1、121112112144622436979B 交换第i行与第j行记为rirj。1 5 1 1 1 2 1 3 1 9 3 7 3 8 1 1 1 2 1 3 1 9 3 7r2r4 1 5 1 1 3 8 1 1定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。(1)交换矩阵的两行；(2)以数k0乘矩阵的某一行；(3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。例如下页一.矩阵的初等变换第四节 矩阵的初等变换与矩阵的秩 定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。(1)交换矩阵的两行；(2)以数k0乘矩阵的某一行；(3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。用数k乘以第i行记为rik。1 5 1 1 1
2、2 1 3 1 9 3 7 3 8 1 1r24 4 4812 11 51 1 39 7 31 8 1例如下页一.矩阵的初等变换一.矩阵的初等变换 定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。(1)交换矩阵的两行；(2)以数k0乘矩阵的某一行；(3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。第j行的k倍加到第i行记为ri+krj。1 5 1 1 1 2 1 3 1 9 3 7 3 8 1 1r33r1 1 5 1 1 1 2 1 3 1 9 3 7 0 7 2 4例如下页1 1 31一.矩阵的初等变换 定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。(1)交换矩阵的两列；(2)以数k0乘矩阵的某一
3、列；(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一行列上。交换第i列与第j列记为cicj。1 5 1 1 1 2 1 3 1 9 3 7 3 8 1 1c1c3 529 81 3 7 1 1 1 1 3例如下页一.矩阵的初等变换 定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。(1)交换矩阵的两列；(2)以数k0乘矩阵的某一列；(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上。用数k乘以第i列记为cik。1 5 1 1 1 2 1 3 1 9 3 7 3 8 1 1c344 4124 1 51 1 2 3 1 9 7 3 8 1例如下页一.矩阵的初等变换 定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。(1)交换矩
4、阵的两列；(2)以数k0乘矩阵的某一列；(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上。第j列的k倍加到第i列记为ci+kcj。1 5 1 1 1 2 1 3 1 9 3 7 3 8 1 1c3+c1 0 2 4 2 1 51 1 2 3 1 9 7 3 8 1例如下页若矩阵A经过初等行变换后变为B,用AB表示,并称矩阵 A与B是行等价的矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵初等变换AB有限次初等行变换有限次初等列变换rA B行等价，记作 cAB列等价，记作 二、矩阵之间的等价关系二、矩阵之间的等价关系AB有限次初等变换AB矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性 ；对称
5、性 若 ，则 ；传递性 若 ，则 AAAB,AB BCBAAC10备注备注 带有运算符的矩阵运算，用带有运算符的矩阵运算，用“=”例如：例如：矩阵加法矩阵加法数乘矩阵、矩阵乘法数乘矩阵、矩阵乘法矩阵的转置矩阵的转置 T（上标）（上标）方阵的行列式方阵的行列式|不带运算符的矩阵运算，用不带运算符的矩阵运算，用“”例如：例如：初等行变换初等行变换初等列变换初等列变换三、用初等变换将矩阵化为阶梯形和标准阶梯形矩阵（1）阶梯形矩阵定义：适合下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵零行（元素全为0的行）位于矩阵的下方 所有非零行（元素不全为0的行）的首元，它的“列标”随着“行标”的增大而严格增大。下页41121
6、4011100001300000B 行阶梯形矩阵：1.可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2.每个台阶只有一行；3.阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.例0000100000207531A0000104003207531BA为阶梯形矩阵，B不是阶梯形矩阵510104011030001300000B 411214011100001300000B 行阶梯形矩阵：1.可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2.每个台阶只有一行；3.阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为1;5.这些非零元所在的列的其它元素都为零.12rr 23rr（2）行简化阶梯形矩阵定义：
7、适合下列两个条件的阶梯形矩阵称为行简化阶梯形矩阵每个非零行的首元为1首元所在的“列”除首元以外，其余元素均为零。例0000100000100501A为行简化阶梯形矩阵定理2：任何一个矩阵A一系列初等行变换阶梯形矩阵B（不唯一）一系列初等行变换行简化阶梯形矩阵C（唯一）下页首页r22r1r3+3r1A 1 23 0 1 2 1 05 1 0 1 0 1 2 0 2 2r32r1 1 0 1 0 1 2 0 0 2r30.5 1 0 1 0 1 2 0 0 1r1r3 1 0 0 0 1 0 0 0 1r2+2r3例1用初等变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形例2用初等行变换把矩阵化为阶梯形和行简化
