1、 - 1 - 高二数学 1 月月考试题 03 一、选择题 (以下题目从 4项答案中选出一项，每小题 5分，共 40分 ) 1. 设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点 O ，球面上有两个点 ,AB的坐标分别为? ? ? ?1, 2, 2 , 2, 2,1AB ?，则 ?|AB ( ) A 18 B 12 C 32 D 32 2. 函数 ? ? 23xf x x?的零点所在的一个区间是（ ） A ? ?2, 1? B ? ?1,0? C ? ?0,1 D ? ?1,2 3. 用火柴棒摆 “ 金鱼 ” ，如图所示： 按照上面的规律，第 n 个 “ 金鱼 ” 图需要火柴棒的根数为（ ） A 62n?
2、 B 82n? C 62n? D 82n? 4. 圆 221xy?与直线 2y kx?没有公共点的充要条件是（ ） A ( 3, 3)k? B ( , 3 ) ( 3 , )k ? ? ? ? C ( 2, 2)k? D ( , 2 ) ( 2 , )k ? ? ? ? 5. 以椭圆 22125 9xy?的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程 ( ) A 22116 41xy? B 22116 9yx? C 22116 9xy? D 22116 41yx? 6. 如图，三棱锥 V ABC? 底面为正三角形，侧面 VAC 与底面垂直且 VA VC? ,已知其主视图的面积为 23 ，则其 侧 视图的
3、面积为 ( ) A 32 B 33 C 34 D 36 .7. 在 ABC? 中 , AMACAB 2? ， 1AM? ,点 P 在 AM 上且满足 PMAP 2? ,则()PA PB PC?等于 ( ) A 49 B 43 C 43? D 49? 8. 对于平面直角坐标 系 内的任意两点 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y，定义它们之间的一种 “ 距离 ” ：1 2 1 2A B x x y y? ? ? ?给出下列三个命题： ? - 2 - 若点 C在线段 AB上，则 AC CB AB?; 在 ABC? 中，若 C=90 ，则 2 2 2AC C B AB?； 在
4、 ABC? 中， AC CB AB? 其中真命题的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 二、填空题 （每小题 5 分，共 30 分） 9. 对于命题 p ： xR?， 2 10xx? ? ? ， 则 p? 是 . 10. 某学校高一、高二、高 三年级的学生人数之比为 3 3 4: ，现用分层抽样的方法从该校高中三 个年级的学生中抽取容量为 50的样本，则应从高二年级抽取 名学生 11. 已知函数 2( ) logf x x? ，在区间 1,22?上随机取一个数 0x ，则使得 0()fx 0 的概率为 12. 已知 ,xy满足 10102 5 0xxyxy? ? ? ? ?，则 2y
5、z x? ? 的最大值为 13. 已知以双曲线 C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为 60? ，则双曲线 C的离心率为 . 14. 如图，边长为 a的正 ABC的中线 A . F与中位线 DE 相交于 G，已知 AED 是 AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题： 动点 A 在平面 ABC上的射影在线段 AF上； 恒有平面 AGF 平面 BCED； 三棱锥 A FED 的体积有最大值； 异面直线 AE 与 BD不可能互相垂直； 其中正确命题的序号是 三、解答题 （共 6小题，共 80分） 15. (本 小 题满分 12分 ) 在 ABC? 中 ， 已知 4A
