1、7/22/20231光纤技术基础光纤技术基础 光纤技术基础光纤技术基础7/22/20232第四章第四章 光纤模式理论光纤模式理论1.阶跃折射率光纤中的场模式阶跃折射率光纤中的场模式 2.弱导光纤中的线偏振模弱导光纤中的线偏振模 3.光波导中模式的普遍性质光波导中模式的普遍性质 4.波导横向非均匀性的微扰法处理波导横向非均匀性的微扰法处理 5.纵向非均匀性与模式耦合方程纵向非均匀性与模式耦合方程 光纤技术基础光纤技术基础7/22/20233波动光学光波导理论波动光学光波导理论分析逻辑过程分析逻辑过程Maxwell方程方程边界条件边界条件波动方程波动方程场的解场的解边界条件边界条件特征方程特征方程
2、场的解场的解传输常数传输常数 模场分布模场分布光纤技术基础光纤技术基础7/22/20234阶跃型折射率剖面阶跃型折射率剖面结构结构Step index2121 ,nnbranarnnn1n2ab一、阶跃折射率光纤中的场模式一、阶跃折射率光纤中的场模式光纤技术基础光纤技术基础7/22/20235直角坐标（直角坐标（x,y,z）柱坐标（柱坐标（r,z）矢量运算矢量运算zyxeee,zreee,zyxzyxeeezrrzreee1zAyAxAzyxAzAArrrArzr11zyxzyxAAAzyxeeeAzrzrArAAzrreee12222222zyx2222211zrrrrr基矢基矢光纤技术基础
3、光纤技术基础7/22/202362233 11 21 231112223331()()()h hh hhhhh hxhxxhxxhx 22()()()()Agraddiv Arotrot AAAA 但是不能直接展开成分量形式但是不能直接展开成分量形式 非直角坐标非直角坐标下拉普拉斯算子（标量）：下拉普拉斯算子（标量）：非直角坐标非直角坐标矢量拉普拉斯算子：用以下公式计算矢量拉普拉斯算子：用以下公式计算 22331121231112223331()()()h hh hh hAAAAh h hxhxxhxxhx22()iiiAeA光纤技术基础光纤技术基础7/22/20237柱坐标下矢量拉普拉斯算子
4、运算：柱坐标下矢量拉普拉斯算子运算：22222222222()2()()rrrrzzAAAArrAAAArrAA 光纤技术基础光纤技术基础7/22/202382000kj=1,2 芯层，包层（r,z）为柱坐标系0112202222222EEEEEjnkzrrrr0112202222222HHHHHjnkzrrrr波动方程波动方程 22,0,0002222cfcknkkkkHHEEHelmholtz光纤技术基础光纤技术基础7/22/20239矢量波动方程矢量波动方程六个场分量六个场分量两个分量独立两个分量独立横向？纵向！纵向均匀MaxwellMaxwell1.纵向均匀光波导中，由纵向均匀光波导中
5、，由于麦克斯韦方程的限制，于麦克斯韦方程的限制，只有两个分量是独立的只有两个分量是独立的2.柱坐标系下，横场满柱坐标系下，横场满足的方程十分复杂，因足的方程十分复杂，因此求纵场分布较为方便。此求纵场分布较为方便。纵横关系纵横关系 光纤技术基础光纤技术基础7/22/202310纵横关系纵横关系 0ztzzttztzzttEjjHjj eeEHeeHEttzztttzztjzjzEHeHHEeE0zjrzrexp,EErrHHEErtrrtrrt1eeeeHeeEztzztAeAttzzAAee纵向均匀、无损、纵向均匀、无损、z向传输向传输 ztzzttztzzttEHnkjHEnkjeHeE22
6、2002220场分布形式传输因子Maxwell方程组旋度公式方程组旋度公式光纤技术基础光纤技术基础7/22/202311E,HE,H的四个横向分量，都可以用的四个横向分量，都可以用E,HE,H的的两个纵向分量表示两个纵向分量表示 纵向均匀光波导内的电磁场只有两个独立分量 所有横向场分量均可由纵向场分量得出 纵向均匀光波导中不存在TEM TEM 波022200222022202220zzrzzzzrzzEHjk nrrHEjk nrrHEjk nrrHEjk nrrEEHH光纤技术基础光纤技术基础7/22/202312 所以只要求解纵向场所以只要求解纵向场E EZ Z,H,HZ Z2222022
