1、 2323 个典型的数列专题个典型的数列专题解答解答 1 1、等差数列、等差数列 n a中，前三项依次为中，前三项依次为 xxx 1 , 6 5 , 1 1 ，求：，求： 105 ?a 解：解：由等差数列中项公式得：由等差数列中项公式得： 511 2 61xxx ，则：，则：2x. . 首项为：首项为： 1 11 13 a x ，公差为：，公差为： 15151 621212 d xx ； 则数列通项为：则数列通项为： 1 113 (1) 31212 n nn aand . . 故：故： 105 31053 9 1212 n a . . 由等差数列公式就可以通解由等差数列公式就可以通解. . 2
2、 2、前、前 100100 个自然数（个自然数（1 1 到到 100100）中，除以）中，除以 7 7 余余 2 2 的所有数之和的所有数之和 S S 是？是？ 解：解：这些数构成的数列为：这些数构成的数列为：7(1)275 n ann； 在在 100100 之内，之内，n n 的最大数的最大数 m m 为：为：10075m，即，即15m; ; 这些数之和这些数之和 S S 为：为： 15 1 (1 15) 15 (75)75 15765 2 k Sn 余数是常数的问题要转化为等差数列问题余数是常数的问题要转化为等差数列问题. . 3 3、在等差数列在等差数列 n a中，前中，前 n n 项和
3、为项和为 n S. . 若若 1 0a ， 16 0S， 17 0S， 则则 n S最大时，最大时，?n 臻品臻品一切尽在一切尽在 曙色庄园曙色庄园 解：解：等差数列通项为：等差数列通项为： 1 (1) n aand，求和公式为：，求和公式为： 1 (1) 2 n n n Snad ； 则：则： 161 16 15 160 2 Sad ，即：，即： 1 15 0 2 ad， 1 70ad，即：，即： 8 0a ； 171 17 16 170 2 Sad ，即：，即： 1 80ad，即：，即： 9 0a . .故故 n S最大时，最大时，8n. . 通项公式和求和公式都要很熟啊通项公式和求和公式
4、都要很熟啊. . 4 4、数列、数列 n a的通项公式的通项公式 1 1 n a nn ，若它的前，若它的前 n n 项和为项和为9 n S ，求：，求：?n 解：解：通项：通项： 1 1 1 n ann nn ； 则：则： 1 11 19 n n k Skkn ，于是：，于是：99n 相当于裂项法相当于裂项法. . 5 5、等差数列、等差数列 n a，其公差不为，其公差不为 0 0，其中，其中， 2 a、 3 a、 6 a依次构成等比数列，求公比依次构成等比数列，求公比?q 解：解：等差数列通项等差数列通项： 1 (1) n aand，则：，则： 32 aad， 62 4aad， 构成等比数
5、列，则：构成等比数列，则： 2 326 aa a，即：，即： 2 222 ()(4 )ada ad； 即即： 222 2222 24aa ddaa d. .因为因为0d ，故：，故： 2 2da； 所以：所以： 322 222 3 3 aada q aaa . . 由比例中项直接列式，导出由比例中项直接列式，导出d与与 2 a的关系的关系. . 6 6、已知等差数列、已知等差数列 n a的前的前 n n 项和项和 n S，且，且 1 1a , , 11 33S. . 设设 1 4 n a n b ， 求证：求证： n b是等比数列，并求其前是等比数列，并求其前 n n 项和项和 n T. .
