1、 第 1 页（共 28 页） 2020 年浙江省丽水市中考数学试卷年浙江省丽水市中考数学试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1实数 3 的相反数是（ ） A3 B3 C D 2分式的值是零，则 x 的值为（ ） A2 B5 C2 D5 3下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） Aa2+b2 B2ab2 Ca2b2 Da2b2 4下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） ABC D 5如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到 1 号卡片的概率是（ ） A B C D
2、6如图，工人师傅用角尺画出工件边缘 AB 的垂线 a 和 b，得到 ab理由是（ ） A连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 7已知点（2，a） （2，b） （3，c）在函数 y（k0）的图象上，则下列判断正确的是（ ） Aabc Bbac Cacb Dcba 第 2 页（共 28 页） 8如图，O 是等边ABC 的内切圆，分别切 AB，BC，AC 于点 E，F，D，P 是上一点，则EPF 的 度数是（ ） A65 B6
3、0 C58 D50 9如图，在编写数学谜题时， “”内要求填写同一个数字，若设“”内数字为 x则列出方程正确的 是（ ） A32x+52x B320 x+510 x2 C320+x+520 x D3（20+x）+510 x+2 10如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图” ，得到正方形 ABCD 与正方形 EFGH连结 EG，BD 相交于点 O、BD 与 HC 相交于点 P若 GOGP，则的值是（ ） A1+ B2+ C5 D 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11点 P（m，2）在第二象限内，则 m 的值可以是（写出一个即
4、可） 12数据 1，2，4，5，3 的中位数是 13如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为 cm2 第 3 页（共 28 页） 14如图，平移图形 M，与图形 N 可以拼成一个平行四边形，则图中 的度数是 15如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点 A，B，C 均为 正六边形的顶点，AB 与地面 BC 所成的锐角为 则 tan 的值是 16图 1 是一个闭合时的夹子，图 2 是该夹子的主视示意图，夹子两边为 AC，BD（点 A 与点 B 重合） ， 点 O 是夹子转轴位置，OEAC 于点 E，OFBD 于点 F，OEOF1cm，ACBD6cm，CEDF
5、， CE：AE2：3按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点 O 转动 （1）当 E，F 两点的距离最大时，以点 A，B，C，D 为顶点的四边形的周长是 cm （2）当夹子的开口最大（即点 C 与点 D 重合）时，A，B 两点的距离为 cm 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 小题，共小题，共 66 分，各小题都必须写出解答过程）分，各小题都必须写出解答过程） 17 （6 分） 计算： （2020）0+tan45+|3| 18 （6 分） 解不等式：5x52（2+x） 19 （6 分） 第 4 页（共 28 页） 某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初
6、中学生对“最 喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项） ，得到如图两幅不完整的统计图 表请根据图表信息回答下列问题： 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表 类别 项目 人数（人） A 跳绳 59 B 健身操 C 俯卧撑 31 D 开合跳 E 其它 22 （1）求参与问卷调查的学生总人数 （2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？ （3）该市共有初中学生约 8000 人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数 20 （8 分） 如图，的半径 OA2，OCAB 于点 C，AOC60 （1）求弦 AB 的长 （2）求的长 21 （8 分） 某地区山峰的高度
7、每增加 1 百米，气温大约降低 0.6，气温 T（）和高度 h（百米）的函数关系如图 第 5 页（共 28 页） 所示请根据图象解决下列问题： （1）求高度为 5 百米时的气温； （2）求 T 关于 h 的函数表达式； （3）测得山顶的气温为 6，求该山峰的高度 22 （10 分） 如图，在ABC 中，AB4，B45，C60 （1）求 BC 边上的高线长 （2）点 E 为线段 AB 的中点，点 F 在边 AC 上，连结 EF，沿 EF 将AEF 折叠得到PEF 如图 2，当点 P 落在 BC 上时，求AEP 的度数 如图 3，连结 AP，当 PFAC 时，求 AP 的长 23 （10 分） 如