7、211()0zzzjzrk nrrrrzEEEE22222222222()2()()rrrrzzAAAArrAAAArrAA 22,0,0002222cfcknkkkkHHEE2222022211()0jrk nrrrrzEEEE光纤技术基础光纤技术基础7/22/202313对称性的波动方程对称性的波动方程 光纤的圆对称性电磁场沿方向为驻波解,.2,1,0,expexpmzjjmrFEzzjrzrexp,EE可用分离变量法求解光纤技术基础光纤技术基础7/22/202314分离变量法分离变量法,)()zrzR rZ zE2222022211()0jrk nrrrrzEEEE22220222()0
8、jZ ddRRZ dd ZrRk n R Zrdrdrrz22220222111()0jddRdd Zrk nrR drdrrZz22220122211()jr ddRdd Zrk ncR drdrrZz 22220221()jr ddRdrr k ncR drdr 2220dc 2120d Zc Zz22202()jr ddRrr k ncR drdr光纤技术基础光纤技术基础7/22/202315 BesselBessel方程的得出方程的得出22202()jr ddRrr k ncR drdr22202222220222222022()10jjjr ddRrr k ncR drdrr dRr
9、 d Rr k ncR drR drcd RdRk nRdrr drr光纤技术基础光纤技术基础7/22/202316对称性的波动方程对称性的波动方程 光纤的圆对称性电磁场沿方向为驻波解,.2,1,0,expexpmzjjmrFEz0112202222222EEEEEjnkzrrrr22202222212022,nkaWnkaU222021202222nknkaWUVarFrmaWdrdFrdrFdarFrmaUdrdFrdrFd,01,01222222222122221212m阶Bessel方程m阶虚宗量Bessel方程可由分离变量法得出光纤技术基础光纤技术基础7/22/2023173 3个重
10、要参数个重要参数 U,W,VU,W,V22202222212022nkaWnkaU222021202222nknkaWUVzjjmZeerFE)(光纤技术基础光纤技术基础7/22/20231822211122222222222210,10,d FdFUmFradrr drard FdFWmFradrr drarUWxr xraa变量代换 即可得到标准Bessel方程m阶Bessel方程m阶虚宗量Bessel方程22222222110110dRdRmRdxx dxxdRdRmRdxx dxxm阶Bessel方程m阶虚宗量Bessel方程Bessel 方程光纤技术基础光纤技术基础7/22/2023
11、19m阶Bessel方程m阶虚宗量Bessel方程BesselBessel方程的解方程的解2222110dRdRmRdxx dxx xBNxAJxRmm)(xDIxCKxRmm)(2222110d RdRmRdxx dxx两个线性独立解是m阶的Bessel函数Jm(x)和m阶的Neumann函数Nm(x)，方程的通解为：两个线性独立解是m阶的虚综量Bessel函数Im(x)和m阶的虚综量Hankel数Km(x)，方程的通解为：光纤技术基础光纤技术基础7/22/202320贝贝塞塞尔尔方方程程的的解解 aUrJUJErFaUrBNaUrAJrFmmmm011 aWrKWKErFaWrDIaWrC
12、KrFmmmm022Nm(0)=Im()=芯层芯层 包层包层 Bessel函数虚宗量Bessel函数Neumann函数虚宗量Neumann函数Ez连续：连续：F1|r=a=F2|r=aarFrmaWdrdFrdrFdarFrmaUdrdFrdrFd,01,01222222222122221212光纤技术基础光纤技术基础7/22/202321贝塞尔函数性质贝塞尔函数性质051015202530-0.500.51xJ0(x)J1(x)J2(x)kmkkmxkmkxJ20)2()!(!)1()(J函数函数 光纤技术基础光纤技术基础7/22/202322贝塞尔函数性质贝塞尔函数性质N函数函数 0510
13、15202530-7-6-5-4-3-2-101xN0(x)N1(x)光纤技术基础光纤技术基础7/22/202323贝塞尔函数性质贝塞尔函数性质I函数函数 00.511.522.5300.511.522.533.544.55xI0(x)I1(x)I2(x)光纤技术基础光纤技术基础7/22/202324贝塞尔函数性质贝塞尔函数性质K函数函数 00.511.522.53012345678910 xK0(x)K1(x)光纤技术基础光纤技术基础7/22/202325 1111111101011221212mmmmmmmmmmmmmmmJxJxmJxJxJxxmKxKxKxxJxJxJxKxKxKxdJ