8、阶梯形164221311101111A解：164221311101111A一系列初等行变换000001420001111=B为阶梯形矩阵（不唯一）一系列初等行变换00000212100211011=C为行简化阶梯形矩阵（唯一）解：1 1 3 102141141 0 0 0 5A 0 2 0 2 0 1 0 1 0 4 5 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 5 4 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 5 4 0 0 0 0 1 0 0 1 例3将矩阵 1 1 3 102141141 0 0 0 5A化为（1）阶梯形 （2）行简化阶梯形=B为阶梯形矩阵 B 1 0 0
9、 1 0 1 0 1 0 0 1 4/5 0 0 0 0=C为行简化阶梯形矩阵 下页510104011030001300000B 行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为1;5.这些非零元所在的列的其它元素都为零.10000010000010000000F 标准形矩阵：6.左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.34cc412ccc+5123433cccc+（3）标准形矩阵行阶梯形矩阵rm nOEFOO 标准形矩阵由m、n、r三个参数完全确定，其中 r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.行最简形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系 任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换 有限次初等
10、列变换 有限次初等变换 结论有限次初等行变换 四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：定义2 对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有下列三种：I(i,j)、I(i(k)、I(i,j(k)。I(2,4)例如，下面是几个4阶初等矩阵：1000010000100001I 0001100000100100r2r4I(2,4)1000010000100001I 0001100000100100c2c4下页四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：定义2 对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有下列三种：I(i,j)、I(i(k)、I
11、(i,j(k)。I(3(4)例如，下面是几个4阶初等矩阵：1000010000100001I 0040100001000001 r34I(3(4)1000010000100001I 0040100010000001 c34下页四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：定义2 对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有下列三种：I(i,j)、I(i(k)、I(i,j(k)。I(2,4(k)例如，下面是几个4阶初等矩阵：1000010000100001I 010k100000100001r2+kr4I(2,4(k)1000010000100001I 1000100010000k01c
12、4+kc2下页容易验证：初等矩阵的可逆性：首页I(i,j(k)1I(i,j(k)。I(i(k)1I(i(k1)，I(i,j)1I(i,j)，这是因为 I(i,j)I(i,j)I，I(i(k1)I(i(k)I，I(i,j(k)I(i,j(k)I。（1）|I(i,j)|-1，（2）|I(i(k)|k，（3）|I(i,j(k)|1，因此初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵：。四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：1 1 2 定理1 设A是一个mn矩阵。对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。例如，设30 1
13、1 1 201 1A ，有I(1,2)A 30 11 1 201 101010000101 130 1与交换A的第一行与第二行所得结果相同。下页五、初等变换与矩阵乘法的关系110211103A110103211r1r2=B =B 0110101000011 1 2 定理1 设A是一个mn矩阵。对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。例如，设30 11 1 201 1A ，有I(1,2)A 30 11 1 201 101010000101 130 1与交换A的第一列与第二列所得结果相同。AI(1,2)30 11
14、 1 201 1121310，下页五、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：=B 3 2 3定理1 设A是一个mn矩阵。对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。I(1,3(2)A 30 11 1 201 110201000101 11 1 2请与对矩阵A进行行变换结果相对照。例如，设30 11 1 201 1A ，有110211103A110211323=B =B 下页r1+2r33 101020100013 2 3定理1 设A是一个mn矩阵。对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一
15、次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。I(1,3(2)A 30 11 1 201 110201000101 11 1 2A I(1,3(2)=30 11 1 201 1741011。请与对矩阵A进行列变换结果相对照。例如，设30 11 1 201 1A ，有下页=B 定理1设A是一个 mn 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.口诀：左行右列.六、用初等行变换求逆矩阵六、用初等行变换求逆矩阵定理2：任何一个矩阵A一系列初等行变换阶梯形矩阵B（不唯一）一系列初等
