1、1 高二年级第二学期开学考试 数学试题 (理科 ) 时间 ： 120分钟 满分： 150分 一、选择题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1 下列命题中正确的是 （ ） A若命题 为真命题，命题 为假命题，则命题 “ ” 为真命题 B命题 “ 若 0xy? ，则 0x? ” 的否命题为： “ 若 0xy? ，则 0x? ” C “ 21sin ? ” 是 “ ” 的充分不必要条件 D命题 “ ” 的否定是 “ ” 2.在极坐标系中 ， 过点 ? ?2， 3 且与极轴平行的直线的方程是 ( ) A cos 3 B. sin 3 C 3
2、cos D 3sin 3 下面为一个求 20个数的平均数的程序 ， 在横线上应填充的语句为 ( ) (A)i 20 (B)i 20 (C)i 20 (D)i 20 4.将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为 和 ，则方 有实数解的概率是（ ） A. B. C. D. 5直线? x 1 2t，y 2 t (t为参数 )被圆 x2 y2 9截得的弦长为 ( ) A.125 B.125 5 C.95 5 D.95 10 6.在矩形 ABCD中 ， AB 4， AD 3， 若向该矩形内随机投一点 P， 那么使得 ABP与 ADP的面积都不小于 2的概率为 ( ) (A)14 (B)13 (C)
3、47 (D)49 7.已知双曲线 C ： 221xyab?（ 0a? ， 0b? ）的左顶点为 A ，点 150,3Bb?.若线段 AB 的垂直平分线过右焦点 F ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A. 2 B. 22 C. 3 D. 23 8.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1与平面 BB1D1D所成的角的正弦值为 ( ) A.? B.? C.? D.? p q pq?6?,2 0xxR? ? ? 00 ,2 0xxR? ? ?2 9.设椭圆 11216 22 ?yx 的左右交点分别为 F1， F2 ， 点 P在椭圆上， 且满足 921 ?PFP
4、F ，则21 PFPF?的值为（ ） A.8 B.10 C.12 D.15 10如图，四边形 ABCD中， AD BC， AD AB， BCD 45 ， BAD 90 ，将 ABD沿 BD折起，使平面 ABD 平面 BCD，构成四面体 ABCD，则在四面体 ABCD 中，下列结论正确的是 ( ) A平面 ABD 平面 ABC B平面 ADC 平面 BDC C平面 ABC 平面 BDC D平面 ADC 平面 ABC 11.已知 F为抛物线 C： y2=4x的焦点，过 F作两条互相垂直的直线 l1， l2， 直线 l1与 C 交于 A、 B两点，直线 l2与 C 交于 D、 E两点，则 |AB|+
5、|DE|的最小值为 （ ） A 16 B 14 C 12 D 10 12.已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ，圆 以 为圆心，短轴长为直径，过点 作圆 的切线，切点分别为 ，若四边形 的面积 ，则椭圆 的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题共 4小题，每小题 5 分，共 20分。 13.命题 ：直线 与直线 垂直；命题 ：异面直线在同一个平面上的射影可能为两条平行直线 ,则命题 为 命题（填真或假） 14 直线 x y 1 0与 参数方程?x 4 5cos ty 3 5sin t 的曲线的交点个数： _ 15 已知焦距为 4 的双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ?
6、 ? ?的左右顶点分别为 12,A A M 是双曲线上异于 12,AA的任意两点，若12,1,MA MAkk依次成等比数列，则双曲线的标准方程是 _. 16 如图 ,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,P 为 BC 的中点 ,Q 为线段 CC1上的动点 ,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号 ). 当 0b0)的左右焦点是 F1， F2， 且 F2就是 C1的焦点 ， 点 P 是 C1与 C2的在第一象限内的公共点且 |PF2| 53， 过 F2的直线 l分别与曲线 C1、 C2交于点 A， B和 M， N. () 求点
7、 P的 坐标及 C2的方程； () 若 F 1AB与 F 1MN面积分别是 S1、 S2， 求 S1S2的取值范围 21.如图所示，在 ABC? 中， AB 的中点为 O ,且 1OA? ，点 D 在 AB 的延长线上，且 12BD AB? .固定边 AB ，在平面内移动顶点 C ，使得圆 M 与边 BC ，边 AC 的延长线相切，并始终与 AB 的延长线相切于点 D ，记顶点 C的轨迹为曲线 ? .以 AB 所在直线为轴， O 为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系 . （ ）求曲线 ? 的方程； （ ）设动直线交曲线 ? 于 EF、 两点，且以 EF 为直径的圆经过点 O ，求 OEF? 面
8、积的取值范围 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 以坐标原点 O 为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线 1C 的参数方程为 cossinxy ? ?（ ? 为参数，且 ,2 ? ? ? ）曲线 2C 的极坐标方程为 2sin .? （ 1）求 1C 的极坐标方程和 2C 的直角坐标方程； （ 2）若 P 是 1C 上任意一点，过点 P 的直线交 2C 于 ,MN两点，求 PM PN? 的取值范围 . 5 高二年级第二学期开学考试 数学试题 答案 一、选择题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