14、xJxdxdKxKxdx 贝塞尔函数递推关系贝塞尔函数递推关系kmkkmxkmkxJ20)2()!(!)1()(光纤技术基础光纤技术基础7/22/20232622222222220102,Uak nWak n212022220nknk22202nk导模条件泄漏模和辐射模横向约束横向辐射 光纤技术基础光纤技术基础7/22/202327 jmrGHrHjmrGErEmzmzexp,exp,00 arWKaWrKarUJaUrJrGmmmmm,aUrJUJErFaUrBNaUrAJrFmmmm011 aWrKWKErFaWrDIaWrCKrFmmmm022电磁场的纵向分量电磁场的纵向分量 光纤技术基
15、础光纤技术基础7/22/202328 jmUJaUrJrmUaJaUrUJHEnjEnHjEHjHEjUarHHEEmmmmrrexp,002100210000000022ar 000200022002020200,exprmmrmmEj EHWKWr aEjHEaKWarjmHj Hn EWKWr amHjn EHrKW ar ztzzttztzzttEHnkjHEnkjeHeE222002220电磁场的横向分量电磁场的横向分量 返回光纤技术基础光纤技术基础7/22/202329E|r=aH|r=a WWKaWrKnUUJaUrJnWUVjmHEWWKaWrKUUJaUrJVWUmjHEmm
16、mmmmmm222122200222000特征方程特征方程 4202221UWVkmWWKaWrKnUUJaUrJnWWKaWrKUUJaUrJmmmmmmmm光纤中电磁场模式的特征方程光纤中电磁场模式的特征方程以上两式联立以上两式联立方向分量连续光纤技术基础光纤技术基础7/22/202330 00101WWKWKUUJUJ 001220121WWKWKnUUJUJn不同的模式不同的模式 m=0 WWKaWrKUUJaUrJVWUmjHEmmmm222000 WWKaWrKnUUJaUrJnWUVjmHEmmmm222122200 4202221UWVkmWWKaWrKnUUJaUrJnWWK
17、aWrKUUJaUrJmmmmmmmmE0=0,即Ez=0,TE模模H0=0,即Hz=0,TM模模TE模模TM模模光纤技术基础光纤技术基础7/22/202331 4202221UWVkmWWKaWrKnUUJaUrJnWWKaWrKUUJaUrJmmmmmmmm0,0,000HEm混合模混合模 xKxKxKxJxJxJmmmmmm11112121特征方程特征方程HE模EH模光纤技术基础光纤技术基础7/22/202332 ;mmmmJUmmJUxxKWmmKWxx FFKK11,mmmmJUUJUJUUJUFF11,mmmmKUWJUKUWJUKK 4202221UWVkmWWKaWrKnUUJ
18、aUrJnWWKaWrKUUJaUrJmmmmmmmm1/222242222121222111022mmmmmmJUKWKWnnnnmVUJUnWKWnWKWn kUW 光纤技术基础光纤技术基础7/22/2023332422120mmmmmmmmJUKWJUKWmVnnUJUWKWUJUWKWkUW 0,0,000HEm模式分类：模式分类：HEmn和和EHmn特征方程特征方程 22242222112200mmmmmmmmJUKWJUKWmVnnnnUJUWKW UJUWKWkUW 1/222242222121222111022mmmmmmJUKWKWnnnnmVUJUnWKWnWKWn kUW
19、 光纤技术基础光纤技术基础7/22/2023340,0,000HEm模式分类：模式分类：HEmn和和EHmn特征方程特征方程 1/222242222121222111022mmmmmmJUKWKWnnnnmVUJUnWKWnWKWn kUW 取取“”号时号时 11;mmmmmmmmxxJxJxJxKxKxKx 1/222242222111121222222110 122mmmmmmJUKWKWnnnnmmmmVUJ UUnWWK WnWWK Wk nUWEHmn光纤技术基础光纤技术基础7/22/2023350,0,000HEm模式分类：模式分类：HEmn和和EHmn特征方程特征方程 1/222