6、证明证明：通项：通项： 1 (1) n aand，求和公式：，求和公式： 1 (1) 2 n n n Snad ； 则：则： 11 11 10 1133 2 Sd ，即：，即：11 5533d，故：，故： 2 5 d . . 于是：于是： 223 1(1) 55 n n an ；则：；则： 23 5 1 4 n n b ， 2(1) 3 5 1 1 4 n n b 则：则： 2(1) 3 232 555 1 11 44 nn n n b b ， 故故 n b是首项为是首项为 1 1 4 b ，公比为，公比为 2 5 1 1 4 n n b q b , , 的等比数列，通项为：的等比数列，通项为
7、： 23 5 1 4 n n b . . 其求和公式其求和公式： () () 2n 5 22 1 n n 55 n122 55 1 1 1q1444 Tb 1q4 1 4 41 1 4 7 7、若、若xy，且两个数列：，且两个数列： 12 ,x a ay和和 123 ,x b b b y均为等差数列，求：均为等差数列，求： 1 3 ? ax yb 解：解：设两个等差数列的公差分别为：设两个等差数列的公差分别为： 1 d和和 2 d， 则则: : 11 3 yx axd , , 32 4 yx ybd . . 故：故： 1 3 1 () 4 3 1 3 () 4 yx ax yb yx 利用等差
8、数列的等差性质来求本题利用等差数列的等差性质来求本题. . 8 8、已知正项数列、已知正项数列 n a的前的前 n n 项和项和 n S满足：满足： 2 1056 nnn Saa，且，且 1 a、 3 a、 15 a成等比数成等比数 列，求数列列，求数列 n a的通项的通项? n a 解：解：由已知：由已知： 2 +1+1+1 1056 nnn Saa 2 1056 nnn Saa 由由- -： 22 111 10()5() nnnnn aaaaa 移项合并：移项合并： 22 11 ()5()0 nnnn aaaa ，即：，即： 11 ()(5)0 nnnn aaaa 由于正项数列由于正项数列
9、 1 ()0 nn aa ，所以：，所以： 1 50 nn aa ，即：，即： 1 5 nn aa ； 由此得到由此得到 n a是公差为是公差为 5 5 的等差数列的等差数列. . 设：设： 1 5(1) n aan，则：，则： 31 10aa， 151 70aa； 由由 1 a、 3 a、 15 a成等比数列得：成等比数列得： 2 31 15 aa a，即：，即： 2 111 (10)(70)aa a； 即：即： 22 1111 2010070aaaa，故：，故： 1 2a . . 所以：所以：25(1)53 n ann 本题由等式条件得出公差是本题由等式条件得出公差是 5 5，由等比条件确
10、定，由等比条件确定首项首项. . 9 9、已知数列、已知数列 n a的前的前 n n 项和项和 1 (1)(2) 3 n Sn nn, ,试求数列试求数列 1 n a 的前的前 n n 项和项和? n T 解：解：由已知：由已知： 1111 (1)(2)=(1)(24)=(1)(21)(1) 3662 n Sn nnn nnn nnn n 及：及： 2 1 1 (1)(21) 6 n k kn nn 和：和： 1 1 (1) 2 n k kn n 得到上面求和公式可分成两部分，一个得到上面求和公式可分成两部分，一个 2 n an求和，一个求和，一个 n an求和求和. . 故：故： 2 (1)
11、 n annn n. . 那么：那么： 1111 (1)1 n an nnn ； 所以：所以： 1 111 ()1 111 n n k n T kknn . . 要熟悉一些基本的求和公式，还有裂项求和方法要熟悉一些基本的求和公式，还有裂项求和方法. . 1010、已知数列、已知数列 n a的前的前 n n 项和为项和为 n S，其首项，其首项 1 1a ，且满足，且满足3(2) nn Sna，求通项，求通项? n a 解：解：由已知：由已知：3(2) nn Sna 11 3(1) nn Sna 由由： 1 3(2)(1) nnn anana ； 移项合并：移项合并： 1 (1)(1) nn n
12、ana ，即：，即： 1 1 1 nn n aa n 由此递推得：由此递推得： 12 1 1112 . 11212 11(1)(1) 1 122 nnnk k nnnnnk aaaa nnnnnk n nn n nnaa kk 将递推进行到底将递推进行到底！ 1111、如果数列、如果数列 n a中中, ,相邻两项相邻两项 n a和和 1n a是二次方程是二次方程 2 3=0 nnn xnxc(n=1,2,3(n=1,2,3) )的两个的两个 根根, ,当当 1 2a 时时, ,试求试求 100 ?c 解：解：由韦达定理：由韦达定理： 1 3 nn aan 1nnn aac 由由式可得：式可得：
