1、*几何体中的的截面问题1定义及相关要素用一个平面去截几何体， 此平面与几何体的交集， 叫做这个几何体的截面 此平面与几何体表面的交集 (交线)叫做截线此平面与几何体的棱的交集 (交点)叫做截点2作多面体的截面方法 (交线法 )：该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面题型一、截面的形状1P、Q、R 三点分别在直四棱柱 AC1 的棱 BB1、CC1 和 DD1 上，试画出过 P、Q、R 三D1 C1点的截面B1A1 QRPD CA B1 解答： (1)连接 QP、QR 并延长，分别交 CB、CD 的延长线于 E、F.D1C1(2)连接 EF 交 AB
2、 于，交 AD 于 SA1B1Q(3)连接 RS、TP。则多边形 PQRST 即为所求截面。RPFS D CA B TE2已知 P、Q、R 分别是四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的棱 CD、DD 1 和 AA1 上的点，且 QR与 AD 不平行，求作过这三点的截面D1 A1QC1RDB1D 1APCA1QC1B2 解答： (1)连接 QP 并延长交 DA 延长线于点 I。RDB1(2)在平面 ABCD 内连接 PI 交 AB 于点 M。IA PMC(3)连接 QP、RM。则四边形 PQRM 即为所求。B注：若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。若面上只
3、有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。3一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能 是A B C D1*3 答案： D解析：考虑过球心的平面在转动过中， 平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选 D。题型二、截面面积、长度等计算4过正方体 ABCD A1B1C1D1 的对角线 BD1 的截面面积为 S，Smax 和 Smin 分别为 S的最大值和最小值，则SmaxSmin的值为 ( )A32B62C2 3 2 6D3 34 答案： C解析： 设 M、N 分别为 AA1、C
4、C1 的中点 .易证截面 BMD 1N 是边长为52的菱形 (正方体棱长设为 1),其面积 S(min)=62. 而截面 BB1D1D 是矩形 ,其面积 S(max)= 2 5. 如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 的内切球，则平面 ACD 1 截球 O 的截面面积为 5 答案：解析：平面 ACD1 是边长为 的正三角形，且球与以点 D 为公共点的三个面的切点恰为三角形 ACD1三边的中点， 故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得， ACD1 内切圆的半径是 tan30= ，则所求的截面圆的面积是 = 6已知球的半径为 2 ，相互垂直的两个平面分别
5、截球面得两个圆若两圆的公共弦长为 2 ，则两圆的圆心距等于（ ）2A 1 B 2 C 3 D 26 答案： C 解析： O1 与 O2 的公共弦为 AB ，球心为， AB 中点为 C，则四边形 O1OO2C 为矩形，|OO | |OC |, | OA | 2,1 2所以2 2| AC | 1, AC OC |OC | |OA | | AC | 37已知正四棱锥 PABCD 的棱长都等于 a,侧棱 PB、PD 的中点分别为 M、N，则截面 AMN与底面 ABCD 所成二面角大小的正切值为 7 答案：122解析：过 A 在平面 ABCD 内作直线 l BD ，连接 AC,BD交于 O，连接 PO，
6、MN 记 PO、MN 交于 O因为 PB、PD 的中点分别为 M、N ，所以 MN /BD，因为 l BD ，所以 l MN ，A l ，所以 l 平面 AMN ， l 平面 AMN平面 ABCD 易知 O AO 即为面 AMN 与底面 ABCD 所成二面角的平面角2 2 1AO PO a O O a tan O AO2 4 28如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，P 为 BC 的中点， Q 为线段 CC1 上的动点，过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S。则下列命题正确的是 _当01CQ 时，S 为四边形2当1CQ 时，S 为等腰梯形2当3CQ 时，S 与C
7、1D1的交点 R 满足 C1R1413当34CQ 1时，S 为六边形当 CQ 1时，S 的面积为628答案： 解析： D D T AT / PQ AT 2PQ DT 2CQ 设截面与 1 相交于 ，则 且 .1对， .当0 CQ 时,则 0 DT 1.所以截面 S为四边形，且 S为梯形 .所以为真 .21对, .当CQ 时, DT = 1 ,T与D1重合，截面S为四边形 APQD1,所以AP D1Q.截面2S为等腰梯形 . 所以为真 .3 1 3 1 1对, 当 时. CQ QC1 ,DT , D T .利用三角形相似解得 C R .1 1 14 4 2 2 3所以为真 .3 3对, DT 2