8、图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 y（xm）2+4 图象的顶点为 A，与 y 轴交于点 B，异 于顶点 A 的点 C（1，n）在该函数图象上 （1）当 m5 时，求 n 的值 （2）当 n2 时，若点 A 在第一象限内，结合图象，求当 y2 时，自变量 x 的取值范围 （3）作直线 AC 与 y 轴相交于点 D当点 B 在 x 轴上方，且在线段 OD 上时，求 m 的取值范围 第 6 页（共 28 页） 24 （12 分） 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过 OB，OC 的中 点 D，E 作 AE，AD 的平行线，相交于点 F，已知 OB8
9、 （1）求证：四边形 AEFD 为菱形 （2）求四边形 AEFD 的面积 （3）若点 P 在 x 轴正半轴上（异于点 D） ，点 Q 在 y 轴上，平面内是否存在点 G，使得以点 A，P，Q， G 为顶点的四边形与四边形 AEFD 相似？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，试说明理由 第 7 页（共 28 页） 2020 年浙江省丽水市中考数学试卷年浙江省丽水市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）实数 3 的相反数是（ ） A3 B3 C D 【分析】直接利用相
10、反数的定义分析得出答案 【解答】解：实数 3 的相反数是：3 故选：A 【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题关键 2 （3 分）分式的值是零，则 x 的值为（ ） A2 B5 C2 D5 【分析】利用分式值为零的条件可得 x+50，且 x20，再解即可 【解答】解：由题意得：x+50，且 x20， 解得：x5， 故选：D 【点评】 此题主要考查了分式值为零的条件， 关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于 零注意： “分母不为零”这个条件不能少 3 （3 分）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） Aa2+b2 B2ab2 Ca2b2 Da2b2 【
11、分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号 相反进行分析即可 【解答】解：A、a2+b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误； B、2ab2不能运用平方差公式分解，故此选项错误； C、a2b2能运用平方差公式分解，故此选项正确； D、a2b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误； 故选：C 【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键 4 （3 分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） 第 8 页（共 28 页） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解 【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，故
12、本选项不合题意； B、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C 【点评】 本题考查了中心对称图形的概念， 中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后两部分重合 5 （3 分）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张， 摸到 1 号卡片的概率是（ ） A B C D 【分析】根据概率公式直接求解即可 【解答】解：共有 6 张卡片，其中写有 1 号的有 3 张， 从中任意摸出一张，摸到 1 号卡片的概率是； 故选：A 【点评】此题考查了概率的求法
13、，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比 6 （3 分）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘 AB 的垂线 a 和 b，得到 ab理由是（ ） A连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 第 9 页（共 28 页） B在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可 【解答】解：由题意 aAB，bAB， ab（垂直于同一条直线的两条直线平行） ， 故选：B 【点评】本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理