6、 ? ， 4cos 5B? （ 1）求 cosC 的值 ； （ 2）若 10BC? ，求 ABC? 的 面积 16. (本 小 题满分 12分 ) 已知命题 p ：方程 22131xytt? 所表示的曲线为焦点在 x轴上的椭圆；命题 q ：实数 t 满足不等式 2 ( 1)t a t a? ? ? （ 1）若命题 p 为真，求实数 t 的取值范围； （ 2）若命题 p 是命题 q 的充分不必要条 件，求实数 a 的取值范围 - 3 - 17. (本 小 题满分 14分 ) 如图，在三棱锥 P ABC? 中， 2AC BC?， 90ACB?， AP BP AB?，PC AC? （ 1）求证： P
7、C AB? ； （ 2）求二面角 B AP C?的正弦值； 18. (本 小 题满分 14分 ) 已知圆 2 2 211: ( 0)O x y r r? ? ?与圆 2 2 222: ( ) ( ) ( 0 )C x a y b r r? ? ? ? ?内 切，且两圆的圆心关于直线 : 2 0l x y? ? ?对称 直线 l 与圆 O 相交于 A 、 B 两点，点 M 在圆 O 上，且满足 .OM OA OB? （ 1）求圆 O 的 半径 1r 及圆 C 的圆心坐标 ；（ 2）求直线 l 被圆 C 截得的弦长 19. (本 小 题满分 14分 ) 如图，椭圆的中心在坐标原点 O ，左右焦点分
8、别为 12,FF， 右顶点为 A ，上顶点为 B ，离心率 35e? ，三角形 12BFF? 的周长为 16 直线 )0( ? kkxy 与 AB 相交于点 D ，与椭圆相交于 ,EF两点 （ 1）求该椭圆的标准方程（ 2）求四边形 AEBF 面积的最大值 D F B y x A O E A C B P - 4 - 20. (本 小 题满分 14分 ) 已知数列 na 和 nb 满足： 1a ? ,1 2 4 , ( 1 ) ( 3 2 1 ) ,3 nn n n na a n b a n? ? ? ? ? ? ? ?其中 ?为实数， n 为正整数 （ 1）对任意实数 ? ，证明数列 na 不
9、是等比数列； （ 2）试判断数列 nb 是否为等比数列，并证明你的结论； （ 3）设 0 ab?, nS 为数列 nb 的前 n 项和是否存在实数 ? ，使得对任意正整数 n ，都有 na S b?若存在，求 ? 的取值范围；若不存在，说明理由 - 5 - 答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 C B C A C B D B 二、填空题 9 2 10x R x x? ? ? ? ?， 10 15 11 23 12 1 13 62 14 三、解答题： 15 解：（ 1） 4cos ,5B? 且 (0, )B ? ， 2 3sin 1 co s 5BB? ? ? ?2 分 3c o s
10、 c o s ( ) c o s ( )4C A B B? ? ? ? ? ?4 分 3 3 2 4 2 3c o s c o s s i n s i n4 4 2 5 2 5BB? ? ? ? ? ? ?210? ?6 分 （ 2）由（ 1）可得 22 27s in 1 c o s 1 ( ) 21 0 1 0CC? ? ? ? ? ? ?8 分 由正弦定理得 sin sinBC ABAC? ，即 1072 2102AB? ，解得 14AB? （或 62AC? ） 10分 在 BCD? 中， 1 1 3s i n 1 4 1 0 4 22 2 5ABCS A B B C B? ? ? ? ?
11、 ? ? ? ? ?12 分 16解 ： （ 1） 方程 22131xytt? 所表示的曲线为焦点在 x 轴上的 椭圆 3 1 0tt? ? ? ? ?3 分 解得： 11t? ? ?6 分 （ 2） 命题 P是命题 q的充分不必要条件 11t? ? 是不等式 2 ( 1)t a t a? ? ? ( 1)( )t t a?0? 解集的真子集 ? 分 法一：因方程 2 ( 1)t a t a? ? ? ( 1)( ) 0t t a? ? ? 两根为 1,a? 故只需 1a? ?12 分 法二：令 2( ) ( 1)f t t a t a? ? ? ?，因 ( 1) 0 , (1) 0ff? ?
