 5A? ， 1cos 4B? ， b? _ 【答案】 532【 解析】解： 25cos 5A? ， 2 4 5 1
8、 5s in 1 c o s 12 5 5 5AA ? ? ? ? ? ?， 1cos 4B? ， 2 1 1 5s in 1 c o s 1 1 6 4BB? ? ? ? ?， 由正弦定理 sin sinabAB? ， sin 1 5 5 5 32sin 4 25aBb A? ? ? ? ? 10在等比数列 ?na 中，若 2420aa? ， 4660aa? ，则 b? _ 【答案】 3? 【解析】解：设等比数列 ?na 中公比为 q ， 2424 6 2 420 ( = 60aaa a q a a? ? ? ? ）， 2 3q? ， 3q? 11已知 a ， b 均为单位向量，它们的夹角为
9、 60? ，那么 |ab?_ 【答案】 3 - 5 - 【解析】解： 2 2 2| | ( ) | | | | 2 c o s ,a b a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 1 2 1 1 2? ? ? ? ? ? 3? 12设函数2,() ,x x afx x x a? ，对任意实数 b ，关于 x 的方程 ( ) 0f x b? 总有实数根，则 a 的取值范围是 _ 【答案】 0,1 【解析】解： 对任意实数 b ，关于 x 的方程 ( ) 0f x b? 总有实数根， 即对任意实数 b 函数 ()fx的图像与直线 yb? 总有交点， 奇函数 ()f
10、x的值域为 R ， 在同一坐标系中画出 yx? 与 2yx? 的图像， 1yx由图可得，当 0,1a? 时，函数 ()fx的值域为 R ， 0,1a? 13若 4 2 2 3 4 51 2 3 3 4 5(1 )x m x a x a x a x a x a x a x? ? ? ? ? ? ?，其中 2 6a? ，则实数 m? _ 1 2 3 4 5a a a a a? ? ? ? ?_ 【答案】 32 ； 116 【解析】解：由题意 4(1 )mx? 的展开式的通项为 14( ) Cr r rrT m x? ? ，令 1r? 得 2 4am? ， 2 6a? ， 64m? ? ，解得 32
11、m? ， 在展开式中令 1x? 得 41 2 3 4 531 2 a a a a a? ? ? ? ? ?， - 6 - 即1 2 3 4 5116 a a a a a? ? ? ? ? 14设 M 为不等式组 40400xyxyy?所表示的平面区域， N 为不等式组04t x tyt? ? 所表示的平 面区域，其中 0,4t? ，在 M 内随机取一点 A ，记点 A 在 N 内的概率为 P （ 1 ）若 1t? ，则 P? _ （ 2 ） P 的最大值是 _ 【答案】 38 ； 12 【解析】解：由题意可得，当 1t? 时，如图， 2 3 34 4 8P? ? ? ， 4yx44 如图，当
12、2(4 )tt? 取得最 大值时， P 最大，最大值为 12 xy4三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15（本小题满分 13 分） 设 ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 4cos 5B? ， 2b? （ 1 ）若 53a? ，求角 A 的度数 （ 2 ）求 ABC 面积的最大值 - 7 - 【答案】（ 1 ） 30? （ 2 ） 3 【解析】（ 1 ） 4cos 5B? ， 2 3sin 1 cos 5BB? ? ?， 由正弦定理 sin sinabAB? ， 5 1 3 1sin sin 3 2
13、5 2aABb? ? ? ? ?， 30A? （ 2 ） 2 2 2 4cos 25a c bB ac?， 228 45a c ac? ? ? ， 222a c ac? ， 8245ac ac? ， 10ac ，当且仅当 10ac? 时，等号成立， 1 sin 32S A B C a c B? ， ABC 的面积的最大值为 3 16（本小题满分 13 分） 已知函数 2( ) (1 3 tan ) cosf x x x? （ 1 ）求函数 ()fx的定义域 及其单调减区间 （ 2 ）求函数 ()fx的值域 【答案】（ 1 ）定义域为 | ,2x x k k? ? ?Z，单调递减区间为 2, 6
14、3k k k? ? ?Z （ 2 ） 13,22? 【解析】解：（ 1 ） 2( ) (1 3 tan ) cosf x x x? 2sin1 3 coscos x xx? 2cos 3 sin cosx x x? 1 3 1cos 2 sin 22 2 2xx? ? ? - 8 - 1sin co s 2 co s sin 26 6 2xx? ? ? 1sin 262x? ? ?， 32 2 2 2 6 2k x k? ? ? 42 2 +2k33kx? 2 63k x k? ，即 ()fx单调递减区间为 2, 63k k k? ? ?Z， tanx 中 2xk? ， k?Z ， ()fx定
15、义域为 | ,2x x k k? ? ?Z （ 2 ） sin 2 1,16 x? ? ?， 13( ) ,22fx ? 17（本小题满分 14 分） 一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有 5 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 13 求： （ 1 ）这名学生在途中遇到 2 次红灯次数的概率 （ 2 ）这名学生在首次停车前经过了 3 个路口的概率 （ 3 ）这名学生至少遇到一次红灯的概率 【答案】（ 1 ） 80243 （ 2 ） 827 （ 3 ） 211243 【解析】解：（ 1 ）设事件 A 为在途中遇到 2 次红灯， 251 1 2 2 2 8
16、0( )= C3 3 3 3 3 2 4 3PA ? ? ? ? ? ? （ 2 ）设首次停车前经过 3 个路口，为事件 B ， 说明前 3 个交通岗都是绿灯， 328()3 27PB ? （ 3 ）设至少遇到一次红灯为事件 C ， 则其互斥事件为全遇到绿灯，设互斥事件为 D ， ( ) 1 ( )P C P D? - 9 - 52 21113 243? ? ? 18（本小题满分 13 分） 一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 （ 1 ）若从袋中每次随机抽取 1 个球，有放回的抽取 2 次 ,求取出的两个球编号之和为 6 的概
17、率 （ 2 ）若从袋中每次随机抽取 2 个球，有放回的抽取 3 次，求恰有 2 次抽到 6 号球的概率 （ 3 ）若一次从袋中随机抽取 3 个球，求球的最大编号为 4 的概率 【答案】（ 1 ） 536 （ 2 ） 29 （ 3 ） 12 【解析】解：（ 1 ）设先后两次从袋中取出球的编号为 m ， n ， 则两次取球的编号的一切可能结果 (m, )n 有 6 6 36? 种， 其中和为 6 的结 果有 (1,5) ， (5,1) ， (2,4) ， (4,2) ， (3,3) ，共 5 种， 则所求概率为 536P? （ 2 ）每次从袋中随机抽取 2 个球，抽到编号为 6 的球的概率 12C 1C3bbP?， 3