13、 121 ()()3 nnnn aaaa ，即：，即： 2 3 nn aa 式表明：式表明： 13521 ,., k a a aa 和和 2462 ,., k a a aa都是公差为都是公差为- -3 3 的等差数列的等差数列. . 又因又因 1 2a ，代入，代入式可得：式可得： 2 5a ，于是得到等差数列为：，于是得到等差数列为： 211 (1)( 3)2335 3 k aakkk ； 22 (1)( 3)5 332 3 k aakkk . . 那么：那么： 100 23 50152a ， 101 5 3 51148a 代入代入式得：式得： 100100101 ( 152) ( 148)
14、22496caa 本题由韦达定理得出本题由韦达定理得出 n a为等差数列，算出首项得到为等差数列，算出首项得到 n a，再计算出，再计算出 n c. . 1212、有两个无穷的等比数列、有两个无穷的等比数列 n a和和 n b, ,其公比的绝对值都小其公比的绝对值都小于于 1,1,其各项和分别是其各项和分别是 1 1 nk k Sa 和和 1 2 nk k Tb , ,对一切自然数都有：对一切自然数都有： 2 nn ab，求这两个数列的首项和公，求这两个数列的首项和公 比比. . 解：解：由由 1 1 1 a S q 和和 1 2 1 b T r 得：得： 1 1aq ，及，及 1 2(1)b
15、r. . 数列的首项数列的首项 设这两个等比数列的通项公式分别设这两个等比数列的通项公式分别为：为： 11 1 (1) nn n aa qq q 11 1 2(1) nn n bbrr r 将将两式代入两式代入 2 nn ab，并采用赋值法，分别令，并采用赋值法，分别令1n 和和2n得：得： 2 11 ab，即：，即： 2 (1)2(1)qr 2 22 ab，即：，即： 22 (1)2(1)q qr r 由由得：得： 2 rq 将将式代入式代入式得：式得： 22 (1)2(1)qq 因为：因为：1q ，则上式化简为：，则上式化简为：12(1)qq，即：，即： 1 3 q 将将 1 3 q 代入
16、代入式得：式得： 1 9 r 这是这两个数列的公比这是这两个数列的公比. . 将将 1 3 q 和和 1 9 r 分别代入分别代入式和式和式得：式得： 1 1 1 4114 (1)41 3333 nn n n n n aq q ； 1 1 8116 2(1)2 999 n n n n br r 本题采用赋值法求解本题采用赋值法求解. . 1313、已知数列、已知数列 n a的前的前 n n 项和为项和为 n S， 1 1 2 a ，当，当2n时，满足：时，满足： 1 20 nnn aS S ；求证：；求证： 数列数列 1 n S 为等差数列；并求为等差数列；并求 n S的通项公式的通项公式?
17、n S 解：解：由由 1 20 nnn aS S 得：得： 11 20 nnnn SSS S ，即：，即： 1 11 20 nn SS ， 则：则： 1 11 2 nn SS ， 11 11 2 Sa . . 上式表明：上式表明： 1 n S 是一个首项为是一个首项为 2 2，公差为，公差为 2 2 的等差数列的等差数列. . 则：则： 1 22(1)2 n nn S ，即：，即： 1 2 n S n ， 1 1 2(1) n S n ； 于是：于是： 1 111 22(1)2 (1) nnn aSS nnn n 故：故： 1 (1) 2 1 (2) 2 (1) n n a n n n 注意求
18、和化通项的方法注意求和化通项的方法. . 1414、已知等比数列、已知等比数列 n a的首项的首项 1 1 2 a ，且满足：，且满足： 1010 302010 2(21)0SSS. . （1 1）求）求 n a的通项； （的通项； （2 2）求）求 n nS的前的前 n n 项和项和 n T. . 解：解：将将 30 301 1 1 q Sa q 、 20 201 1 1 q Sa q 、 10 101 1 1 q Sa q 代入代入上面等式得：上面等式得： 1030102010 2 (1)(21)(1)(1)0qqq 化简得：化简得： 1010201010 2 (1)(21)(1) 10q
