1、 一元二次方程一元二次方程章末重难点题型章末重难点题型 【考点【考点 1 一元二次方程的概念一元二次方程的概念】 【方法点拨】【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 【例 1】 （2018 秋茂名期中） 下面关于x的方程中： 2 20axx； 22 3(9)(1)1xx； 1 3x x ； 22 (1)0aaxa； 11xx一元二次方程的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【变式 1-1】（2018 秋准格尔旗期中）关于x的方程 2 (1)320axx是一元二次方程，则( ) A0a
2、B0a C1a D1a 【变式 1-2】（2018 秋汨罗市期中）方程 | | (2)4310 m mxxm 是关于x的一元二次方程，则( ) A2m B2m C2m D2m 【变式 1-3】（2018 春杭州期中）已知关于x的方程 2 1 (1)230 m mxx 是一元二次方程，则m的值为( ) A1 B1 C1 D不能确定 【考点【考点 2 一元二次方程的解一元二次方程的解】 【方法点拨】【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 【例 2】（2018 秋金牛区校级期中）
3、如果关于x的一元二次方程 22 (3)390mxxm有一个解是 0， 那么m的值是( ) A3 B3 C3 D0 或3 【变式 2-1】（2019 春岱岳区期中）已知m是方程 2 210 xx 的一个根，则代数式 2 242019mm的值 为( ) A2022 B2021 C2020 D2019 【变式 2-2】 （2019 春蚌埠期中） 若方程 2 0(0)axbxca中，a，b，c满足0abc和0abc， 则方程的根是( ) A1，0 B1，0 C1，1 D无法确定 【变式 2-3】（2018 秋桐梓县期中）m是方程 2 10 xx 的根，则式子 32 22018mm的值为( ) A201
4、7 B2018 C2019 D2020 【考点【考点 3 用指定方法解一元二次方程用指定方法解一元二次方程】 【方法点拨】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤. 【例 3】（2018 秋镇原县期中）用指定的方法解下列方程： （1） 2 4(1)360 x （直接开平方法） （2） 2 2510 xx （配方法） （3）(1)(2)4xx（公式法） （4）2(1)(1)0 xx x（因式分解法） 【变式 3-1】（2019 秋上栗县校级月考）按指定的方法解下列方程： （1） 2 670 xx（配方法） （2） 2 26(3)xx（因式分解法） （3） 2
5、 3410 xx （公式法） （4） 2 5(1)10 x （直接开平方法） 【变式 3-2】（2019 秋来宾期中）按指定的方法解下列方程： （1） 2 1 (21)320 2 x （直接开平方法） （2） 2 3410 xx （配方法） （3） 2 70 xx（公式法） （4） 2 133xx （因式分解法） 【变式 3-3】（2019 秋泰州月考）按照指定方法解下列方程： （1） 2 (21)9x （用直接开平方法） （2） 2 2980 xx （用配方法） （3） 2 230 xx （用求根公式法） （4）7 (52)6(52)xxx（用因式分解法） 【考点【考点 4 一元二次方程根的
6、判别式一元二次方程根的判别式】 【方法点拨】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握根的判别式：当b2-4ac0 时，方程有两个不相等的实数根； b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；b2-4ac0 时，方程无实数根，反之亦成立. 【例 4】（2019 春阜阳期中）已知关于x的一元二次方程 2 (2)2(1)10axaxa 有两个实数根 （1）求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若a为最大的正整数，求此时方程的根 【变式 4-1】关于x的一元二次方程为 2 2(2)0 xxm m （1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根； （2）m为何整数时，此方程的两个根都为正数 【变式4-2】（
7、2019春西湖区校级期中） 已知a、b、c为三角形的三边， 求证： 方程 222222 ()0a xacbxc 没有实数根 【变式 4-3】（2018 秋宜昌期末）已知 22 8160(0)xxmm是关于x的一元二次方程 （1）证明：此方程总有两个不相等的实数根； （2）若等腰ABC的一边长6a ，另两边长b、c是该方程的两个实数根，求ABC的面积 【考点【考点 5 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系】 【方法点拨】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积，并且能够灵活运用所学 知识对代数式进行变形得到两根之和与两根之积的形式，代入即可求值. 【
8、例 5】（2018 秋江汉区月考）已知 1 x， 2 x是方程 2 3350 xx的两个根，不解方程，求下列代数式的 值； （1） 22 12 xx （2） 12 11 xx 【变式 5-1】（2018 秋北湖区校级月考）已知m，n是方程 2 20140 xx的两个实数根，求下列代数式 的值 （1） 2 2015mm； （2） 2 2014 ()(1)mm m m ； （3） 2 22014mmn 【变式 5-2】（2018 秋江都区校级月考）已知 1 x， 2 x是关于x的一元二次方程 2 4410kxkxk 的两个 实根，是否存在实数k，使 1212 3 (2)(2) 2 xxxx成立？若
