1、某年级的课外兴趣小组共有54人，分数学、语文、外语三个小组，参加数学兴趣小组的有23人，参加语文兴趣小组的有27人，参加外语兴趣小组的有18人；A类或B类元素个数=A类元素个数+B类元素个数既是A类又是B类的元素个数。其中同时参加数学、外语两个兴趣小组的有7人；其中同时参加数学、外语两个兴趣小组的有7人；全班的学生：35+4=39(人)11+12=23(人)答：至少有一门得满分的同学有23人。答：五年级的学生有98人。51+48+32-16-11-13+7=98（人）答：这个班一共有80名学生参加了学习小组。C：44=16cm2求这个班的学生共有多少人？C：44=16cm2问这个班一共有多少学
2、生参加了学习小组？A或B或CABCABACBCABC答：五年级的学生有98人。ABCA又BA又CB又CA又B又C。54-（23+27+18-7-4-5）=2（人）答：这个班的学生共有39人。11+8+4=23(人)求这个班的学生共有多少人？答：它们盖住的面积是143平方厘米。25+22+34-12-18-14=37（人）问 题 情 境第一页，共21页。较复杂的容斥原理第11讲第二页，共21页。11+12=23(人)答：既会自行车又会游泳的有52人。C：44=16cm2例2：榆树园小学五（1）班许多同学参加了学习小组，已知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的的有32人，参加英语小组的有45
3、人，同时参加语文和数学小组的有10人，同时参加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的有15人，三个学习小组都参加的有5人。51+48+32-16-11-13+7=98（人）例2：榆树园小学五（1）班许多同学参加了学习小组，已知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的的有32人，参加英语小组的有45人，同时参加语文和数学小组的有10人，同时参加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的有15人，三个学习小组都参加的有5人。25+22+34-12-18-14=37（人）9090-2275=5825（平方厘米）答：至少有一门得满分的同学有23人。同时参加语文、数学兴趣小组的有4
4、人；A或B AB AB答：这个班一共有80名学生参加了学习小组。AB：55=25cm2A类或B类元素个数=ABA又B例3：六（1）班有学生44人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人。答：至少有一门得满分的同学有23人。其中同时参加数学、外语两个兴趣小组的有7人；答：既会自行车又会游泳的有52人。同时参加语文、数学兴趣小组的有4人；某年级的课外兴趣小组共有54人，分数学、语文、外语三个小组，参加数学兴趣小组的有23人，参加语文兴趣小组的有27人，参加
5、外语兴趣小组的有18人；A或B AB A又BBC：42=8cm2ABCA又BA又CB又CA又B又C。例例1 1：一次期末考试，某班有：一次期末考试，某班有1515人数学得满分，有人数学得满分，有1212人语文得满分人语文得满分，并且有，并且有4 4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？有多少人？利用画图来帮助解答吧！利用画图来帮助解答吧！第三页，共21页。方法一：方法一：15人人12人人4人人4人人数学得满分数学得满分语文得满分语文得满分语、数都是满分语、数都是满分15-4=11(15-4=11(人人)12-4=8(12-
6、4=8(人人)11+8+4=23(11+8+4=23(人人)答答：至少有一门得满分的同学：至少有一门得满分的同学有有2323人人。11人人 8人人第四页，共21页。15人人方法二：方法二：12人人4人人11人人 15-4=11(15-4=11(人人)11+12=23(11+12=23(人人)答答：至少有一门得满分的同学：至少有一门得满分的同学有有2323人人。数学得满分数学得满分语文得满分语文得满分第五页，共21页。方法三：方法三：数学得满分数学得满分1515人人语文得满分语文得满分1212人人4人人语、数都是满分语、数都是满分15+12-4=23(15+12-4=23(人人)答答：至少有一门
7、得满分的同学：至少有一门得满分的同学有有2323人人。第六页，共21页。容斥原理（一）容斥原理（一）如果被计数的事物有如果被计数的事物有A、B两类，那么：两类，那么：A类或类或B类元素个数类元素个数=A类元素个数类元素个数+B类元素个数类元素个数既既是是A类又是类又是B类的元素个数。类的元素个数。简单记做：简单记做：A或或B总和总和 ABA又又B。第七页，共21页。学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有2424人，人，会弹电子琴的有会弹电子琴的有1717人，其中两种乐器都会演奏的有人，其中两种乐器都会演奏的有8 8人，这个文艺组
