1、 1 主主 题题 函数的奇偶性 教学内容教学内容 1. 掌握函数奇偶性的概念，并能判断简单函数的奇偶性； 2. 掌握函数的奇偶性和函数图像的关系。 1. 函数 2 ( )f xx与( )f xx的图像有什么共同特征？从对称的角度，你发现了什么？ x y 1231 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O x y 123123 1 1 2 3 O 把表填好，再观察表，你看出了什么？ x -3 -2 -1 0 1 2 3 2 yx x -3 -2 -1 0 1 2 3 yx 结论：当自变量x任意取一对相反数时，相应的两个函数值相等。 偶函数：偶函数：如果对于函数 yf x的定义域D内的
2、任意实数a，都有 faf a，那么就把 yf x函 数叫做偶函数。 由上述定义可以知道，函数定义域D关于原点对称式这个函数为偶函数的必要条件。 如果函数 yf xxD是偶函数，那么 yf x的图像关于y轴成轴对称图形；反过来，如果一 2 个函数的图像关于y轴成轴对称图形，那么这个函数必是偶函数。 偶函数的定义及后面的结论教师可以向学生简单说明原因，有助于学生理解记忆。 2. 函数 1 (0)yx x 和y x 又有什么共同特征呢？ x y O x y O 把表填好，再观察表，你看出了什么？ x -3 -2 -1 0 1 2 3 1 y x x -3 -2 -1 0 1 2 3 yx 结论：当自
3、变量x任意取一对相反数时，相应的两个函数值互为相反数。 奇函数：奇函数： 如果对于函数 yf x的定义域D内的任意实数a， 都有 faf a， 那么就把 yf x函 数叫做奇函数。 类比上述偶函数，也会发现奇函数的一些性质： 函数定义域D关于原点对称式这个函数为偶函数的必要条件。 如果函数 yf xxD是奇函数，那么 yf x的图像关于原点对称；反过来，如果一个函数的 图像关于原点对称，那么这个函数必是奇函数。 （采用教师引导，学生轮流回答的形式）（采用教师引导，学生轮流回答的形式） 例 1. 求证：函数 42 23f xxx是偶函数。 证 明 ：证 明 ： 函 数 42 23f xxx的 定
4、 义 域 是R， 在R中 任 取 一 个 实 数a， 则 有 3 42 23f aaa， 42 42 2323faaaaa， faf a， 因此，函数 42 23f xxx是偶函数。 试一试：求证：函数 3 f xx是奇函数。 证明：证明：函数 3 f xx的定义域是R，在R中任取一个实数a，则有 3 3, ,f aafaafaf a ， 因此，函数 3 f xx是奇函数。 小结：用定义判断函数奇偶性的步骤： （1）先求定义域，看是否关于原点对称； （2）再判断 fxf x或 fxf x是否恒成立。 例 2. 设奇函数( )yf x， 2, xa ，满足11)2(f，则)(af_. 解析：-1
5、1 试一试：已知 2 ( )3f xaxbxab是偶函数，定义域为1,2 aa.则a ，b 答案： 1 ,0 3 例 3. 已知偶函数( )f x， 当0 x时， 解析式为xxxf 2 )(； 则当0 x时，( )f x的解析式为_ 解析：设0 x，则0 x ， 22 ()()()fxxxxx 因为( )f x是偶函数，所以 2 ()( )fxf xxx，所以当 0 x时解析式为( )f x=xx 2 试一试：已知)(xf为奇函数时当时当11,1)(,10 xxxfx，求)(xf的解析式？ 解析： 101 ( )00 110 xx f xx xx （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲
6、解） 4 1.若 bkxxf为奇函数，则 b= . 0 2.若定义在区间5 , a上的函数 xf为偶函数，则 a= . -5 3若函数)(xfy 是奇函数，3) 1 (f，则) 1(f的值为_ . -3 4. 已知函数 f（x）为偶函数，且其图象与 x 轴有四个交点，则方程 f（x）0 的所有实根之和为_ 0 5. 函数 11 11 )( 2 2 xx xx xf是（ ） A偶函数 B奇函数 C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数 此题直接证明较烦，可用等价形式 f（x）f（x）0 答案：B 6. 已知函数 f（x）是奇函数，且当 x0 时，f（x）x32x21，求 f（x）在 R 上的表达式
7、 解：f（x）x32x21因 f（x）为奇函数，f（0）0 当 x0 时，x0，f（x）（x）32（x）21x32x21， f（x）x32x21 因此， .)0( )0( )0( 12 0 12 )(, , 23 23 x x x xx xx xf 7. 已知 f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若 1 1 )()( x xgxf，求函数 f（x）的解析式 解：由 f（x）是偶函数，g（x）是奇函数， 可得 1 ()()( )( ) 1 fxgxf xg x x ， 联立 1 1 )()( x xgxf， 1 1 ) 1 1 1 1 ( 2 1 )( 2 xxx xf 本节课主要知识点：函数奇
8、偶性的判定方法，奇偶性的性质应用 【巩固练习】 1已知函数 f（x）ax2bxc（a0）是偶函数，那么 g（x）ax3bx2cx（ ） A A奇函数 B偶函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数 5 2. 函数 1 ( )f xx x 的图像关于（ ） C Ay轴对称 B 直线xy对称 C 坐标原点对称 D 直线xy 对称 3. 已知函数( )yf x为奇函数，若(3)(2)1ff，则( 2)( 3)ff 1 4. 已知函数 8 3 x b axxxf，且102 f，求 2f的值 先证明是奇函数，然后可得 2( 2)10ff 【预习思考】 1如图为某地区 2012 年元旦这一天 24 小时内的气温变化图， 观察这张气温变化图： 问题问题 1：气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？ 问题问题 2：怎样用数学语言刻画上述时段内随着时间的增大 气 温逐渐升高这一特征？ 问题问题 3: 对于任意的 1 t、 2 4,14t 时，当 12 tt时，是否都有 12 f tf t呢?