19、qq 即：即： 10101020101010 2 (1)22 (1)(1) 10qqqq 整理得：整理得： 102010 20qq，即：，即： 1 2 q 则：则： 1 1 1 111 222 n n n n aa q 或或 1 11 1 111 ( 1) 222 n nn n n aa q 注意求和化通项的方法注意求和化通项的方法. . 第第 1414 题第题第(2)(2)问解答：问解答： (2)A.(2)A.对于等比数列：对于等比数列： 1 2 an n ，其求和公式为：，其求和公式为： 1 1 11 2 1 1 2 2 1 2 n Sn n 故：故： 1 (1) 221111 nnnn
20、k TkSkk nkkk kkkk 1 1 (1) 2 1 n n n k k 2 2 23 123 . 2222 21 n n n kn R k k 则：则： 231 234 221. 2222 21 n n n kn R k k 由由- -得：得： 223311 2132431 1 ()()().() 222222222 n nnn nnn R 231 1231 1. 22222 nn n 1 1 12 2 2(1)2 1 2222 1 2 n nnnn nnn 综合综合 11和和 22得：得： (1)2 2 22 211 n nn kn nn Tk nk kk (2)B.(2)B.对于等
21、比数列：对于等比数列： 11 ( 1) 2 n n n a 其求和公式为：其求和公式为： 1 1 () 11111 ( 1) 2 1 ( 1) 1 2333 22 1 () 2 n n n Sn nn 故：故： 11 1 ( 1)( 1) 333 221111 kk nnnn kkk TkS nkkk kkkk 1 1 (1) 36 1 n kn n k 2 2 23 11123 ( 1).( 1) 332222 21 kn n n n kn U k k 则：则： 121 1123 2.( 1) 31222 n n n n U 由由+ +得：得： 12211 121321 31 ()().(
22、1) ()( 1) 32222222 nn n nnn nnn U 21 1111 1.( 1)( 1) 32222 nn nn n 21 11111 1.( 1)( 1) 322232 nn nn n ( 1) 1 11 2 ( 1) 1 332 1 () 2 n n n n n 2( 1)1 1( 1) 9232 n n nn n 故：故： 2( 1)( 1) 1 27292 nn n nn n U 于是：于是： 1(1)2( 1)( 1) ( 1)1 33627292 211 nn k nn nn kkn nn Tn k kk 1515、若等差数列、若等差数列 2 log n x的第的第
23、 m m 项等于项等于 k k，第，第 k k 项等于项等于 m(m(其中其中mk) )，求数列，求数列 n x的前的前 mk项的和。项的和。 解：解：等差数列通项为：等差数列通项为： 221 log=log+(n-1)d n xx； 则：则： 221 loglog(1) m xkxmd 221 loglog(1) k xmxkd 由两式相减得：由两式相减得：()kmmk d，故：，故：1d . . 首项为：首项为： 21 log=1xmk， 2 log n x通项为：通项为： 2 log=1 (1) n xmknmkn ； 则则 n x的通项为：的通项为：2m k n n x 前前mk项求和
24、：项求和： 1 1 11 2 22121 1 22 1 2 m k m km km k m k m k S 求公差和求首项是求通项的关键求公差和求首项是求通项的关键. . 1616、如果数列、如果数列 n a中中, , 1 5 6 a ， 1 1 11 32 n nn aa ，求通项，求通项? n a 解：解：整式递推数列用待定系数法整式递推数列用待定系数法. . 令：令： 1 1 111 ( )( ) 232 nn nn aa ，则：，则： 1 11111 ( )( )( ) 33 22 236 2 nnn nnn aaa 与与 1 1 11111 32322 nn nnn aaa 比较得：
25、比较得：3 令：令： 1 11 1 3( ) 2 n nn ba ，则：，则： 1 3( ) 2 n nn ba， 1 11 1532 3 ( ) 2623 ba 于是：于是： 1 1 3 n n b b ， n b是首项为是首项为 1 2 3 b ，公比为，公比为 1 3 q 的等比数列；的等比数列； 其通项为：其通项为： 1 212 () ( ) 333 n n n b 故：故： n a的通项为：的通项为： 123 3 ( ) 232 n nn nn ab 待定系数法确定新构建的等比数列通项待定系数法确定新构建的等比数列通项. . 1717、设数列、设数列 n a， 1 4a ，且当，且当