14、解题意，灵活运用所学知识解决问 题 7 （3 分）已知点（2，a） （2，b） （3，c）在函数 y（k0）的图象上，则下列判断正确的是（ ） Aabc Bbac Cacb Dcba 【分析】根据反比例函数的性质得到函数 y（k0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y 随 x 的增大而减小，则 bc0，a0 【解答】解：k0， 函数 y（k0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y 随 x 的增大而减小， 2023， bc0，a0， acb 故选：C 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键 8 （3 分）如图，O 是等边ABC 的内切圆，分别
15、切 AB，BC，AC 于点 E，F，D，P 是上一点，则 EPF 的度数是（ ） A65 B60 C58 D50 第 10 页（共 28 页） 【分析】如图，连接 OE，OF求出EOF 的度数即可解决问题 【解答】解：如图，连接 OE，OF O 是ABC 的内切圆，E，F 是切点， OEAB，OFBC， OEBOFB90， ABC 是等边三角形， B60， EOF120， EPFEOF60， 故选：B 【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基 本知识，属于中考常考题型 9 （3 分）如图，在编写数学谜题时， “”内要求填写同一个数字，若设“”内
16、数字为 x则列出方程 正确的是（ ） A32x+52x B320 x+510 x2 C320+x+520 x D3（20+x）+510 x+2 【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可 【解答】解：设“”内数字为 x，根据题意可得： 3（20+x）+510 x+2 故选：D 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示十位数是解题关键 第 11 页（共 28 页） 10 （3 分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图” ，得到正方形 ABCD 与正方形 EFGH连结 EG， BD 相交于点 O、BD 与 HC 相交于点 P若 GOGP，则的值是（ ） A1+ B2+
17、 C5 D 【分析】证明BPGBCG（ASA） ，得出 PGCG设 OGPGCGx，则 EG2x，FGx， 由勾股定理得出 BC2（4+2）x2，则可得出答案 【解答】解：四边形 EFGH 为正方形， EGH45，FGH90， OGGP， GOPOPG67.5， PBG22.5， 又DBC45， GBC22.5， PBGGBC， BGPBG90，BGBG， BPGBCG（ASA） ， PGCG 设 OGPGCGx， O 为 EG，BD 的交点， EG2x，FGx， 四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图” ， BFCGx， BGx+x， BC2BG2+CG2， 第 12 页（共 28 页） 故选：
18、B 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识， 熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）点 P（m，2）在第二象限内，则 m 的值可以是（写出一个即可） 1（答案不唯一） 【分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出 m 的取值范围，进而得出答案 【解答】解：点 P（m，2）在第二象限内， m0， 则 m 的值可以是1（答案不唯一） 故答案为：1（答案不唯一） 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出 m 的取值范围是解题关键 12 （
19、4 分）数据 1，2，4，5，3 的中位数是 3 【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数 【解答】解：数据 1，2，4，5，3 按照从小到大排列是 1，2，3，4，5， 则这组数据的中位数是 3， 故答案为：3 【点评】本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义，会求一组数据的中位数 13 （4 分）如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为 20 cm2 【分析】根据从正面看所得到的图形，即可得出这个几何体的主视图的面积 【解答】解：该几何体的主视图是一个长为 4，宽为 5 的矩形，所以该几何体主视图的面积为 20cm2 故答案为：20 【点评】本题考查了三