20、242222121222111 022mmmmmmJUKWKWnnnnmVUJUnWK WnWK WnkUW取取“”号时，号时，11;mmmmmmmmxxJxJxJxKxKxKx 1/222242222111121222222110 122mmmmmmJUKWKWnnnnmmmmVUJUUnWWKWnWWKWk nUWHEmn光纤技术基础光纤技术基础7/22/202336 214210212212221122122212122UWVnkmWWKWKWmnnnWWKWKWmnnnUmUUJUJmmmmmm 214210212212221122122212122UWVnkmWWKWKWmnnnWW
21、KWKWmnnnUmUUJUJmmmmmmHE模*:(H0E0)*EH模*：(E0H0)*命名规则：命名规则：远离截止（远离截止（W1,U 0）时的纵向场分量大小）时的纵向场分量大小 WWKaWrKUUJaUrJVWUmjHEmmmm222000 WWKaWrKnUUJaUrJnWUVjmHEmmmm222122200光纤技术基础光纤技术基础7/22/202337光纤中的模式光纤中的模式 特征方程特征方程 传输常数 -V截止特性.m,Vn个不同的TE0n，TM0n，HEmn，EHmn传输特性传输特性光纤技术基础光纤技术基础7/22/202338光纤中的模式命名光纤中的模式命名 模式的命名模式的
22、命名 m m0 0；m0;m0;jmrGHrHjmrGErEmzmzexp,exp,00 arWKaWrKarUJaUrJrGmmmmm,00101WWKWKUUJUJ 001220121WWKWKnUUJUJnTE0n模模:由特征方程由特征方程 得到得到 的第的第n n个解个解TM0n模：模：由特征方程由特征方程 得到得到得到得到 的第的第n个解个解 4202221UWVkmWWKaWrKnUUJaUrJnWWKaWrKUUJaUrJmmmmmmmmEHmn模模 由相应的特征方程由相应的特征方程 得到得到 的第的第n个解个解HEmn模模 由相应的特征方程由相应的特征方程 得到得到 的第的第n
23、个解个解光纤技术基础光纤技术基础7/22/202339参量的意义参量的意义模式截止模式截止 光纤中电磁波求解归结到求解电磁场纵向分量光纤中电磁波求解归结到求解电磁场纵向分量,.2,1,0,expexpmzjjmrFEz22202222212022,nkaWnkaU222021202222nknkaWUVarFrmaWdrdFrdrFdarFrmaUdrdFrdrFd,01,01222222222122221212m阶Bessel方程m阶虚宗量Bessel方程2222022211()0zzzjzrk nrrrrzEEEE光纤技术基础光纤技术基础7/22/202340模式截止模式截止 得到场分布得
24、到场分布 k k0 0n n1 1kk0 0n n2 2 时时 U U，W W 均为实数均为实数 当解某特征方程得到的某个当解某特征方程得到的某个值超出上述范围时值超出上述范围时（kk0 0n n2 2）会使得）会使得 U U，W W 的取值性质发生变化（由正实的取值性质发生变化（由正实数变为数变为“0 0”甚至虚数）进而使得与此特征方程的甚至虚数）进而使得与此特征方程的对应的对应的导模不能存在，此时称该模式截止。导模不能存在，此时称该模式截止。jmrGHrHjmrGErEmzmzexp,exp,00 arWKaWrKarUJaUrJrGmmmmm,051015202530-0.500.51x
25、J0(x)J1(x)J2(x)00.511.522.53012345678910 xK0(x)K1(x)22222222220102,Uak nWak n光纤技术基础光纤技术基础7/22/202341模式截止模式截止 包层内衰减场的渐进形式：Km(Wr/a)Km(Wr/a)exp(-Wr/a)exp(-Wr/a)，当W W0 0 时，光纤将失去对该模式的限制作用，称该模式近截止。在近截止条件下U=VcU=Vc 利用Km(W)Km(W)在 W W0 0 时的小综量近似，可以得到近截止情况下各模式的特征方程，进而得到各模式的归一化截止频率VcVc22222222222220102,Ua k nWa