9、项。 1 答案 ： D 2.解：设 P( ， )是所求直线上任意一点 ， 则 sin 2sin3 ， sin 3.故选 B. 3 根据题意为一个求 20个数的平均数的程序 ， 则循环体需执行 20 次 ， 从而横线上应填充的语句为 i 20.故选：D. 4.【答案】 A【解析】 将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为 a和 b， 基本事件总数 n=66=36， 方程 有实数解， =b2?4a?0， 方程 有实数解包含的基本事件 (a,b)有： (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)，
10、 (4,4),(4,5),(4,6),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)，共 19 个， 方程 有实数解的概率 p= .故选： A. 5 解析：? x 1 2t，y 2 t ? ? x 1 5t 25，y 1 5t 15，把直线? x 1 2t，y 2 t 代入 x2 y2 9 得 (1 2t)2 (2 t)2 9,5t2 8t 4 0， |t1 t2| ?t1 t2?2 4t1t2 ? ? 85 2 165 125 ，弦长为 5|t1 t2| 125 5.答案： B 6.【解析】由题意知本题是一个几何概型的概率 ， 以 AB 为底边 ， 要使面积不小于 2， 由于 S ABP 1
11、2AB h 2h， 则三角形的高要 h1 ， 同样 ， P点到 AD 的距离要不小于 43， 满足条件的 P的区域如图 ， 其表示的区域为图中阴影部分 ，它的面积是整个阴影矩形的面积 ? ?4 43 (3 1) 163， 使得 ABP 与 ADP 的面积都不小于 2 的概率为：16343 49；故选 D. 7. A 6 8.解析 :在平面 A1B1C1D1内过点 C1作 B1D1的垂线 ,垂足为 E,连接 BE. ? ? ? ?C1E 平面 BDD1B1, C1BE的正弦值就是所求角的正弦值 . BC1=? +? = ?,C1E=? = ?, sin C1BE=?= ? = ? .答案 :D
12、9.答案 ： D 10解析：选 D 易知： BCD 中， DBC 45， BDC 90.又平面 ABD 平面 BCD，而 CD BD， CD 平面 ABD， AB CD，而 AB AD， AB 平面 ACD， 平面 ABC 平面 ACD. 11. A 【考点】抛物线的简单性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握 .考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式 .此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为 ? ，则22|cospAB ?，则2222| s inc o s
13、 ( )2ppDE ? ?，所以2 2 2 22 2 1 1| | | | 4 ( )c o s s i n c o s s i nppA B D E ? ? ? ? ? ? ? ?22222 2 2 21 1 s i n c o s4 ( ) ( c o s s i n ) 4 ( 2 ) 4 ( 2 2 ) 1 6c o s s i n c o s s i n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12. 【答案】 D【解析】设 ，则 、 ， .圆 的半径 .所以.所以四边形 的面积 .即，也就是 ，整理得 ，即，整理得 ，即 ，解得 或 .又22c a b? 1( ,0)Fc
14、? 2(,0)Fc 12| | 2FF c? N rb?2 2 2 21 1 1 2| | | | | | 4F A F B F F b c b? ? ? ? ?12FAFB 2 2 21 2| | 4 3S F A b c b b a? ? ? ? ? ?2 2 2 2 22(4 ) ( )3c b b a? ? ? 2 2 2 2 2 44 4 ( ) ( ) 9c a c a c a? ? ? ? ?2 2 2 2 44(5 ) ( ) 9c a a c a? ? ? ?224(5 1) (1 ) 9ee? ? ? ? 4245 54 13 0ee? ? ? 22(3 1)(15 13)
15、 1ee? ? ? 33e? 19515e?7 ，所以 ，故 ，所以 .所以 .故选 D. 【入选理由】本题考查椭圆的方程、圆的性质、直线和椭圆的位置关系、椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，直线与椭圆的位置 关系，是高考考查的热点，故选此题 . 二、填空题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 答案 ： 真 14 解析 ?x 4 5cos ty 3 5sin t ? (x 4)2 (y 3)2 25 则圆心 ( 4 ， 3)到直线 x y 1 0 的距离 d | 4 3 1|2 3 2 5 直线与圆相
16、交，故交点个数是 2 个 答案 2 15 22122xy? 16 当 0 PAB， （ 10分）而 21 1 5s i n s i n 142P D C P A B ? ? ? ? ? ? ?， 1 1 52 2 1 522P D C P A BSS? ? ? ? ? ?，即 PDC与 PAB面积相等 . （ 12 19.（理科） 解：（ 1） 平面 PBC? 平面 PAC=AC， EF? 平面 PBC，若 EF 平面 PAC， 则 EF PC，又 F 是 PB 的中点， E 为 BC 的中点， 21? (2)以 A 为坐标原点，分别以 AD、 AB、 AP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴 建立空间直角坐标系，则 P（ 0， 0， 1）， B（ 0， 1， 0）， F（ 0， 21 ， 21 ）， D（ 3 ， 0， 0） , 设 aBE? ，则 E（ a ， 1， 0） 求得平面 PDE 的法向量 ?1n （ )3,3,1 a? ，平面 ADE 的法向量 ? ?1,0,02 ?n ， 2221 21 ? nn nn， ? ? ,22331 3 2 ? a10 解得 23?a 或 23?a （舍去） ,所以当 23?a 时，二面角 ADEP ? 的大小 45。 20. 【解析】 ()F 2(1， 0)
