1、 1 2019届高二上学期第一次月考 理数试卷 一、选择题（共 12小题。每小题 5分，共 60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。） 1已知等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 4518aa?，则 8S? （ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 2设集合 ? ?10 , 3 1 0 , ,3 1 0xyA x y x y x y Rxy? ? ? ? ? ? ? ? ?，则 A 表示的平面区域的面积是 ( ) A. 2 B. 32 C. 322 D. 2 3若将函数 cos2yx? 的图象向左平移 12? 个单位 长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
2、 A ? ?26kx k Z? ? ? B ? ?26kx k Z x? ? ? C ? ?2 12kx k Z? ? ? D ? ?2 12kx k Z? ? ? 4已知等比数列 ?na 为递增数列，且 ? ?25 1 0 2 1, 2 5n n na a a a a? ? ?，则数列 ?na 的通项公式 na?（ ） A. 2n B. 3n C. 2n? D. 3n? 5若 ABC? 的内角 A B C、 、 的对边分别为 a b c、 、 ，且 sin sin 2 sin sina A c C a C b B? ? ?，则 B等于（ ） A. 6? B. 4? C. 3? D. 34?
3、6已知变量 x ， y 有如 下观察数据 x 0 1 3 4 y 2.4 4.5 4.6 6.5 若 y 对 x 的回归方程是 0.83?y x a?，则其中 a 的值为（ ） A. 2.64 B. 2.84 C. 3.95 D. 4.35 2 7 ? ? ?001 ta n 1 7 1 ta n 2 8?的值是（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 8已知点 ? ?,Pxy 的坐标满足条件 4 1xyyxx?，则 22xy? 的最大值为（ ） A. 10 B. 8 C. 10 D. 16 9已知函数 ( ) ( 1)( )f x ax x b? ? ?,如果不等式 ( ) 0fx?
4、 的解集是 ( 1,3)? 则不等式 ( ) 0fx?的解集是（ ） A ( , 1) (3, )? ? ? ? B ( 3,1)? C ( , 3) (1, )? ? ? ? D ( 1,3)? 10九章算术勾股章有一 “ 引葭赴岸 ” 问题 ： “ 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐 .问水深、葭长各几何 .” 其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺 .若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ） A. B. C. D. 11已知 O 是 ABC? 所
5、在平面内一点，若对 Rk? ,恒有? ? OAOCOCkOBkOA ? 1 ,则 ABC? 一定是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 12 Rt ABC? 中， P 是斜边 BC 上一点，且满足： 12BP PC? ,点 ,MN在过点 P 的直线上，若 ,AM AB AN AC?,( , 0)? ,则 2? 的最小值为（ ） A. 2 B. 83 C. 3 D. 103 二 、 填空题 (共 4小题，每小题 5 分，共 20分。 ) 13数列 ?na 满足， 1 2 3231 1 1 1 212 2 2 2 nna a a a n? ? ? ? ? ?，写出数列
6、 ?na 的通项公式_ 14若 x ， y 满足约束条件 2 1 0, 2 7 0, 1,xyxyx? ? ? ? ?则 1yx? 的取值范围为 _ 3 15 ? )310(t an40s in 00 _ 16已知 cba, 为正实数，给出以下命题： 若 032 ? cba ，则 acb2 的最小值是 3； 若822 ? abba ，则 ba 2? 的最小值是 4； 若 ? ? 4? bccbaa ，则 cba ?2 的最小值是22 ； .其中正 确结论的序号是 _ . 三 、 解答题（本大题共 6个小题，共 70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17（ 10 分）数列 ?
7、na 的前 n 项和记为 nS ， 11?a ， )1(121 ? nSa nn （ 1）求 ?na 的通项公式； （ 2）等差数列 ?nb 的各项为正，其前 n 项和为 nT ， 且 153?T ，又 11 ba? ， 22 ba? ， 33 ba? 成等比数列，求 nT 18（ 12 分）如图，在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc , ? ?cosCa b sinC? . （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 ,2AD? 为 ABC? 外一点， 2, 1DB DC? ，求四边形 ABCD 面积的最大值 . 19（ 12 分）已知 ? ?1s in , , 3 c o s
8、 s in , 12a x b x x? ? ? ?，函数? ? f x ab? ， ABC? 的内角 ,ABC 所对的边长分别为 ,abc. （ 1）若 1, 3 , 12BCf a b? ? ? ?，求 ABC? 的面积 S ； （ 2）若 ? ? 30,45f? ? ?，求 cos2? 的值 . 4 20（ 12 分）设数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且 ? ? ? ?*2 2 1nnS n a n N? ? ? ?. (1) 求 1a 的值，并用 1na? 表示 na ； (2) 求数列 ?na 的通项公式； (3) 设1 3 2 4 3 5 21 1 1 1nnnT a a
9、a a a a a a ? ? ? ? ?，求证： 53nT?. 21（ 12 分）已知函数 )2,0,0)(s i n ()( ? ? AxAxf 的部分图象如图所示 （ 1）求函数的解析式； （ 2）设 1 1112 12x? ，且方 程 ()f x m? 有两个不同 的实数根，求实数 m的取值范围和这两个根的和 22（ 12 分）已知数列 ?na 满足 1112 , 2 2 nnna a a ? ? ?. （ 1）设 2nn nab?，求数列 ?nb 的通项公式； （ 2）求数列 ?na 的前 n 项和 nS ； 5 （ 3）记 ? ? ? ?211 4 2 2n nn nnnncaa
