1、 对高考真题中分段函数考查的分类解析 在高中数学考试大纲中，对分段函数的知识点有如下要求: (1)了解构成函数的要素会求 一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念(2)在实际情境中，会根据不同的需要选 择恰当的方法表示函数(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(4)理解函数的单调性、 最大值、最小值及其几何意义; 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(5)会运用函数图象 理解和研究函数的性质对近年来的高考试卷分析后，重点有以下三个考点， 一、求简单的分段函数的函数值一、求简单的分段函数的函数值 分段函数的求解过程， 常要结合分段讨论和数形结合的思想， 解题完成后再进行代入检 验 例 1 (20
2、15 全国卷)设函数 2 1 1 log (2),1 ( ) 2,1 x x x f x x ，则 2 ( 2)(log 12)ff （ ） A.3 B.6 C.9 D.12 答案：C 解析解析 由已知得 2 ( 2)1 log 43f 又 2 log 121， 所以 22 log 12 1log 6 2 (log 12)226f 故 2 ( 2)(log 12)9ff，故选 C. 例 2 (2015 山东卷)设函数 31,1 ( ) 2 ,1 x xx f x x ，则满足 ( ) ( ( )2 f a f f a的a取值范 围是（ ） A. 2 ,1 3 B.0,1 C. 2 ,) 3 D
3、.1,) 答案：C 解析解析 当1a 时，( )21 a f a ，所以， ( ) ( ( )2 f a f f a，即1a 符合题意 当1a 时，( )31f aa，若 ( ) ( ( )2 f a f f a，则( )1f a ，即31 1a ， 2 3 a ， 所以 2 1 3 a 综上：a取值范围是 2 ,) 3 例 3 (2017 全国卷)设函数 1,0 ( ) 2 ,0 x xx f x x ，则满足 1 ( )()1 2 f xf x的x的取 值范围是 答案： 1 (,) 4 解析解析 令 1 ( )( )() 2 g xf xf x， 当0 x时， 13 ( )( )()2 2
4、2 g xf xf xx， 当 1 0 2 x时， 11 ( )( )()2 22 x g xf xf xx， 当 1 2 x 时， 1 1 ( )( )()( 21)2 2 x g xf xf x 写成分段函数的形式： 1 3 2,0 2 111 ( )( )()2,0 222 1 ( 21)2, 2 x x xx g xf xf xxx x ， 函数( )g x在 区间(,0， 1 (0, 2 ， 1 ( ,) 2 三段区间内均单调递增，且 1 ()1 4 g ， 0 1 201 2 ， 0 1 ( 21) 21 ，据此x的取值范围是 1 (,) 4 点评点评 例题 1 相对比较简单，是基
5、本知识点考查，属于送分题，需要留意的是对数计算 时要细心例题 2 为分情况讨论，分别当1a 时和当1a 时进行计算，最后结合二种情况 得出结论， 考查了考生对函数基本概念的掌握程度 同时也对指数函数和不等式进行了考查， 属于一个综合题例题 3 也是对0 x时， 1 0 2 x和 1 2 x 时的情况进行了讨论，并写成 了分段函数形式，最终得出了x的取值范围从计算量和知识点多少上来说，该题有一定的 难度 二、二、求分段函数的单调性求分段函数的单调性 函数函数的单调性是关于函数的一个重点考查角度， 由于对分段函数的单调性的考查题 目设置角度丰富，涵盖的知识点具有多样性和灵活性，因此相关的题目也丰富
6、多彩 例例 1 (2016 天津卷)已知函数 2 (43)3 ,0 ( ) log (1) 1,0 a xaxa x f x xx (0a且1a )在 R 上单调递减，且关于x的方程( )2f xx恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围 是（ ） A. 2 (0, 3 B. 2 3 , 3 4 C. 1 23 , 3 34 D. 1 23 , ) 3 34 答案：C 解析解析 由( )f x在 R 上单调递减，则 2 01 43 0 2 0(43) 03log (0 1) 1 a a a aa ， 解得 13 34 a 由图象可知，在0,)上，( )2f xx有且只有一个解，故在(,0)上，
7、 ( )2f xx同 样 有 且 只 有 一 个 解 当32a， 即 2 3 a 时 ， 联 立 2 ( 43 )32xaxax，则 2 (43)4(32)0aa ，解得 3 4 a 或1a (舍去). 当1 32a时，由图象可知，符合条件综上选 C 例例 2 (2018 全国卷)已知函数 2 ,0 ( ) 1,0 x x f x x ， 则满足(1)(2 )f xfx的x的取值 范围是（ ） A.(,1 B.(0,) C.( 1,0) D.(,0) 解析解析 题中给出两个函数值的大小， 由此求出自变量的范围， 根据此题目中分段函数的 图象的变化情况， 可直接得出符合题目要求的自变量需要满足条
8、件： 20 21 x xx ， 解得0 x. 选 D 点评点评 例题一给出了分段函数的单调性， 要求符合题意的参数范围， 例题二给出了两个 函数值的大小，要求得出自变量的范围，这类型题目都是在考查给定函数的变化情况，也就 是函数的单调性， 研究分段函数的单调性， 首先需要确定在不同范围上各个初等函数的变化 情况， 然后再结合分段函数的单调性判断各段函数的临界点需要满足的约束条件， 需要同学 们对基本初等函数的研究到位并且具有从局部到整体的解决问题的角度 三、求分段函数的值域三、求分段函数的值域 对分段函数的值域的考查可以看作是对分段函数单调性的考查的一个延伸， 是在对分段 函的变化情况的 研究
9、后对函数值的范围的判断，常常也需要对分段函数的图象有基本的把 握 例例 1 (2016 北京卷)设函数 3 3 , ( ) 2 , xx xa f x x xa 若0a，则( )f x的最大值为 ； 若( )f x无最大值，则实数的取值范围是 答案：2，(, 1) 解析解析 求分段函数的最值时，应从局部到整体，根据自变量的范围选择相应的解析式， 先确定每个解析式在相应范围上的最值， 再整体比较得出分段函数的最值 含有参数的问题， 还需要有对图象进行变化的能力 例例1 (2015福建卷)若函数 6,2 ( ) 3log,2 a xx f x x x (0a且1a )的值域是4,)， 则实数a的取值范围是 答案：(1,2 解 析解 析 当2x， 故64x ， 要 使 得 函 数( )f x的 值 域 为 4,)， 只 需 1( ) 3log(2) a f xx x 的值域包含于4,)，故1a ，所以 1( ) 3log 2 a f x ，所以 3log 24 a ，解得12a，所以实数的取值范围是(1,2 点评点评 例题 2 考查分段函数的值域问题， 是一个需要逆向思维的问题， 分段函数的问题 需要分段讨论， 其中每个范围中得到的解集必须是相应范围的子集， 最终答案应是各个范围 下解的集合的并集，此类题目题型传统，解答方法单一，属于中档题目