8、人，这个文艺组一共多少人？一共多少人？即 学 即 练即 学 即 练24+17-8=3324+17-8=33（人）（人）答：这个文艺组一共有答：这个文艺组一共有3333人。人。第八页，共21页。例例2 2：榆树园小学五（：榆树园小学五（1 1）班许多同学参加了学习小组，已知参加）班许多同学参加了学习小组，已知参加语文学习小组的有语文学习小组的有3535人，参加数学小组的的有人，参加数学小组的的有3232人，参加英语小组的人，参加英语小组的有有4545人，同时参加语文和数学小组的有人，同时参加语文和数学小组的有1010人，同时参加语文和英语小人，同时参加语文和英语小组的有组的有1212人，同时参加
9、数学和英语小组的有人，同时参加数学和英语小组的有1515人，三个学习小组都参人，三个学习小组都参加的有加的有5 5人。问这个班一共有多少学生参加了学习小组？人。问这个班一共有多少学生参加了学习小组？第九页，共21页。语文语文3535人人4545人人英语英语数学数学3232人人1010人人1212人人1515人人5 5人人或或CA或或B AB A又又BA或或B AB ABCAC BCABC 80(80(人人)答答：这个班一共有：这个班一共有8080名学生参加了学习小组。名学生参加了学习小组。参加人数参加人数3532451210155第十页，共21页。容斥原理（二）容斥原理（二）A或或B或或C总和
10、总和 ABCA又又BA又又CB又又CA又又B又又C。如果被计数的事物有如果被计数的事物有A、B、C三类，那么：三类，那么：A A类或类或B B类或类或C C类元素个数类元素个数=A=A类元素个数类元素个数+B+B类元类元素个数素个数+C+C类元素个数类元素个数-既是既是A A类又是类又是B B类的元素个数类的元素个数-既是既是A A类又是类又是C C类的元素个数类的元素个数-既是既是B B类又是类又是C C类类的元素个数的元素个数+既是既是A A类又是类又是B B类而且是类而且是C C类的元素个类的元素个数。数。简单记做：简单记做：第十一页，共21页。五年级学生在一次春游中每个人都带了饮料，其
11、中有五年级学生在一次春游中每个人都带了饮料，其中有5151人带了人带了汽水，有汽水，有4848人带了可乐，有人带了可乐，有3232人带了果汁，有人带了果汁，有1616人带了汽水、可乐两人带了汽水、可乐两种饮料，有种饮料，有1111人带了可乐、果汁两种饮料，有人带了可乐、果汁两种饮料，有1313人带了汽水、果汁人带了汽水、果汁两种饮料，另外还有两种饮料，另外还有7 7人带了汽水、可乐和果汁三种饮料。问五年人带了汽水、可乐和果汁三种饮料。问五年级的学生有多少人？级的学生有多少人？即 学 即 练即 学 即 练51+48+32-16-11-13+7=9851+48+32-16-11-13+7=98（人
12、）（人）答：五年级的学生有答：五年级的学生有9898人。人。第十二页，共21页。例例3 3：六（：六（1 1）班有学生）班有学生4444人，每人在暑假里都参加体育训练人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有队，其中参加足球队的有2525人，参加排球队的有人，参加排球队的有2222人，参加游泳人，参加游泳队的有队的有3434人，足球、排球都参加的有人，足球、排球都参加的有1212人，足球、游泳都参加的人，足球、游泳都参加的有有1818人，排球、游泳都参加的有人，排球、游泳都参加的有1414人。三项都参加的有多少人？人。三项都参加的有多少人？A A或或B B或或C CA AB BC C
13、ABABACACBCBCABCABC44442525 2222 343418181414？121225+22+34-12-18-14=3725+22+34-12-18-14=37（人）（人）答：三项都参加的有答：三项都参加的有7 7人。人。44-37=744-37=7（人）（人）第十三页，共21页。某年级的课外兴趣小组共有某年级的课外兴趣小组共有5454人，分数学、语文、外语三个小组，人，分数学、语文、外语三个小组，参加数学兴趣小组的有参加数学兴趣小组的有2323人，参加语文兴趣小组的有人，参加语文兴趣小组的有2727人，参加外人，参加外语兴趣小组的有语兴趣小组的有1818人；其中同时参加数学