10、? ? ? ，求数列 ?nc 的前 n 项和 nT . 信阳高中 2019届高二上学期第一次月考 理数答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 B 6 B 7 D 8 C 9 C 10 B 11 A 12 B 11.在边 BC上任取一点 E,连接 AE,那么 BEBCk ? , BAOBOA ? , CBOCOB ? ,原不等式等价于 ACBEBABCkBA ? ,又点 E不论在任何位置都有不等式成立，所以由垂线段最短可得 ECAC? ,即 090?C ,则 ABC? 一定是直角三角形，故选 A. 12 2 1 2 13 3 3 3A P A B A C A M A N? ? ? ?，因为 ,
11、MNP 三点共线，所以 21133?，因此 ? ? 2 1 4 4 4 4 82 2 23 3 3 3 3 3 3 3 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，选 B. 1316, 1 2 , 2n n na n? ? ?14 15,22?15 -1 16 16 因为 032 ? cba ，所以 23cab ? ，于是，? ? 3234942234944 3 22 ? accaaccaac caacb ，所以选项正确； 因为abba 222 ? ，所以 ? ?422 2baab ? ，又因为 822 ? abba ，所以? ? ? ? 84
12、22 2 ? baba ，整理为 ? ? ? ? 032242 2 ? baba ，解得， 42 ? ba ，故ba 2? 的最小值是 4，故选项正确； 原式整理为 42 ? bcacaba ，即? ? ? ? ? ? ? ? ?4224 22 cbabacabacabacbaa ? ? ，即? ? 162 2 ? cba ，所以 cba ?2 的最小值为 4，故选项错误；（ 若 4222 ? cba ，则 bcab 25 ? 的最大值是72 22222222 72275272754 cbbacbba ? ? ? ，整理后为7225 ? bcab ，故选项正确，）故正确的命题序号为 . 17（
13、 1）因为 an+1=2Sn+1， ? 所以 an=2Sn 1+1（ n2 ）， ? 所以 两式相减得 an+1 an=2an，即 an+1=3an（ n2 ）。 2分 又因为 a2=2S1+1=3，所以 a2=3a1，。 4分 故 an是首项为 1，公比为 3 的等比数列 a n=3n 1。 5分 （ 2）设 bn的公差为 d，由 T3=15得，可得 b1+b2+b3=15，可得 b2=5，故可设 b1=5 d， b3=5+d，又因为 a1=1， a2=3， a3=9，并且 a1+b1， a2+b2， a3+b3成等比数列， 所以可得（ 5 d+1）（ 5+d+9） =（ 5+3） 2，解得
14、 d1=2， d2= 10。 9分 等差数列 bn的各项为正， d 0， d=2 ， 。 10分 18解：（ 1）在 ABC? 中， ? ?cosCa b sinC?. ? ? ? ? ? ?s i n c o s , c o ss in A B s in C C s in B C s in B s in C C? ? ? ? ?， c o s , 0B sin C sin B sin C sin C? ? ? ，则 cosB sinB? ，即 ? ?tan 1, 0,BB ? ，则4B ? .。 6分 （ 2）在 BCD? 中 2 2 22 , 1 , 1 2 2 1 2 c o s 5 4
15、 c o sB D D C B C D D? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 7分又 2A ? ，则 ABC? 为等腰直角三角形， 21 1 1 5 c o s2 2 4 4ABCS B C B C B C D? ? ? ? ? ? ? ?又 12B D CS B D D C sin D sin D? ? ? ? ?。 9分 ， 55c o s 24 4 4A B C DS D s in D s in D ? ? ? ? ? ? ?，。 11分 当 34D ? 时，四边形 ABCD 的面积最大值，最大值 为 5 24? .。 12分 19 ? ? 2 1 3 1 3 s i n c
16、 o s s i n s i n 2 c o s 2 s i n 22 2 2 6f x a b x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ?，。 3分 （ 1）由 12BCf ?，结合 ,ABC 为三角形内角得 2 ,33B C A? ? ?而 3, 1ab?.由正弦定理得 ,62BC?，所以 1322S ab?.。 。 7分 （ 2）由 ? ? 3s in 2 , 06 5 4f ? ? ? ? ? ? ?时， 2 6 3? ? ? ? ? ?， 4cos 265?，。 9分 4 3 3c o s 2 c o s 2 c o s 2 c o s s i n 2 s i n6 6
17、6 6 6 6 1 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 12 20 (1)由 ? ?1 1 12 1 2 1 2S a a? ? ? ?，得 1 1a 。 1分 当 2n? 时， ? ? ? ? 11 2 1 1 122nnn n n n a n aa S S ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11nnna n a ? ? ? ( 2n? )，即11nnnaan ?( 2n? ).。 4分 (2) 由 () ，得 2132aa?， 3243aa?， 4354aa?， 11nnnaan ?， 将以上
18、 ? ?1n? 个式子相乘，得112n naa?.而 1 1a? ，故 12n na ?.。 8分 (3) ? ? ?21413nna a n n? ? ?11213nn?。 9分 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1222 4 3 5 4 6 1 3 2 3 2 3nT n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 5 2 2 53 2 3 3nn? ? ? ? .。 12 分 21（ 1）显然 2A? ，又图象过（ 0,1）点， f（ 0） 1, sin 12 ， | 2? ， 6? ； 由图象结合 “ 五点法 ” 可知， 11 ,012?对应函数 y sinx图象的点（ 2 ， 0）， 1112? 6? 2 ，得 2. 所以所求的函数的解析式为： f（ x） 2sin 26x ?.。 6分 （ 2）如图所示，在同一坐标系中画出 2 sin 26yx