26、2n时满足：时满足： 1 321 nn aan ，求通项，求通项? n a 解：解：整式递推数列用待定系数法整式递推数列用待定系数法. . 令：令： 1 3(1) nn ancanc ， 则：则： 11 33333232 nnn aancncanc 与与 1 321 nn aan 比较得：比较得：1，1c. . 令：令：1 nnn bancan，则：，则： 11nn ban ， 11 1 16ba 故：故： n b是首项为是首项为 1 6b ，公比为，公比为 3 3 的等比数列的等比数列. . 11 1 6 32 3 nnn n bb q 于是：于是：12 31 n nn abnn 待定系数法
27、是如何构造等比数列的待定系数法是如何构造等比数列的？ 1818、设数列、设数列 n a， 1 1a ， 2 2a ，且满足：，且满足： 21 32 nnn aaa ， * ()nN，求通项，求通项? n a 解：解：本题是二阶递推数列，且看如何解：本题是二阶递推数列，且看如何解： 待定系数法：待定系数法：令：令： 211 () nnnn aaaa 则：则： 2111 () nnnnnn aaaaaa 与与 21 32 nnn aaa 比较系数得：比较系数得： 3 2 若将若将、看成是一元二次方程的两个根，则又韦达定理得到这个方程为：看成是一元二次方程的两个根，则又韦达定理得到这个方程为： 2
28、320 xx，而这正是采用特征根法的，而这正是采用特征根法的特征方程特征方程. . 上述方程的解为：上述方程的解为：1,2，或：，或：2,1，这两组解推出的数列通项的结果，这两组解推出的数列通项的结果 是一样的是一样的. . 取取2,1 令：令： 1nnn baa ，则，则 121nnn baa ， 121 1baa 于是：于是： 1 2 n n b b ，则，则 n b是首项为是首项为 1 1，公比为，公比为 2 2 的等比数列，其通项为：的等比数列，其通项为： 11 1 2 nn n bb q ，故：，故： 1 1 2n nnn aab ，即：，即： 1 1 2n nn aa 再用待定系数
29、法，令：再用待定系数法，令： 1 1 2(2 ) nn nn arp ar 则：则： 1 1 222(24 ) 2 nnn nnn apaprrpaprr 与与 1 1 2n nn aa 比较得：比较得：1p ， 1 2 r 令：令： 1 1 222 2 nnn nnnn caraa ，则：，则： 1 11 20 n ca 由于由于1p ，于是：，于是： 111 .0 nnn cccc 即：即： 1 20 n nn ac ，故：，故： 1 2n n a . . 现在用特征根法求解：现在用特征根法求解： 特征方程：特征方程： 2 320 xx，其两个根为：，其两个根为： 1 1x ， 2 2x
30、代入特征根法的二异根解得：代入特征根法的二异根解得： 1 12212 2 nnn n ac xc xcc 用用 1 1a ， 2 2a 代入上式，以确定代入上式，以确定 1 c、 2 c 则：则： 112 12acc ， 2 212 22acc，解得：，解得： 2 1 2 c ， 1 0c 故：故： 1 1 12212 22 nnnn n ac xc xcc 对于二阶递推数列，采用特征根法比较简洁对于二阶递推数列，采用特征根法比较简洁. . 1919、已知正项数列、已知正项数列 n a， 1 1a ，且满足：，且满足： 1 1 (4) 2 nnn aaa ，求通项，求通项? n a 解：解：
31、2 1 11 (4)(2)2 22 nnnn aaaa ，则：，则： 2 1 1 2(2) 2 nn aa 令：令： 11 2 nn ba ，则：，则：2 nn ba， 11 21ba ， 2 1 1b 代入上式得：代入上式得： 2 1 1 2 nn bb 于是：于是： 2 21 11 22 bb ； 23 2 32 1111 2222 bb ； 67 2 43 1111 2222 bb ； 1415 2 54 1111 2222 bb ； ； 11 212 2 1 111 2 222 nn nn bb 故：故： 1 2 1 222 2 n nn ab 这是递推数列的递推法这是递推数列的递推法