8、.当 CQ 1时, .截面 S与线段 A1D1 ,D1C1 相交，所以四边形 S为五边4 2形.所以为假 .对, CQ C S A D G APC G A.当 1时，Q与 1重合,截面 与线段 相交于中点 即为菱形 .1 1 1 1 16对角线长度分别为 . 2和 3，S的面积为 所以为真 .239如图， ABCD A1B1C1D1 为正方体。任作平面 与对角线 AC 垂直， 使得 与正方体的每个面都有公共点， 记这样得到的截面多边形的面积为 S，周长为 l . 则（ ）AS 为定值， l 不为定值 B S 不为定值， l 为定值CS 与l 均为定值 D S 与 l 均不为定值9 答案:B解析
9、 :将正方体切去两个正三棱锥 A A BD 与 C D B C 后，得到一个以平行平面 A BD与 D B C 为上、下底面的几何体 V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形 W 的每一条边分别与 V 的底面上的一条边平行， 将 V 的侧面沿棱 A B 剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形 AB B1A1，而多边形 W 的周界展开后便成为一条与 AA1 平行的线段（如图中E E ），显然 A A1 EE1 ，故 l 为定值。1当E 位于 A B 中点时，多边形 W为正六边形，而当 E 移至 A 处时，W为正三角形，易知周长为定值 l 的正六边形与正三角形面积分别为3242l 与
10、3362l ，故 S不为定值。题型三、截面图形的计数10设四棱锥 P ABCD 的底面不是平行四边形 , 用平面 去截此四棱锥 , 使得截面四边形是平行四边形 , 则这样的平面 ( )A. 不存在 B. 只有 1 个 C. 恰有 4 个 D. 有无数多个10 答案： D解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m，n，直线 m 、n 确定了平面 ，作与 平行的平面 与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形这样的平面 有无数多个11过正四面体 ABCD 的顶点 A做一个形状为等腰三角形的截面， 且使截面与底面 BCD 成75 角，问这样的截面可作几个？11 答案： 6 个解析：可以证明正四面
11、体的棱、 侧面与底面成角均小于 75 度，这样过顶点与底面成 75 度角，且平行与底面一条边的 截面也就是符合题意的截面，有两个。三条边就是 6 个。题型四、截面图形的性质12如图 4，在透明的塑料制成的长方体 ABCD-A 1B1C1D1 容器内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：4A 1 D1 水的部分始终呈棱柱状； 水面 EFGH 的面积不改变； 棱 A 1D1 始终与水面 EFGH 平行； 当容器倾斜到如图 4（2）时， BE BF 是定值；EABB1HD C1F GC图 4（1）其中正确的命题序号是 _A 1D 112 答案
12、：解析 当长方体容器绕 BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故正确；在转动过程中 EH/FG ，但 EH 与 FG的距离 EF 在变， 所以水面 EFGH 的面积在改变， 故错误；在转动过程中， 始终有 D D / EFGH BC/FG/A A ，所以 面 ，正 1 1 1 1AEBB1 C1D HGFC图 4（2）1确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图 5（2），因为 V BE BF BC水 是定值，又2BC 是定值，所以 BE BF 是定值，即正确。13有一容积为 1 立方单位的正方体容器 ABCD-A 1B1C1D1，在棱AB 、BB1 及对角线 B1C 的中点各有一小孔
13、 E、F、G，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是DA B ECA12B78C1112D4748D1 FGC113 答案： CA 1图（1）B 1解析：本题很容易认为当水面是过 E、F、G 三点的截面时容器可 1 1 1 7V 1 1 立方单 2 2 2 8装水的容积最大图 6（1），最大值为位,这是一种错误的解法， 错误原因是对题中 “容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图 6（2）EB1C 时容器的容DA B EGFD1CC1积最大，最大容积为1 1 1 11V 1 1 1 3 2 2 12A1 B 1图（2）14(08 年江西 )如图 1，一个正四棱柱形的密闭
14、容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有 a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 P。如果将容器倒置，水面也恰好过点 P （图 2）。有下列四个命题：PPA正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 PC任意摆放该容器， 当水面静止时， 水面都恰好经过点 P图 1 图 2 D若往容器内再注入 a升水，则容器恰好能装满其中真命题是：14 答案： BD解析： a升水对应的体积为 V ，则正四棱锥的体积V2，正四棱柱的体积为V 5V V V2 25容器的盛水量为 2V 易知所盛水的容积为容器容量的一半，故 D 正确，于是 A 错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点 P，故 B 正确；C 的错误可由图 1 中容器位置向右边倾斜一些可推知点P 将露出水面。6