26、k nVUW光纤技术基础光纤技术基础7/22/20234222222222220102,Uak nWak n212022220nknk22202nk导模条件辐射模横向约束横向辐射 光纤技术基础光纤技术基础7/22/202343V-neff曲线曲线 (-V特性曲线特性曲线)导模条件：导模条件：k k0 0n n2 2 导模有效折射率导模有效折射率;n1neffn2当当V的取值使得的取值使得某个模式的某个模式的值不能满足导模条件的时候该值不能满足导模条件的时候该模式截止，刚好满足导模条件模式截止，刚好满足导模条件时的时的V为该模式的归一化截止为该模式的归一化截止频率。频率。V取某个值时会有一定数量
27、取某个值时会有一定数量的模式的的模式的值可以满足导模条值可以满足导模条件，即为该情况下光纤内的导件，即为该情况下光纤内的导模的模式数量。模的模式数量。仅有一个模式的仅有一个模式的值可以满值可以满足导模条件时为单模传输足导模条件时为单模传输22222222220102,Uak nWak n22212nnaVneff=/k0:有效折射率有效折射率光纤技术基础光纤技术基础7/22/202344矢量模特性曲线矢量模特性曲线 V-V-n neffeff曲线曲线 1.1.每一条曲线代表一个模式每一条曲线代表一个模式 2.2.当光纤的结构参数和工作频率给定时，光纤的归一化频当光纤的结构参数和工作频率给定时，
28、光纤的归一化频率一定，此时，各传导模式具有特定的传输常数。率一定，此时，各传导模式具有特定的传输常数。3.V3.V越大，光纤中支持的导模数量越多。越大，光纤中支持的导模数量越多。4.V-4.V-n neffeff曲线与曲线与n neff=eff=n n2 2的交点对应的交点对应V=VcV=Vc（归一化截止频率）（归一化截止频率）5.5.单模传输条件单模传输条件 对应对应TMTM0101,TE,TE0101模式的归一模式的归一化截止频率化截止频率 6.HE6.HE1111模式的归一化截止频率为模式的归一化截止频率为“0 0”称称HEHE1111模为基模，不截模为基模，不截止。止。4048.20
29、V光纤技术基础光纤技术基础7/22/202345矢量模的截止特性矢量模的截止特性截止频率计算截止频率计算W=0,U=Vc ,归一化截止频率归一化截止频率截止条件截止条件特征方程特征方程归一化截止频率归一化截止频率W00,22!1,154.1ln,00mWmKWWKWmmKm(W)的小宗量近似：的小宗量近似：V=U2+W2=k0a n光纤技术基础光纤技术基础7/22/202346 WWWWKWKWW154.1ln1limlim20010 010cccVJVJV 个根的第是方程nxJVnnTMTEcnn0,000,00 00101WWKWKUUJUJ 001220121WWKWKnUUJUJnTE
30、模模TM模模特征方程特征方程W 0U Vc截止时的特征方程截止时的特征方程 截止频率截止频率TE0n,TM0n的截止频率的截止频率 4048.201,0101TMTEcV最小值最小值TE01,TM01 光纤技术基础光纤技术基础7/22/202347EHmn的截止频率的截止频率 20102limlimWmWWKWKWmmW 01cmcmcVJVJV 个根的第是方程nxJVmmnmnEHcmn0,832.31111EHcV 214210212212221122122212122UWVnkmWWKWKWmnnnWWKWKWmnnnUmUUJUJmmmmmm特征方程特征方程 W 0U Vc截止时的特征
31、方程截止时的特征方程 截止频率截止频率 最小值最小值EH11 光纤技术基础光纤技术基础7/22/202348HE1n的截止频率的截止频率 特征方程特征方程W 0U Vc截止时的特征方程截止时的特征方程 截止频率截止频率 最小值最小值HE11 WWWKWKWW154.1lnlimlim0100 001cccVJVJV 214210212212221122122212122UWVnkmWWKWKWmnnnWWKWKWmnnnUmUUJUJmmmmmm1,11nHEcnV01011nHEcV!光纤技术基础光纤技术基础7/22/202349 ,.3,2,12221221mnnnmVVJVJccmcm