14、、外语两个兴趣小组的有人；其中同时参加数学、外语两个兴趣小组的有7 7人；同时参加语文、数学兴趣小组的有人；同时参加语文、数学兴趣小组的有4 4人；同时参加语文、外语兴趣人；同时参加语文、外语兴趣小组的有小组的有5 5人。其中三个小组都参加的有多少人？人。其中三个小组都参加的有多少人？即 学 即 练即 学 即 练54-54-（23+27+18-7-4-523+27+18-7-4-5）=2=2（人）（人）答：其中三个小组都参加的有答：其中三个小组都参加的有2 2人。人。第十四页，共21页。六年级100名学生中，15人既不会骑自行车也不会游泳，有62人会骑自行车，75人会游泳。例2：榆树园小学五（
15、1）班许多同学参加了学习小组，已知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的的有32人，参加英语小组的有45人，同时参加语文和数学小组的有10人，同时参加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的有15人，三个学习小组都参加的有5人。11+12=23(人)24+17-8=33（人）如果被计数的事物有A、B两类，那么：BC：42=8cm2ABCA又BA又CB又CA又B又C。A类或B类元素个数=A类元素个数+B类元素个数既是A类又是B类的元素个数。A或B AB A又B三项都参加的有多少人？11+8+4=23(人)在一个边长为90厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为20厘米和45厘米的正方
16、形纸，如图。例2：榆树园小学五（1）班许多同学参加了学习小组，已知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的的有32人，参加英语小组的有45人，同时参加语文和数学小组的有10人，同时参加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的有15人，三个学习小组都参加的有5人。ABCA又BA又CB又CA又B又C。54-（23+27+18-7-4-5）=2（人）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么：六年级100名学生中，15人既不会骑自行车也不会游泳，有62人会骑自行车，75人会游泳。25+22+34-12-18-14=37（人）AB：55=25cm2A类或B类元素个数=ABA又B其中同时参加数学
17、、外语两个兴趣小组的有7人；其中同时参加数学、外语两个兴趣小组的有7人；答：它们盖住的面积是143平方厘米。同时参加语文、数学兴趣小组的有4人；答：它们盖住的面积是143平方厘米。例例4 4：某班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的：某班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有测试后，有4 4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：短短跑跑 游游泳泳投投掷掷短跑短跑游泳游泳短跑短跑投掷投掷游泳游泳投掷投掷 短跑、短
18、跑、游泳、投掷游泳、投掷1717181815156 66 65 52 2求这个班的学生共有多少人？求这个班的学生共有多少人？第十五页，共21页。BC：42=8cm2答：至少有一门得满分的同学有23人。例2：榆树园小学五（1）班许多同学参加了学习小组，已知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的的有32人，参加英语小组的有45人，同时参加语文和数学小组的有10人，同时参加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的有15人，三个学习小组都参加的有5人。答：这个班一共有80名学生参加了学习小组。问五年级的学生有多少人？在一个边长为90厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为20厘米和45厘米
19、的正方形纸，如图。ABCA又BA又CB又CA又B又C。BC：42=8cm2求这个班的学生共有多少人？A类或B类或C类元素个数=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。答：至少有一门得满分的同学有23人。BC：42=8cm225+22+34-12-18-14=37（人）ABCA又BA又CB又CA又B又C。54-（23+27+18-7-4-5）=2（人）某年级的课外兴趣小组共有54人，分数学、语文、外语三个小组，参加数学兴趣小组的有23人，参加语文兴趣小组的有27人，参加外语