32、. . 另：也可取对数再做另：也可取对数再做 2020、已知数列、已知数列 n a中，中， 1 2a ，且满足：，且满足： 1 21 46 n n n a a a ， * ()nN，求通项，求通项? n a 解：解：将将 1 21 46 n n n a a a 化简为：化简为： 11 6210 nnnn a aaa 用不动点法解不动点方程：用不动点法解不动点方程： 21 46 x x x ； 即：即： 2 4410 xx ，方程的根为二重根：，方程的根为二重根： 12 1 2 xx ； 那么，二重根的不动点解为：那么，二重根的不动点解为： 112 11 nn c axax （c为待定常数）为待
33、定常数） 通分化简得：通分化简得： 211211nnnn axaxc axax ； 即：即： 11 1111 2222 nnnn aac aa ； 即：即： 11 424240 nnnn ca acacac 将将式与式与式对比得：式对比得：1c. . 令：令： 1 11 1 11 1 2 n n n b ax a ，则：，则： 2 11 1 2 n n n b ax a ， 1 1 12 1 5 2 b a 代入代入式得：式得： 1 1 nn bb 即：即： n b是一个首项为是一个首项为 2 5 、公差为、公差为 1 1 的等差数列的等差数列. . 故：故： 253 (1) 55 n n b
34、n . . 代入：代入： 1 1 2 n n b a ，即：，即： 11511053135 2532106106 n n nn a bnnn 不动点法根为二重根时，可构造等差数列解之不动点法根为二重根时，可构造等差数列解之. . 2121、已知数列、已知数列 n a中，中， 1 3a ，且满足：，且满足： 1 42 1 n n n a a a ，求通项，求通项? n a 解：解：将将 1 42 1 n n n a a a 化简为：化简为： 11 420 nnnn a aaa 用不动点法解不动点方程：用不动点法解不动点方程： 42 1 x x x ； 即：即： 2-3 20 xx，方程的根为二异
35、根：，方程的根为二异根： 1 1x ， 2 2x ； 设二异根解式满足：设二异根解式满足： 111 122 nn nn axax axax ，即：即： 1 1 11 22 nn nn aa aa 化简：化简： 11 12212 10 nnnn a aaa ； 即：即： 11 221 20 11 nnnn a aaa 比较比较两式得：两式得： 3 2 令：令： 111 1 121 1 2 nn n nn axa b axa ，则：，则： 1 2 n n n a b a ， 1 1 1 1 2 2 a b a 代入代入式得：式得： 1 3 2 nn bb 于是于是： n b是首项为是首项为 1 2
36、b 、公比为、公比为 3 2 的等比数列，的等比数列， 即：即： 1 1 2 33 2 22 n n n n b . . 代入代入 1 2 n n n a b a 得：得： 12 12 212 32 132 nn n n nn n b a b 不动点法根为二异根时，可构造等比数列求之不动点法根为二异根时，可构造等比数列求之. . 2222、已知数列、已知数列 n a中，中， 1 5a ，且满足：，且满足： 1 23 n n n a a a ，求通项，求通项? n a 解：解：将将 1 23 n n n a a a 化简为：化简为： 1 230 nnn a aa 用不动点法解不动点方程：用不动点
37、法解不动点方程： 23x x x ； 即：即： 2 230 xx，方程的二异根为：，方程的二异根为： 1 1x ， 2 3x 设二异根解式满足：设二异根解式满足： 111 122 nn nn axax axax ，即：即： 1 1 11 33 nn nn aa aa 化简：化简： 11 331 30 11 nnnn a aaa 比较比较两式得两式得: :3 令：令： 1 1 1 1 3 n n n a b a ，则：，则： 1 3 n n n a b a ， 1 1 1 1 3 3 a b a 代入代入式得：式得： 1 3 nn bb 于是：于是： n b是首项为是首项为 1 3b 、公比、公
38、比3的等比数列的等比数列. . 故：故： 11 3313 nn n n b 代入代入 1 3 n n n a b a ，即：，即： 31 1 n n n b a b 得：得： 1 1 1 131 131 n n nn n a 或或 1 1 1 31 31 n n nn n a 不动点法为二异根时，可构造等比数列求之不动点法为二异根时，可构造等比数列求之. . 2323、已知数列、已知数列 n a中，中， 1 4a ，且满足：，且满足： 2 1 2(1) n n n a a a ， 2 n n n a b a ，求通项，求通项? n b 解：解：由由 22 1 n n nn a b aa 得：得