32、1,121lim10mmWWKWKmmWHEmn的截止频率的截止频率(m1)特征方程特征方程W 0U Vc截止时的特征方程截止时的特征方程 214210212212221122122212122UWVnkmWWKWKWmnnnWWKWKWmnnnUmUUJUJmmmmmm光纤技术基础光纤技术基础7/22/2023504048.20V单模条件单模条件22212nnaVHE11模具有最低截止频率，理论上不会截止，是光纤中的模具有最低截止频率，理论上不会截止，是光纤中的基模基模。TE01 和和TM01模具有次低截止频率模具有次低截止频率Vc=2.40483，当光纤工作频率，当光纤工作频率满足满足V
33、1矢量模与标量模的对应关系矢量模与标量模的对应关系EHmn(m0),TE0n，TM0n(m=0)模光纤技术基础光纤技术基础7/22/2023780,1,1,102001,1,1mHELPmHETMTELPmHEEHLPnnnnnnnmnmmnHEHEHEHEHEHEHEHEHE标量模标量模=矢量模的迭加矢量模的迭加 线偏振模矢量模简并度归一化截止频率VcLP0nHE1n21,n-1LP1nTE0n,TM0n,HE2n40nLPmn(m1)EHm-1,n,HEm+1,n4m-1,n表表3.2 与线偏振模对应的矢量模及其简并度和归一化频率与线偏振模对应的矢量模及其简并度和归一化频率LP1n 对应对
34、应3种矢量模种矢量模光纤技术基础光纤技术基础7/22/202379场的迭加场的迭加 210111HETMLPHEHEHE210111HETELPHEHEHE光纤技术基础光纤技术基础7/22/202380场的迭加场的迭加 LP模模 :Ey,Ex ;sin(m),cos(m)sin(m),cos(m)矢量模矢量模：sin(m),cos(m)光纤技术基础光纤技术基础7/22/202381横向场分布横向场分布 矢量模矢量模 （实线：电力线，虚线：磁力线）cos(m),sin(m)光纤技术基础光纤技术基础7/22/202382弱导光纤中模式的简并性 在在 n1 n2 的弱导近似条件下，矢量模可以分为的弱
35、导近似条件下，矢量模可以分为一系列模式组，每一组内的矢量模具有完全相同一系列模式组，每一组内的矢量模具有完全相同的特征方程，因而从其传输特性来看，这些模式的特征方程，因而从其传输特性来看，这些模式是简并的，它们的传输相速度相同，可以证明，是简并的，它们的传输相速度相同，可以证明，每一个线偏振模均由一组简并的矢量模叠加而成。每一个线偏振模均由一组简并的矢量模叠加而成。光纤技术基础光纤技术基础7/22/202383线偏振模是由简并的矢量模构成线偏振模是由简并的矢量模构成 既然称线偏振模为既然称线偏振模为“模式模式”，那么在传输过程中要基本能，那么在传输过程中要基本能够稳定存在才有实用价值；够稳定存
36、在才有实用价值；线偏振模是由某些矢量模构成，弱导近似下构成线偏振模线偏振模是由某些矢量模构成，弱导近似下构成线偏振模的这些矢量模式简并所以有统一的特征方程因此有同样的的这些矢量模式简并所以有统一的特征方程因此有同样的传输常数，所以它们的组合就可以在传输过程中稳定存在；传输常数，所以它们的组合就可以在传输过程中稳定存在；线偏振模并非光纤的真正的模，而是由某些简并的矢量模构成，线偏振模并非光纤的真正的模，而是由某些简并的矢量模构成，实际上这些简并模的传输速度有微小的差别，当沿实际上这些简并模的传输速度有微小的差别，当沿z z方向传输的时方向传输的时候它们之间的相位会发生变化，所以叠加后的场沿光纤传
37、输方向候它们之间的相位会发生变化，所以叠加后的场沿光纤传输方向会出现周期性变化但通常情况下并不影响我们分析弱导光纤会出现周期性变化但通常情况下并不影响我们分析弱导光纤*。弱导近似下矢量模式简并是弱导圆介质波导线偏振模存在弱导近似下矢量模式简并是弱导圆介质波导线偏振模存在的基础；的基础；光纤技术基础光纤技术基础7/22/202384标量模标量模 圆光纤中电磁波的纵向分量满足标量波动方程圆光纤中电磁波的纵向分量满足标量波动方程（亥姆霍兹方程），而在弱导近似的情况下，电（亥姆霍兹方程），而在弱导近似的情况下，电磁场各个分量都和磁场各个分量都和EzEz存在着特定的制约关系，使存在着特定的制约关系，使得
38、其他分量也满足标量波动方程，这相当于将电得其他分量也满足标量波动方程，这相当于将电磁场看成了磁场看成了“标量标量”，因而线偏振模又称为标量，因而线偏振模又称为标量模。模。光纤技术基础光纤技术基础7/22/202385如何理解弱导光纤中的线偏振模如何理解弱导光纤中的线偏振模 为简化运算以及便于分析偏振特性，我们试图在为简化运算以及便于分析偏振特性，我们试图在光纤中寻找一种运算简单并具有明显偏振特性的光纤中寻找一种运算简单并具有明显偏振特性的“模式模式”（且该（且该“模式模式”在传输过程中能够稳定在传输过程中能够稳定存在）。存在）。事实证明在弱导近似的情况下存在这种满足以上事实证明在弱导近似的情况