20、视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图 14 （4 分）如图，平移图形 M，与图形 N 可以拼成一个平行四边形，则图中 的度数是 30 第 13 页（共 28 页） 【分析】根据平行四边形的性质解答即可 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， D180C60， 180（54070140180）30， 故答案为：30 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的邻角互补解答 15 （4 分）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点 A，B， C 均为正六边形的顶点，AB 与地面 BC 所成的锐角为 则 tan 的值是 【分析】如图，作
21、ATBC，过点 B 作 BHAT 于 H，设正六边形的边长为 a，则正六边形的半径为， 边心距a求出 BH，AH 即可解决问题 【解答】解：如图，作 ATBC，过点 B 作 BHAT 于 H，设正六边形的边长为 a，则正六边形的半径 为，边心距a 第 14 页（共 28 页） 观察图象可知：BHa，AHa， ATBC， BAH， tan 故答案为 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角 形解决问题 16 （4 分）图 1 是一个闭合时的夹子，图 2 是该夹子的主视示意图，夹子两边为 AC，BD（点 A 与点 B 重合） ，点 O 是夹子转轴位
22、置，OEAC 于点 E，OFBD 于点 F，OEOF1cm，ACBD6cm，CE DF，CE：AE2：3按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点 O 转动 （1）当 E，F 两点的距离最大时，以点 A，B，C，D 为顶点的四边形的周长是 16 cm （2）当夹子的开口最大（即点 C 与点 D 重合）时，A，B 两点的距离为 cm 【分析】 （1）当 E，F 两点的距离最大时，E，O，F 共线，此时四边形 ABCD 是矩形，求出矩形的长和 宽即可解决问题 （2）如图 3 中，连接 EF 交 OC 于 H想办法求出 EF，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题 【解答】解： （1）当 E，F 两点的距
23、离最大时，E，O，F 共线，此时四边形 ABCD 是矩形， OEOF1cm， EF2cm， ABCD2cm， 此时四边形 ABCD 的周长为 2+2+6+616（cm） ， 故答案为 16 （2）如图 3 中，连接 EF 交 OC 于 H 第 15 页（共 28 页） 由题意 CECF6（cm） ， OEOF1cm， CO 垂直平分线段 EF， OC（cm） ， OEECCOEH， EH（cm） ， EF2EH（cm） EFAB， ， AB（cm） 故答案为 【点评】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理 解题意，灵活运用所学知识解决问题 三、解答题
24、（本题有三、解答题（本题有 8 小题，共小题，共 66 分，各小题都必须写出解答过程）分，各小题都必须写出解答过程） 17 （6 分）计算： （2020）0+tan45+|3| 【分析】利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，再算加 减即可 【解答】解：原式1+21+35 【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握零次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对 值的性质 第 16 页（共 28 页） 18 （6 分）解不等式：5x52（2+x） 【分析】去括号，移项、合并同类项，系数化为 1 求得即可 【解答】解：5x52（2+x） ， 5x54+2x 5
25、x2x4+5， 3x9， x3 【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键 19 （6 分）某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学 生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项） ，得到如图两幅不完整 的统计图表请根据图表信息回答下列问题： 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表 类别 项目 人数（人） A 跳绳 59 B 健身操 C 俯卧撑 31 D 开合跳 E 其它 22 （1）求参与问卷调查的学生总人数 （2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？ （3）该市共有初中学生约 8
26、000 人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数 【分析】 （1）从统计图表中可得， “E 组 其它”的频数为 22，所占的百分比为 11%，可求出调查学生 总数； （2） “开合跳”的人数占调查人数的 24%，即可求出最喜爱“开合跳”的人数； 第 17 页（共 28 页） （3）求出“健身操”所占的百分比，用样本估计总体，即可求出 8000 人中喜爱“健身操”的人数 【解答】解： （1）2211%200（人） ， 答：参与调查的学生总数为 200 人； （2）20024%48（人） ， 答：最喜爱“开合跳”的学生有 48 人； （3）最喜爱“健身操”的学生数为 2005931482240