16、行变换行简化阶梯形矩阵C（唯一）定理3 任意一个矩阵Amn(aij)mn经过若干次初等变换，可以化为下面形式的矩阵D：D 。Or(nr)O(mr)(nr)O(mr)r Ir 矩阵D称为矩阵A的标准型。下页例4用初等行变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形164221311101111A解：164221311101111A一系列初等行变换000001420001111一系列初等行变换00000212100211011=C为行简化阶梯形矩阵（唯一）一系列初等列变换000000001000001六六、用初等行变换求逆矩阵、用初等行变换求逆矩阵 定理3 任意一个矩阵Amn(a ij)mn经过若干次初等变换
17、，可以化为下面形式的矩阵D：定理4 如果A为n阶可逆矩阵，则A的标准型为DI n。D 。Or(nr)O(mr)(nr)O(mr)r Ir 矩阵D称为矩阵A的标准型。证明：因为矩阵A经过若干次初等变换，可以化为标准型矩阵D，所以存在初等矩阵P1，Ps，Q1，Qt，使 P1Ps A Q1Qt D，因此|P1|Ps|A|Q1|Qt|D|，又因为P1，Ps，A,Q1，Qt 都可逆，它们的行列式都不等于零，所以|D|0，从而只有DI n。下页查看例题 定理5 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积。证明：充分性是显然的，只需证必要性。若A可逆，则经若干次初等变换可化为I，也就是存在
18、初等矩阵P1，Ps，Q1，Qt，使即A可以表示为一些初等矩阵的乘积。Ps1P11Qt1 Q11，Ps1P11IQt1 Q11于是 A P1Ps AQ1 QtI，下页 如果A可逆，则A1也可逆，所以存在初等矩阵 P1，P2，Ps，使 A1P1P2 Ps，那么有 A1A P1P2 Ps A，即 I P1P2 Ps A，又 A1 P1P2 Ps I，所以对A的行施以若干次初等变换化为I，对I的行施以同样的初等变换化为A1，若矩阵A可逆，则矩阵(A|I)经初等行变换可化为(I|A1)。定理5 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积。求逆矩阵的初等行变换法：注意：只有A能化为I时，
19、A才可逆。下页即(A|I)(I|A1)初等行变换A 的逆矩阵。例5求矩阵1230 121051230 1210510 00 1000 1解：1 0 1 1 0 0 0 1 2 2 1 0 0 2 2 3 0 1r22r1r3+3r1 1 0 1 1 0 0 0 1 2 2 1 0 0 0 2 7 2 1r32r2 1 0 0 2.5 10.5 0 1 0 5 1 1 0 0 2 7 2 1r2+r3r10.5r3 1 0 0 2.5 10.5 0 1 0 5 1 1 0 0 1 3.5 1 0.5，2.5 5 3.5 1110.5 1 0.5A1 。(A|I)r30.5若矩阵A可逆，则矩阵(A
20、|I)经初等行变换可化为(I|A1)。下页.,343122321 1 AA求求设设 解例6 103620012520001321(100343010122001321EA122rr 133rr 21rr+23rr 11110001252001120121rr+23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r 若矩阵A可逆，则矩阵(A|I)经初等行变换可化为(I|A1)。注意：（1）(A|I)(I|A1)只能进行初等行变换（2）只有
21、A能化为I时，A才可逆。若A化为有一行的元素全为0，则 A不可逆。(3)同样的道理也可对A能进行初等列变换求A1。方法为：1AIIA初等列变换例7：已知1023111021AA求下页39.1BA 矩阵矩阵的方法，还可用于求的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵利用初等行变换求逆阵E)()(11BAEBAA )(BABA1 即初等行变换六、用初等变换解矩阵方程六、用初等变换解矩阵方程例6：设AXB，如A可逆。则XA 1 B A可逆，则A1也可逆，所以存在初等矩阵 P1，P2，Ps，使 A1P1P2 Ps，A1A P1P2 Ps A，即 I P1P2 Ps A，又 XA 1 B XA 1 B P1
22、P2 Ps B，所以对A的行施以若干次初等变换化为I，对B的行施以同样的初等变换化为XA 1 B，若矩阵A可逆，则矩阵(A|B)经初等行变换可化为(I|A1 B)。结束即(A|B)(I|A1 B)初等行变换例7.341352,343122321 ,BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解.1BAXA 可逆，则可逆，则若若 343431312252321)(BA 解矩阵方程 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr+23rr 312rr 325rr ，311003201023001.313223 X）（22
23、 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr 例8：解矩阵方程85451614X求X 解8545,1614BA令BAX 则 解法有多种 （1）先求1ABAX1再求 （2）)|)|(1BAXIBA（一系列初等行变换例9解线性方程组+243022132321321321xxxxxxxxx七、矩阵的秩七、矩阵的秩 定义3 设A是mn矩阵，从A中任取k行k列(kmin(m,n)，位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。1.k 阶子式：例如，已知矩阵242110352231A。选定第1、3两行及第2、4两列，1032得2
24、阶子式 。下页 定义3 设A是mn矩阵，从A中任取k行k列(kmin(m,n)，位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。1 k 阶子式：例如，已知矩阵242110352231A。选定第1、2、3行及第1、3、4列，得3阶子式 。242231352下页五、矩阵的秩注意：（1）A中每个元aij素都是A的子式；),min1)2(nmkkCCAknkmnm阶子式（个中共有（3）如果A中所有的r阶子式都等于零，则A中的所有r+1阶子式也都等于零 定义4 设A为mn矩阵，如果A中不为零的子式最高阶数为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为