39、下存在这种满足以上特点的特点的“模式模式”，称之为线偏振模。，称之为线偏振模。这种这种“模式模式”其实是弱导近似情况下简并的某些其实是弱导近似情况下简并的某些模式的某种组合。模式的某种组合。光纤技术基础光纤技术基础7/22/202386弱导光纤中横向、纵向场的特点 tztzHEHE101,301,%0.1%,1.0tztzHEHE,光纤中传输的电磁场非常接近于横电磁波（光纤中传输的电磁场非常接近于横电磁波（TEM波）或均匀平面波。因此，电磁波在弱导光纤中波）或均匀平面波。因此，电磁波在弱导光纤中传输时其横向场基本上沿同一方向极化，并保持传输时其横向场基本上沿同一方向极化，并保持不变。不变。在弱
40、导近似的条件下，光纤中支持线偏在弱导近似的条件下，光纤中支持线偏振模振模LP（Linearly Polarized Mode)光纤技术基础光纤技术基础7/22/202387 弱导近似下纵向分量和横向分量的关系弱导近似下纵向分量和横向分量的关系100100011sin1sin1,2cos1cos1mzmzmmmnnJUr aEjAUraJUr aHk a JUmmtztzHEHE cosymEAGrm arWKaWrKarUJaUrJrGmmmmm,光纤技术基础光纤技术基础7/22/202388线偏振模的截止特性线偏振模的截止特性 W 0模式截止模式截止 cosymEAGrm arWKaWrKa
41、rUJaUrJrGmmmmm,1111mmmmmmmmJUKWUJUWKWJUKWUJUWKW （两者等价）22222222222220102,Ua k nWak nVUW光纤技术基础光纤技术基础7/22/202389线偏振模的截止特性线偏振模的截止特性 W 0截止特性截止特性 WWKWKW100lim .3,2,1 ,01,1010nVVJVJVnLPccccn WWKWKmmW10lim .3,2,1 0,0,11nmVVJVJVnmLPccmcmcmnLP0n模模LPmn模模 WWKWKUUJUJmmmm11 xJxJxKxK1111 个根的第为nxJmnm01)1(2222202Wak
42、 n 0c01,=0;JV光纤技术基础光纤技术基础7/22/202390单模条件单模条件 个根的第为nxJmmn0LP01模的归一化截止频率为10，10=0，不截止！LP11模的归一化截止频率为01，01=2.4048V 1)EHm-1,n,HEm+1,n4m-1,n光纤技术基础光纤技术基础7/22/202391b：归一化传输常数：归一化传输常数222021202220222202120222202222221nknknknknkankaVWVUb接近截止时，W 0，b 0远离截止时，U 0，b 1光纤结构+工作波长 V bV归一化传输常数归一化传输常数 光纤技术基础光纤技术基础7/22/20
43、2392bV曲线曲线 bV曲线曲线光纤技术基础光纤技术基础7/22/202393b-Vb-V曲线与曲线与-V曲线曲线简并简并-V曲线曲线bV曲线曲线光纤技术基础光纤技术基础7/22/202394光纤中的功率流光纤中的功率流 纵向功率流密度纵向功率流密度Sz xyttzzHES21Re21*HEP22222002200,11cos,22mmzmmJUr aJUraSnA nmKWr aKWra 0,10,2,142110022200mmUJUJUJAnardrSdPmmmazcore 0,10,2,14211002220mmWKWKWKAnardrSdPmmmazclad芯层芯层包层包层 002
44、1cosnHmrAGEnnxmy光纤技术基础光纤技术基础7/22/202395 WKWKWKWUVWUJUJUJVWPPPmmmmmmcladcorecore11222221122211 WWKWKUUJUJWWKWKUUJUJmmmmmmmm1111 WKWKWKUWUJUJUJmmmmmm21122211光纤芯层中传输的光功率与光纤中传输的总功率之比光纤芯层中传输的光功率与光纤中传输的总功率之比功率限制因子功率限制因子：反映光纤的导光能力或对光的约束能力功率限制因子功率限制因子 定义定义光纤技术基础光纤技术基础7/22/202396 V特性曲线特性曲线 光纤技术基础光纤技术基础7/22/2