27、（人） ， 80001600（人） ， 答：最喜爱“健身操”的学生数大约为 1600 人 【点评】考查统计表、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中的数量之间的关是解决问题的关 键 20 （8 分）如图，的半径 OA2，OCAB 于点 C，AOC60 （1）求弦 AB 的长 （2）求的长 【分析】 （1）根据题意和垂径定理，可以求得 AC 的长，然后即可得到 AB 的长； （2）根据AOC60，可以得到AOB 的度数，然后根据弧长公式计算即可 【解答】解： （1）的半径 OA2，OCAB 于点 C，AOC60， ACOAsin602， AB2AC2； （2）OCAB，AOC60， AOB1
28、20， OA2， 的长是： 【点评】本题考查弧长的计算、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 21 （8 分）某地区山峰的高度每增加 1 百米，气温大约降低 0.6，气温 T（）和高度 h（百米）的函数 第 18 页（共 28 页） 关系如图所示 请根据图象解决下列问题： （1）求高度为 5 百米时的气温； （2）求 T 关于 h 的函数表达式； （3）测得山顶的气温为 6，求该山峰的高度 【分析】 （1）根据高度每增加 1 百米，气温大约降低 0.6，由 3 百米时温度为 13.2C，即可得出高 度为 5 百米时的气温； （2）应用待定系数法解答即可； （3）根据（2）
29、的结论解答即可 【解答】解： （1）由题意得，高度增加 2 百米，则气温降低 20.61.2（C） ， 13.21.212， 高度为 5 百米时的气温大约是 12C； （2）设 T 关于 h 的函数表达式为 Tkh+b， 则：， 解得， T 关于 h 的函数表达式为 T0.6h+15； （3）当 T6 时，60.6h+15， 解得 h15 该山峰的高度大约为 15 百米 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合 的思想解答问题 22 （10 分）如图，在ABC 中，AB4，B45，C60 第 19 页（共 28 页） （1）求 BC 边上的高线
30、长 （2）点 E 为线段 AB 的中点，点 F 在边 AC 上，连结 EF，沿 EF 将AEF 折叠得到PEF 如图 2，当点 P 落在 BC 上时，求AEP 的度数 如图 3，连结 AP，当 PFAC 时，求 AP 的长 【分析】 （1）如图 1 中，过点 A 作 ADBC 于 D解直角三角形求出 AD 即可 （2）证明 BEEP，可得EPBB45解决问题 如图 3 中，由（1）可知：AC，证明AEFACB，推出，由此求出 AF 即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中，过点 A 作 ADBC 于 D 在 RtABD 中，ADABsin4544 （2）如图 2 中， AEFPEF， A
31、EEP， 第 20 页（共 28 页） AEEB， BEEP， EPBB45， PEB90， AEP1809090 如图 3 中，由（1）可知：AC， PFAC， PFA90， AEFPEF， AFEPFE45， AFEB， EAFCAB， AEFACB， ，即， AF2， 在 RtAFP，AFFP， APAF2 【点评】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三 角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型 23 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 y（xm）2+4 图象的顶点为 A，与 y 轴交 于
32、点 B，异于顶点 A 的点 C（1，n）在该函数图象上 （1）当 m5 时，求 n 的值 第 21 页（共 28 页） （2）当 n2 时，若点 A 在第一象限内，结合图象，求当 y2 时，自变量 x 的取值范围 （3）作直线 AC 与 y 轴相交于点 D当点 B 在 x 轴上方，且在线段 OD 上时，求 m 的取值范围 【分析】 （1）利用待定系数法求解即可 （2）求出 y2 时，x 的值即可判断 （3）由题意点 B 的坐标为（0，m2+4） ，求出几个特殊位置 m 的值即可判断 【解答】解： （1）当 m5 时，y（x5）2+4， 当 x1 时，n42+44 （2）当 n2 时，将 C（1
33、，2）代入函数表达式 y（xm）2+4，得 2（1m）2+4， 解得 m3 或1（舍弃） ， 此时抛物线的对称轴 x3， 根据抛物线的对称性可知，当 y2 时，x1 或 5， x 的取值范围为 1x5 （3）点 A 与点 C 不重合， m1， 抛物线的顶点 A 的坐标是（m，4） ， 抛物线的顶点在直线 y4 上， 当 x0 时，ym2+4， 点 B 的坐标为（0，m2+4） ， 抛物线从图 1 的位置向左平移到图 2 的位置，m 逐渐减小，点 B 沿 y 轴向上移动， 当点 B 与 O 重合时，m2+40， 解得 m2或2， 第 22 页（共 28 页） 当点 B 与点 D 重合时，如图 2