25、零，则称r为矩阵A的秩，记作秩(A)r或r(A)r。当AO时，规定r(A)0。2、矩阵的秩：下页矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数 显然，n若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不等于零，则 R(A)s；若矩阵 A 中所有 t 阶子式等于零，则 R(A)t n若 A 为 n 阶矩阵，则 A 的 n 阶子式只有一个，即|A|当|A|0 时，R(A)=n;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵当|A|=0 时，R(A)n;不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵n若 A 为 mn 矩阵，则 0R(A)min(m,n)nR(AT)=R(A)例如，所以r(A)=3。定义4设A为mn矩阵，如果A中不为零的
26、子式最高阶数为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作秩(A)r或r(A)r。当AO时，规定r(A)0。2、矩阵的秩：100210010301已知A ，B ，100210r(B)=2；r(C)=3。C ，10000111010021030110，因为 又如下页例 求矩阵的秩651112105321A解：1021有二阶子式而所有三阶子式全为零此矩阵的秩为r(A)=2例2：求矩阵 A 和 B 的秩，其中123235471A21032031250004300000B 解：在 A 中，2 阶子式 12023 A 的 3 阶子式只有一个，即|A|，而且|A|=0，因此
27、 R(A)=2 例2：求矩阵 A 和 B 的秩，其中123235471A解（续）：B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，因此其 4 阶子式全为零以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式 213032240004，因此 R(B)=3 还存在其它3 阶非零子式吗？21032031250004300000B 例2：求矩阵 A 和 B 的秩，其中123235471A解（续）：B 还有其它 3 阶非零子式，例如203012800421203518003 2020156003 结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数21032031250004300000B 3。矩阵秩的计算定理6 矩阵经初等变
28、换后，其秩不变。（1）初等变换与秩的关系即若一个矩阵A一系列初等变换B,则r(A)=r(B)（2）.阶梯形矩阵的秩0000100000207531A例为阶梯形0100020731存在 A的秩为3，即r(A)=3结论：阶梯形矩阵的秩=它的非零行个数提问：一个阶梯形矩阵A的秩与它的非零行有什么关系？下页3 矩阵秩的计算定理6 矩阵经初等变换后，其秩不变。（1）初等变换与秩的关系即若一个矩阵A一系列初等变换B,则r(A)=r(B)（2）.阶梯形矩阵的秩结论：阶梯形矩阵的秩=它的非零行个数求矩阵秩的步骤：（3）初等变换法求秩 A一系列初等变换阶梯形矩阵B（不唯一）r(A)r(B)=B的非零行个数3、矩
29、阵秩的计算、矩阵秩的计算 定理6 矩阵经初等变换后，其秩不变。解：=B，r(B)B的非零行个数=3。1 1 3 102141141 0 0 0 5A 0 2 0 2 0 1 0 1 0 4 5 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 5 4 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 5 4 0 0 0 0 1 0 0 1 例3求矩阵 的秩。1 1 3 102141141 0 0 0 5A r(A)=r(B)=3下页 1 2 3 1312423151 2 1 3A 定理6 矩阵经初等变换后，其秩不变。例4求矩阵 的秩。1 2 3 1312423151 2 1 3A 解：0 7
30、4 7 0 7 4 7 0 7 4 7 1 3 1 2 0 7 4 7 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 1 2，因为最后的阶梯形矩阵有两个非零行，所以r(A)2。下页例5：已知3571111231kkA若r(A)2，求的k值解：3571111231kkA+kkkk33401240231+kkkkk221001240231r(A)2，1k=22k=0k=1下页例6设矩阵01422502A解：r(A)=22110460235230411B求r(A)、r(B)、r(AB)、r(AT)01422502A26402502例6设矩阵01422502A解：r(AT)=2211046023523041
31、1B求r(A)、r(B)、r(AB)、r(AT)02154022TA4060402200004022注意：r(AT)=r(A)例6设矩阵01422502A解：r(B)=32110460235230411B求r(A)、r(AT)、r(B)、r(AB)2110460235230411B0000103200317100411例6设矩阵01422502A解：r(AB)=22110460235230411B求r(A)、r(B)、r(AB)、r(AT)AB5646180242048861016242048注意：r(AB)minr(A)，r(B)矩阵的秩的性质 若 A 为 mn 矩阵，则 0R(A)min(
32、m,n)R(AT)=R(A)若 A B，则 R(A)=R(B)若 P、Q 可逆，则 R(PAQ)=R(B)maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)R(B)特别地，当 B=b 为非零列向量时，有R(A)R(A,b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B)R(AB)minR(A),R(B)若 Amn Bnl=O，则 R(A)R(B)n 4.矩阵的秩和矩阵可逆的关系：n阶矩阵A为可逆A为满秩矩阵r(A)n关于矩阵A为可逆有结论：n阶矩阵A为可逆存在n阶矩阵B，使得 ABBAI存在n阶矩阵B，使得ABI或BA I|A|0且 A*，1|A|A1A为非奇异A为满秩矩阵r(A)n(A|I)(I|A 1)下页例6：设A为n阶非奇异矩阵，B为n m矩阵。试证r(A B)r(B)证明：A为n阶非奇异矩阵所以存在初等矩阵P1，P2，Ps，使 A P1P2 Ps，r(A B)r(B)那么有 A B P1P2 Ps B，即A B是B经过s次初等变换后得到的结束