20、兴趣小组的有18人；其中同时参加数学、外语两个兴趣小组的有7人；A类或B类元素个数=ABA又B其中同时参加数学、外语两个兴趣小组的有7人；C：44=16cm2AC：42=8cm2A或B AB AB答：桌面上没被纸片盖住的面积是5825平方厘米。达到了优秀的学生：达到了优秀的学生：17+18+15-6-6-5+2=35(17+18+15-6-6-5+2=35(人人)全班的学生：全班的学生：35+4=39(35+4=39(人人)答：这个班的学生共有答：这个班的学生共有3939人。人。A A或或B B或或C CA AB BC CABABACACBCBCABCABC？1717 1818 15156 6
21、5 52 26 6短短跑跑 游游泳泳投投掷掷短跑短跑游泳游泳短跑短跑投掷投掷游泳游泳投掷投掷 短跑、短跑、游泳、投掷游泳、投掷1717181815156 66 65 52 2第十六页，共21页。六年级六年级100100名学生中，名学生中，1515人既不会骑自行车也不会游泳，有人既不会骑自行车也不会游泳，有6262人会人会骑自行车，骑自行车，7575人会游泳。既会自行车又会游泳的有多少人？人会游泳。既会自行车又会游泳的有多少人？即 学 即 练即 学 即 练 62+75-62+75-（100-15100-15）=52=52（人）（人）答：答：既会自行车又会游泳的有既会自行车又会游泳的有5252人人
22、。第十七页，共21页。例例5 5：如图，边长分别为：如图，边长分别为1010厘米、厘米、8 8厘米和厘米和4 4厘米的三块正方形厘米的三块正方形纸片放在桌面上，它们盖住的面积是多少平方厘米？纸片放在桌面上，它们盖住的面积是多少平方厘米？动手做一做吧！动手做一做吧！第十八页，共21页。A或B AB AB全班的学生：35+4=39(人)某年级的课外兴趣小组共有54人，分数学、语文、外语三个小组，参加数学兴趣小组的有23人，参加语文兴趣小组的有27人，参加外语兴趣小组的有18人；BC：42=8cm24545+2020-1510=2275（平方厘米）同时参加语文、数学兴趣小组的有4人；求这个班的学生共
23、有多少人？三项都参加的有多少人？答：桌面上没被纸片盖住的面积是5825平方厘米。答：五年级的学生有98人。C：44=16cm2答：这个班一共有80名学生参加了学习小组。A或B AB AB例2：榆树园小学五（1）班许多同学参加了学习小组，已知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的的有32人，参加英语小组的有45人，同时参加语文和数学小组的有10人，同时参加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的有15人，三个学习小组都参加的有5人。25+22+34-12-18-14=37（人）AC：42=8cm2A或B或CABCABACBCABCABCA又BA又CB又CA又B又C。A或B AB A
24、B15+12-4=23(人)答：它们盖住的面积是143平方厘米。BC：42=8cm2如果被计数的事物有A、B两类，那么：答：既会自行车又会游泳的有52人。24+17-8=33（人）A A：101010=10010=100cmcm2 2B B：8 88=648=64cmcm2 2100+64+16-25-8-8+4100+64+16-25-8-8+4143143cmcm2 2答：它们盖住的面积是答：它们盖住的面积是143143平方厘米。平方厘米。C C：4 44=164=16cmcm2 2ABAB：5 55=255=25cmcm2 2ACAC：4 42=82=8cmcm2 2BCBC：4 42=
25、82=8cmcm2 2ABCABC：2 22=42=4cmcm2 2第十九页，共21页。在一个边长为在一个边长为9090厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为2020厘米和厘米和4545厘米的正方形纸，如图。桌面上没被纸片盖住的面积是多少厘米的正方形纸，如图。桌面上没被纸片盖住的面积是多少？即 学 即 练即 学 即 练454545+2045+2020-1520-1510=10=22752275（平方厘米）（平方厘米）答：答：桌面上没被纸片盖住的面积是桌面上没被纸片盖住的面积是58255825平平方厘米方厘米。909090-90-22752275=5825=5825（平方厘米）（平方厘米）第二十页，共21页。今天你学到了什么？今天你学到了什么？1 1、容斥原理（一）、容斥原理（一）A A类或类或B B类元素个数类元素个数=A=AB BA A又又B B2 2、容斥原理（二）、容斥原理（二）A A类或类或B B类或类或C C类元素个数类元素个数A AB BC CA A又又B BA A又又C CB B又又C CA A又又B B又又C C第二十一页，共21页。