39、： 11 2 n n b a 或或 2 1 n n a b 代入代入 2 1 2(1) n n n a a a 得：得： 2 2 2 1 4 2 11222 111112 212 11 nn nnnn n nn bb bbbbb bb 即：即： 2 1nn bb 则：则： 1 1 1 2421 42 a b a 2 2 21 1 2 bb 4 2 32 1 2 bb 8 2 43 1 2 bb 16 2 54 1 2 bb 1 1 2 2 1 2 11 2 2 n n nn bb 递推下去找规律递推下去找规律. . 吧中的数列题吧中的数列题 吧题吧题 1 1、设数列、设数列 n a中的每一项都
40、不为中的每一项都不为 0 0，证明，证明 n a为等差数列的充要条件是对任何为等差数列的充要条件是对任何 * n N，都有：都有： 1 22 3111 111 . nnn n a aa aa aa a . . 证明证明：若：若 n a为等差数列，则设：为等差数列，则设： 1 (1) n aand 当当0d时，有：时，有： 121 . n aaa ，于是，于是 1 22 3111 111 . nnn n a aa aa aa a 成立成立. . 当当0d 时，时， 1 111 11111 kk kkkkkk aa a ad a ad aa ，于是，于是 11 11 1111 nn kk kkkk
41、 a adaa 12231 1111111 . kk aaaaaad 11 111 n aad 11 11 1 n n aa da a 1111 1 nn ndn d a aa a 故，充分条件成立故，充分条件成立. . 若若 1 22 3111 111 . nnn n a aa aa aa a ， 则当， 则当 121 . n aaa 时， 满足上式，时， 满足上式， 此时此时 n a是公差为是公差为 0 0 的等的等差数列差数列. . 若若 1 22 3111 111 . nnn n a aa aa aa a ，当，当 121 ,., n a aa 互不相等时，设互不相等时，设 1kkk
42、daa ，则上式变为：，则上式变为： 1 111 111 11111 nnn kk kkk kkkkkkkk aa a ada adaa 11 111111 111 11 n nnn nnn kkk kkk aannnn a aa aaa ddd 即：即： 1 1 11 11 11111 n nn k kkk n kk kk nn daaaa dd 于是：于是： 112121 11 1111111 .0 nn nn kk kk nn daddada dd 对于任何对于任何 * n N都成立都成立，则：，则： 21 11 0 dd ， 32 11 0 dd ， 1 1 1 0 n k k n d
43、 d ， 1 1 0 n n k k n d d 于是：于是： 11 12 . n n aa ddd n 即：即： n a为等差数列为等差数列. . 故必要条件成立故必要条件成立. . 吧题吧题 2 2：对任一正整数：对任一正整数a，都存在正整数，都存在正整数,()b c b c，使得，使得 222 ,a b c成等差数列成等差数列. . 证明证明：设：设：b ma，c na，( ,)m n N 则：由则：由 222 ,a b c成等差数列得：成等差数列得： 222 2bac，即：即： 22 21mn 由由式得：式得： 2 1n 为偶数，则为偶数，则n为奇数为奇数. . 设：设：21nk，()
44、k N 代入代入式得：式得： 222 2(21)1 442mkkk 即：即： 22 221mkk 由由式得式得：m为奇数为奇数. . 设：设：21mj，()jN 代入代入式得：式得： 22 (21)221jkk，即：即： 22 441 221jjkk 即：即：2 (1)(1)j jk k 由由式，得到式，得到 4 4 种情况：种情况： 1 1 , j k都是偶数；此时，都是偶数；此时，(1) (1)jk，2j k，则，则0jk . . 2 2 , j k都是奇数；此时，都是奇数；此时，j k，2(1)1jk ，则，则1jk . . 3 3 j为奇数，为奇数，k为偶数；此时，为偶数；此时，1j k ，2(1)jk， 则：则：1 2(1) 1 23jkjj ，故：，故：3j，4k， 于是：于是：21 2 3 1 5mj ，21 2 4 1 7nk 则：则：5b maa，7cnaa 4 4 j为偶数，为偶数，k为奇数；此时，为奇数；此时，1jk ，