34、，顶点 A 也与 B，D 重合，点 B 到达最高点， 点 B（0，4） ， m2+44，解得 m0， 当抛物线从图 2 的位置继续向左平移时，如图 3 点 B 不在线段 OD 上， B 点在线段 OD 上时，m 的取值范围是：0m1 或 1m2 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解 题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考常压轴题 24 （12 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 正方形 ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上， 分别过 OB， OC 的中点 D，E 作 AE，AD 的平行线，相交于点 F，已知 OB8
35、 （1）求证：四边形 AEFD 为菱形 （2）求四边形 AEFD 的面积 （3）若点 P 在 x 轴正半轴上（异于点 D） ，点 Q 在 y 轴上，平面内是否存在点 G，使得以点 A，P，Q， G 为顶点的四边形与四边形 AEFD 相似？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，试说明理由 第 23 页（共 28 页） 【分析】 （1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可 （2）连接 DE，求出ADE 的面积即可解决问题 （3）首先证明 AK3DK，当 AP 为菱形的一边，点 Q 在 x 轴的上方，有图 2，图 3 两种情形当 AP 为菱形的边，点 Q 在 x 轴的下方时，有图 4，图 5 两种情形如
36、图 6 中，当 AP 为菱形的对角线 时，有图 6 一种情形分别利用相似三角形的性质求解即可 【解答】 （1）证明：如图 1 中， AEDF，ADEF， 四边形 AEFD 是平行四边形， 四边形 ABCD 是正方形， ACABOCOB，ACEABD90， E，D 分别是 OC，OB 的中点， CEBD， CAEABD（SAS） ， AEAD， 四边形 AEFD 是菱形 （2）解：如图 1 中，连接 DE 第 24 页（共 28 页） SADBSACE8416， SEOD448， SAEDS正方形ABOC2SABDSEOD64216824， S菱形AEFD2SAED48 （3）解：如图 1 中，
37、连接 AF，设 AF 交 DE 于 K， OEOD4，OKDE， KEKD， OKKEKD2， AO8， AK6， AK3DK， 当 AP 为菱形的一边，点 Q 在 x 轴的上方，有图 2，图 3 两种情形： 如图 2 中，设 AG 交 PQ 于 H，过点 H 作 HNx 轴于 N，交 AC 于 M，设 AMt 菱形 PAQG菱形 ADFE， PH3AH， HNOQ，QHHP， ONNP， HN 是PQO 的中位线， ONPN8t， MAHPHN90AHM，PNHAMH90， 第 25 页（共 28 页） HMAPNH， ， HN3AM3t， MHMNNH83t， PN3MH， 8t3（83t
38、） ， t2， OP2ON2（8t）12， P（12，0） 如图 3 中，过点 H 作 HIy 轴于 I，过点 P 作 PNx 轴交 IH 于 N，延长 BA 交 IN 于 M 同法可证：AMHHNP， ，设 MHt， PN3MH3t， AMBMAB3t8， HI 是OPQ 的中位线， OP2IH， HIHN， 8+t9t24， t4， OP2HI2（8+t）24， P（24，0） 第 26 页（共 28 页） 当 AP 为菱形的边，点 Q 在 x 轴的下方时，有图 4，图 5 两种情形： 如图 4 中，QH3PH，过点 H 作 HMOC 于 M，过 D 点 P 作 PNMH 于 N MH 是
39、QAC 的中位线， MHAC4， 同法可得：HPNQHM， ， PNHM， OMPN，设 HNt，则 MQ3t， MQMC， 3t8， t， OPMN4+t， 点 P 的坐标为（，0） 如图 5 中，QH3PH，过点 H 作 HMx 轴于 M 交 AC 于 I，过点 Q 作 QNHM 于 N 第 27 页（共 28 页） IH 是ACQ 的中位线， CQ2HI，NQCI4， 同法可得：PMHHNQ， ，则 MHNQ， 设 PMt，则 HN3t， HNHI， 3t8+， t， OPOMPMQNPM4t， P（，0） 如图 6 中，当 AP 为菱形的对角线时，有图 6 一种情形： 过点 H 作 H
40、My 轴于于点 M，交 AB 于 I，过点 P 作 PNHM 于 N 第 28 页（共 28 页） HIx 轴，AHHP， AIIB4， PNIB4， 同法可得：PNHHMQ， ， MH3PN12，HIMHMI4， HI 是ABP 的中位线， BP2IH8， OPOB+BP16， P（16，0） ， 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（12，0）或（24，0）或（，0）或（，0）或（16，0） 【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，相似三角 形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找相似三角形，利用相 似三角形的性质构建方程解决问题，属于中考压轴题