45、02397辐射模和泄漏模辐射模和泄漏模 212022220nknk22202nk截止条件下，离散的、复数，非正常波形。传导模传导模离散，每一个导模对应一个，满足横向谐振条件。辐射模辐射模连续，包层中出现辐射形式的解，产生横向辐射不满足全反射条件，不满足任何横向谐振条件。泄漏模泄漏模光纤技术基础光纤技术基础7/22/202398第四章第四章 光纤模式理论光纤模式理论 阶跃折射率光纤中的场模式阶跃折射率光纤中的场模式弱导光纤中的线偏振模弱导光纤中的线偏振模光波导中模式的普遍性质光波导中模式的普遍性质波导横向非均匀性的微扰法处理波导横向非均匀性的微扰法处理纵向非均匀性与模式耦合方程纵向非均匀性与模式
46、耦合方程复习复习 光纤技术基础光纤技术基础7/22/202399 波动光学波动光学光波导理论逻辑过程光波导理论逻辑过程 Maxwell方程方程边界条件边界条件波动方程波动方程场的解场的解边界条件边界条件特征方程特征方程场的解场的解传输常数传输常数 模场分布模场分布复习复习 光纤技术基础光纤技术基础7/22/2023100复习复习 光纤模式理论光纤模式理论矢量法矢量法标量法标量法1.严格解法近似解法前提前提：弱导近似弱导近似n1=n2tztzHEHE,特点：横向分量大，纵向分量小21sin12ccnn近似接近TEM波，均匀平面波光纤技术基础光纤技术基础7/22/2023101矢量法矢量法标量法标
47、量法复习复习 3.利用满足光纤边界条件利用满足光纤边界条件的的Maxwell方程求解方程求解 弱导近似条件下，求解横场弱导近似条件下，求解横场满足的标量满足的标量Helmholtz方程方程2.解法烦琐，结果复杂,不易分析导波特性易于分析，结果简单0,02222HHEEkk22,00cfcknkk2,1,022202jnkjtHelmholtz方程方程光纤技术基础光纤技术基础7/22/2023102矢量法矢量法标量法标量法复习复习 4.Ez,HzEt=eyEy Ht=exHx jmrGHrHjmrGErEmzmzexp,exp,00 arWKaWrKarUJaUrJrGmmmmm,mrAGEnn
48、mycos2100nHx光纤技术基础光纤技术基础7/22/2023103矢量法矢量法标量法标量法复习复习 纵横关系Ez,HzEr,E,Hr,H特征方程特征方程模式分类模式分类截止特性截止特性Ex,Ez,Hy,Hz纵横关系Et=eyEy Ht=exHx5.光纤技术基础光纤技术基础7/22/2023104矢量法特征方程矢量法特征方程复习复习 6.方向分量连续E|r=aH|r=a特征方程特征方程 4202221UWVkmWWKaWrKnUUJaUrJnWWKaWrKUUJaUrJmmmmmmmm光纤技术基础光纤技术基础7/22/2023105标量法特征方程标量法特征方程zzHE切向分量连续切向分量连
49、续 z分量分量 WWKWKUUJUJWWKWKUUJUJmmmmmmmm1111特特征征方方程程二式等价复习复习 光纤技术基础光纤技术基础7/22/2023106矢量法模式分类矢量法模式分类 复习复习 00101WWKWKUUJUJ 001220121WWKWKnUUJUJnTE0n模：模：E0=0,m=0,TM0n模模:H0=0,m=0,0,0,000HEm EHmn模：模：H0E0E0H0 HEmn模：模：光纤技术基础光纤技术基础7/22/20231070,1,1,102001,1,1mHELPmHETMTELPmHEEHLPnnnnnnnmnmmnHEHEHEHEHEHEHEHEHE标量
50、法模式构造标量法模式构造复习复习 标量模标量模=矢量模的迭加矢量模的迭加 光纤技术基础光纤技术基础7/22/2023108矢量模的截止特性矢量模的截止特性 W=0,U=Vc,归一化截止频率截止条件截止条件 特征方程特征方程 归一化截止频率归一化截止频率W0 0,22!1,154.1ln,00mWmKWWKWmmKm(W)的小宗量近似：的小宗量近似：复习复习 光纤技术基础光纤技术基础7/22/2023109矢量模的截止特性矢量模的截止特性 4048.20V模式的归一化截止频率及低阶模的模式的归一化截止频率及低阶模的Vc值值单模条件：单模条件：22212nnaV复习复习 光纤技术基础光纤技术基础7