9、存在，求出k的值；若不存在，请说明理由 【变式 5-3】（2018 秋龙湖区校级月考）已知 1 x， 2 x是关于x的一元二次方程 22 2(1)50 xmxm的 两实数根，且 1 x， 2 x恰好是ABC另外两边的边长，已知等腰ABC的一边长为 7，求这个三角形的周 长 【考点【考点 6 有关一元二次方程传播问题有关一元二次方程传播问题】 【方法点拨】【方法点拨】解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤： 第 1 步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。 第 2 步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第 3 步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。 第 4 步：解方程。根据方
10、程的类型采用相应的解法。 第 5 步：检验。检验所求得的根是否满足题意。 第 6 步：答。 【例 6】（2019 春阜阳期中）今年春季某地区流感爆发，开始时有 4 人患了流感，经过两轮传染后，共有 196 人患了流感若每轮每人传染的人数相同，求每轮每人传染的人数 【变式 6-1】某人过新年用手机向他的一些好朋友发短信，获得信息的人也按该人发送的人数再加 1 人向外 发短信，经过两轮短信的发送共有 35 人手机上获得新年问候的同一条信息，问第一轮和第二轮各有多少人 收到新年问候的短信？ 【变式 6-2】（2019云南模拟）为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，倡导“我运动、我健 康、
11、我快乐”的生活方式，某县团委准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场， 根据场地和时间等条件，赛程计划安排 9 天，每天安排 5 场比赛，则该县团委应邀请多少个足球队参赛？ 【变式 6-3】（2019高阳县一模）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手 1 次 （1）若参加聚会的人数为 3，则共握手 次；若参加聚会的人数为 5，则共握手 次； （2）若参加聚会的人数为(n n为正整数），则共握手 次； （3）若参加聚会的人共握手 28 次，请求出参加聚会的人数 （4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A，)B，线段总数为多少 呢？请直
12、接写出结论 【考点【考点 7 有关一元二次方程面积问题有关一元二次方程面积问题】 【例 7】 （2019 春瑞安市期中）某农场要建一个饲养场（矩形)ABCD两面靠现有墙(AD位置的墙最大可用 长度为 27 米，AB位置的墙最大可用长度为 15 米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场 地及一处通道，并在如图所示的三处各留 1 米宽的门（不用木栏）建成后木栏总长 45 米设饲养场（矩 形)ABCD的一边AB长为x米 （1）饲养场另一边BC 米（用含x的代数式表示） （2）若饲养场的面积为 180 平方米，求x的值 【变式 7-1】（2019 春岱岳区期末）如图所示，有一长方形的空地，
13、长为x米，宽为 12 米，建筑商把它分 成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲建筑成住宅区，乙建成商场，丙开辟成公园 （1）请用含x的代数式表示正方形乙的边长： 米； （2）若丙地的面积为 32 平方米，请求出x的值 【变式 7-2】（2019贵阳模拟）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD，剪去图中阴影部分的四个全等 的直角三角形，再沿图中的虚线折起，可以得到一个长方体盒子，(A、B、C、D正好重合于上底面一点， 且)AEBF，若所得到的长方体盒子的表面积为 2 11cm，求线段AE的长 【变式 7-3】（2018 秋贵阳期末）已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30
14、cm，按如图所示 剪掉 2 个小正方形和 2 个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设 剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计） （1）EF cm，GH cm；（用含x的代数式表示） （2）若折成的长方体盒子底面M的面积为 2 300cm，求剪掉的小正方形的边长 【考点【考点 8 有关一元二次方程增长率问题有关一元二次方程增长率问题】 【例 8】（2019 春丰台区期末）“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容北京市将重 点围绕城市副中心、大兴国际机场、冬奥会、世园会、永定河、温榆河、南中轴等重要节点区域绿化，到 2022 年，全市将真正形
15、成一片集“万亩城市森林、百万乔灌树木、百种乡土植物、二十四节气林窗、四季景 观大道”于一体的城市森林2018 年当年计划新增造林 23 万亩，2019 年计划新增造林面积大体相当于 27.8 个奥森公园的面积，预计 2020 年计划新增造林面积达到 38.87 万亩，求 2018 年至 2020 年计划新增造林面 积的年平均增长率 【变式 8-1】 （2019 春延庆区期末） 2019 年中国北京世界园艺博览会于 4 月 28 日晚在北京 延庆隆重开幕， 本届世园会主题为“绿色生活、美丽家园”自开园以来，世园会迎来了世界各国游客进园参观据统计，仅 五一小长假前来世园会打卡的游客就总计约 32.