12、 ?故 只 需? 分 解得： 1a? ?12 分 - 6 - 17 （ 1）取 AB 中点 D ，连结 PD CD， AP BP? ， PD AB? AC BC? ， CD AB? PD CD D? ， AB?平面 PCD PC? 平面 PCD ， PC AB? ? 6分 （ 2） AC BC? ， AP BP? ， APC BPC? 又 PC AC? ， PC BC? 又 90ACB?，即 AC BC? ，且 AC PC C? ， BC?平面 PAC 取 AP 中点 E 连结 BE CE， AB BP? ， BE AP? EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影， CE AP? BEC? 是
13、二面角 B AP C?的平面角 在 BCE 中， 90BCE?， 2BC? ， 3 62BE AB?， 6sin 3BCBEC BE? ? ? ? ? 14 分 18解：（ 1） 法一： OM OA OB?，且 OA OB OM? ?四边形 OAMB 为菱形， OM 垂直平分 AB 且 60MOA? ? ? ?点 O 到 AB 距离为 12r ? 1220 0 2211 r? ?，解出 1 2r? ? 6分 两圆的圆心关于直线 : 2 0l x y? ? ?对称， 20220 110abba? ? ? ? ? ? ? ?解得 ( 2, 2)C ? ? 9分 法二：由2 2 2120xyx y
14、r? ? ? ?消去 y ，得 2212 2 2 2 0x x r? ? ? ? ? ? ? ?2 212 2 4 2 2 0r? ? ? ? ? ? ?得 1 1r? （ *） ? 3分 设 ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 0 0, , , , ,A x y B x y M x y， A C B D P A C B E P - 7 - 则 0 1 2 2x x x? ? ? ?， 0 1 2 1 2 2 2 2y y y x x? ? ? ? ? ? 又 ? ?2, 2M ? 在圆 O 上， ? ? ? ?2221 2 2 4r? ? ? ? ?满足（ *）式 ? 6分 （ 2） 圆
15、22:4O x y?与圆 2 2 222: ( 2 ) ( 2 ) ( 0 )C x y r r? ? ? ? ?内 切， ? ? ? ?222 2 2 2 2r O C? ? ? ? ? ? ?解得 2 0( ) 4rr?舍 去 或 ? 12 分 圆心 C 到直线 l 的距离为 2 2 2 12d? ? ? ?直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2222 2 1 6 1 2 1 5rd? ? ? ? 14分 19 解：（ 1）设椭圆的方程为 )0(12222 ? babyax ，焦距为 2c ， 依题意有2 2 2352 2 16a b cceaac? ?，解得 543abc?椭圆的方程为 2
16、2125 16xy?， 5分 (2) 解法一： 由 22125 16y kxxy? ?消去 y ,得 22(16 25 ) 400kx? 如图，设 1 1 2 2( ) ( )E x kx F x kx， ， ，其中 12xx? ， 12 222 0 2 0,1 6 2 5 1 6 2 5xxkk? ? ? ? 8分 直线 AB 的方程分别为 154xy?即 4 5 20 0xy?， ?点 EF， 到 AB 的距离分别为 ? ?211122 0 4 5 1 6 2 54 5 2 041 4 1 1 6 2 5kkx k xhk? ? ?， ? ?2222 22 0 4 5 1 6 2 54 5
17、 2 041 4 1 1 6 2 5kkx k xhk? ? ? 10分 又 225 4 41AB ? ? ?，所以四边形 AEBF 的面积为 121 ()2S AB h h? ? ? 24 0 4 51 412 4 1 1 6 2 5k k? ? ?220 4 516 2 kk? ?221 6 2 5 4 020 1 6 2 5kkk? ?- 8 - 2 24 0 4 02 0 1 2 0 1 2 0 21 6 2 5 2 1 6 2 5kkk k? ? ? ? ? ?， 当 且仅当 216 25k? 即 45k? 时，上式取等号所以 S 的最大值为 202 14分 解法二：由题设， 4BO? ， 5AO? 设 11y kx? ， 22y kx? ，由 得 2 0x? ， 210yy? ? ， 且