16、7 万人次其中中国馆也是非常受欢迎的场馆据调查，中 国馆 5 月 1 日游览人数约为 4 万人，5 月 3 日游览人数约为 9 万人，若 5 月 1 日到 5 月 3 日游客人数的日增 长率相同，求中国馆这两天游客人数的日平均增长率是多少？ 【变式 8-2】（2019 春顺义区期末）今年，我区某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大 课间”活动现需要购进 100 个某品牌的足球供学生使用经调查，该品牌足球 2017 年单价为 200 元，2019 年单价为 162 元 （1）求 2017 年到 2019 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率； （2）选购期间发现该品牌足球在标价
17、162 元的基础上，两个文体用品商店有下列不同的促销方案，试问去 哪个商店买足球更优惠？ 【变式 8-3】 （2019福田区模拟）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并 统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在 2016 年图书借阅总量是 7500 本，2018 年 图书借阅总量是 10800 本 （1）求该社区的图书借阅总量从 2016 年至 2018 年的年平均增长率； （2）已知 2018 年该社区居民借阅图书人数有 1350 人，预计 2019 年达到 1440 人，如果 2018 至 2019 年图 书借阅总量的增长率不低于 2016 至 2
18、018 年的年平均增长率， 那么 2019 年的人均借阅量比 2018 年增长%a， 求a的值至少是多少？ 【考点【考点 9 有关一元二次方程利润问题有关一元二次方程利润问题】 【例 9】（2019杏花岭区校级三模）某公司销售一种产品，进价为 20 元/件，售价为 80 元/件，公司为了 促销，规定凡一次性购买 10 万件以上的产品，每多买 1 万件，每件产品的售价就减少 2 元，但售价最低不 能低于 50 元/件，设一次性购买x万件(10)x （1）若15x ，则售价应是 元/件； （2）一次性购买多少件产品时，该公司的销售总利润为 728 万元； 【变式 9-1】（2019 春闽侯县期末）
19、电商时代使得网购更加便捷和普及小张响应国家号召，自主创业， 开了家淘宝店 他购进一种成本为 100 元/件的新商品， 在试销中发现： 销售单价x（元)与每天销售量y（件 )之间满足如图所示的关系 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若某天小张销售该产品获得的利润为 1200 元，求销售单价x的值 【变式 9-2】（2019沙坪坝区校级一模）2019 年 6 月 18 日是重庆直辖 22 年的纪念日.22年来，巴渝大地发 生了翻天覆地的变化，一大波网红景点成为城市新地标的同时，也见证着城市面貌的改变，并让一大批重 庆特产走出重庆，享誉世界在网红景点“洪崖洞”某重庆特产专卖店销售特产“合川桃片
20、”，其进价为每千克 15 元，按每千克 30 元出售，平均每天可售出 100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 1 元，则平均 每天的销量可增加 20 千克 （1）若该专卖店“合川桃片”3 月 31 日的销量为 280 千克，则该天每千克的售价为多少元？ （2）若该专卖店要想 4 月 1 日的获利比（1）中 3 月 31 日的获利多 320 元，则每千克“合川桃片”应为多少 元？ 【变式 9-3】 （2019沙坪坝区校级二模）某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的 进价之和为 30 元，每件甲种商品的利润是 4 元，每件乙种商品的售价比其进价的 2 倍少 11 元，小
21、明在该 商店购买 8 件甲种商品和 6 件乙种商品一共用了 262 元 （1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品 400 件和乙种商品 300 件，如果将甲 种商品的售价每提高 0.1 元，则每天将少售出 7 件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高 0.1 元，则每天 将少售出 8 件乙种商品经销商决定把两种商品的价格都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多 少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共 2500 元？ 【考点【考点 10 有关一元二次方程动点问题有关一元二次方程动点问题】 【例 10】（2019
22、 春蚌埠期中）如图，在Rt ABC中，90C，30ACcm，21BCcm，动点P从点C 出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1/cm s那么 运动几秒时，它们相距15cm？PCQ的面积能等于 60 平方厘米吗？为什么？ 【变式 10-1】 （2019东台市模拟）如图，在矩形ABCD中，6ABcm，12BCcm，点P从点A出发沿AB 以1/cm s的速度向点B移动； 同时， 点Q从点B出发沿BC以2/cm s的速度向点C移动， 几秒种后DPQ的 面积为 2 31cm？ 【变式 10-2】（2019 春雨花区校级月考） 如图所示，A、B、C、D是矩形的
23、四个顶点，16ABcm，6ADcm， 动点P，Q分别从点A，C同时出发， 点P以3/cm s的速度向点B移动， 一直到达点B为止， 点Q以2/cm s 的速度向点D移动 （1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为 2 33cm？ （2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？ 【变式 10-3】（2019宿迁三模）如图，在矩形ABCD中，6ADcm，12BCcm，点P从点B出发沿线段 BC、CD以2/cm s的速度向终点D运动； 同时， 点Q从点C出发沿线段CD、DA以1/cm s的速度向终点A 运动(P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止） （1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？ （2）在运动过程中，APQ的面积能否等于 2 22cm？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由
