1、椭圆的定义及标准方程 已知一曲线是与两个定点已知一曲线是与两个定点OO（0 0，0 0）、）、A A（3 3，0 0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出方程，并画出曲线曲线.到两定点距离之商等于常数的点的轨迹是圆，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹是什么呢？结论：平面内与两个定点结论：平面内与两个定点F F1 1 与与F F2 2 距离的和等于常数距离的和等于常数2a(2a(大于大于)的点的点的轨迹为椭圆的轨迹为椭圆 平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1 与与F F2 2 距距离的和等于常数离的和等于常数2a(2a(等于等于)的点的的点的轨迹维
2、修线段轨迹维修线段 平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1 与与F F2 2 距距离的和等于常数离的和等于常数2a(2a(小于小于)的点不的点不存在存在我们把平面内与两个定点我们把平面内与两个定点F1、F2的距的距离的和等于常数（大于离的和等于常数（大于 F1F2 ）的）的点的轨迹叫椭圆点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.下面我们来计算椭圆的方程，求曲线方程的一般步骤为什么？建立适当的坐标系yx,表示曲线 上任意一点M的坐标.写出适当条件P的M的集合P=M|P(M)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=
3、0化方程f(x,y)=0为最简形式证明以化简后的方程的解为坐标的都是曲线上的点回顾求椭圆的一般方程如图建立直角坐标系xoy，设M(x,y)是椭圆上任意一点 0022121,ccFFCFF的坐标分别是那么由椭圆的定义aMFMFMP2|21aycxycx22222o1F02,cF0,cyxM,xy由上述步骤求椭圆的方程22222222caayaxca由椭圆的定义可知 2a2c 即 ac所以022 ca令0222bbca代入上式得222222bayaxb两边同时除以22ba得12222byax化简得如果焦点在y轴上，焦点坐标分别为F1(-c,0）,F2(c,0)，那么方程为12222bxay这个方程
4、叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c,0）,F2(c,0)，这里c2=a2-b2.例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（4，0）（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10（2）两个焦点的坐标分别是（0，2）、（0，2），并且椭圆经过点.解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为)0(12222babxay.由椭圆的定义知：102)225()23()225()23(2222a=10又c=2 b2=a2c2=6所以所求椭圆方程为161022xy2a=)25,23(例例2 2 已知已知B B、C C是两个定点，是两个定点，B
5、CBC =6=6，且，且ABCABC的周长等于的周长等于1616，求顶点，求顶点A A的轨迹方程的轨迹方程.分析：在解析几何里，求符合某种条件的点分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，要体现对称性，让更多的点坐标系的原则，要体现对称性，让更多的点在坐标轴上，如何建立坐标系？在坐标轴上，如何建立坐标系？A A满足什么满足什么条件条件?由由ABCABC的周长等于的周长等于1616，BCBC =6=6可知，点可知，点A A到到B B、C C两点的距离之和是常数，即两点的距离之和是常数，即 ABAB +ACAC
6、=16=166=10 6=10 点点A的轨迹是的轨迹是 什么？什么？例3 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP，求线段PP中点M的轨迹.解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0），则x=x0,y=y0/2.因为P（x0,y0）在圆x2+y2=4上，所以x02+y02=4.将x0=x,y0=2y代入方程得 x2+4y2=4 即 1422 yxPPM所以点M的轨迹是一个椭圆.说明：求点M(x,y)的轨迹方程时，不是直接建立x,y之间关系，而是先寻找x,y与中间变量x0,y0之间的关系，利用已知关于x0,y0之间关系的方程，得到关于x,y之
7、间关系的方程.这种利用中间变量求点的轨迹方程的方法叫代入法不同点标准方程标准方程图形焦点坐标焦点坐标共共同同点点定义定义a、b、c的关系的关系焦点的位置的判焦点的位置的判定定12222byax (ab0)12222aybx (ab0)F1F2MoyxoyxF2F1M222cba项中哪个分母大，焦点就在哪一条轴上。项中哪个分母大，焦点就在哪一条轴上。22,yxF1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)ab0，b，c大小不确定大小不确定ac生活中的生活中的椭圆椭圆椭圆的基本性质椭圆的基本性质1.由标准方程可知，要求x的取值范围，只要列出x的不等式，由于是两个非负数的和等于1，那么
8、，如何由等式变不等式，如何消去y?即：x2a2,y2b2|x|a,|y|b这说明椭圆位于直线x=a,y=b所围成的矩形里.112222byax或2.顶点 曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置，要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标.同学们看一下，标准方程所表示的椭圆与x轴、y轴的交点坐标是怎样的.3.对称性4.离心率椭圆的离心率是怎样定义的？椭圆的焦距与长轴长的比acac22=e,叫做椭圆的离心率.椭圆离心率e的范围是怎样的？因为ac0,所以0e1e既然在（0，1）变化，e的变化又对椭圆有什么影响呢？方程图形 范围对称性顶点(a,0),(a,0),(0,b),
9、(0,-b)(0,a),(0,-a),(b,0),(-b,0)离心率12222byax12222bxay xyB1B2A1A2bybaxa,ayabxb,关于关于x轴，轴，y轴，原点对轴，原点对称。称。关于关于x轴，轴，y轴，原点对称轴，原点对称。)10(eace)10(eaceA1A2B2B1例求椭圆400251622yx的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形解：把已知方程化成标准方程,1452222yx31625c因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，53ace焦点焦点（，）和（，）和（，），（，），顶点是顶点是（，），（，），（，）（，），（，
10、）和（，）和（，）（，）离心率例求适合下列条件的椭圆的标准方程：例求适合下列条件的椭圆的标准方程：（）经过点（）经过点（，）、（，）、（，）；（，）；（）长轴的长等于，离心率等于（）长轴的长等于，离心率等于解：（）由椭圆的几何性质可知，以坐标轴解：（）由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点点，所以点、分别是椭圆长轴和短轴的一分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得个端点，于是得a a=3,=3,b b=2.=2.又因为长轴在又因为长轴在x x轴上，所以椭圆的标准方程为轴上，所以椭圆的标准方程为14922yx（）由已
11、知，（）由已知，2 2a a=20,=20,53ace,.64610.6,10222bca所以所求椭圆的标准方程为16410022yx16410022xy例如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心作为一个焦点的椭圆已知它的近地点距地面km，远地点距地面km，并且、在同一直线上，地球半径约为km，求卫星运行的轨道方程（精确到km）例4.平面内点M(x,y)与一个定点F(c,0)的距离和它到一定直线l:x=a2/c的距离的比是常数c/a(ac0),求点M的轨迹)2()()()(22242222222222xxcacaacycxxcaacycxacxcaycx根据题意得：设a2-c2=
12、b2，方程可化成12222byax(ab0)定点叫焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率 例5：以原点为圆心，分别以a、b(ab0)为半径做两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN垂直Ox，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程.ABMN分析指导：题目让求当OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程，我们知道在解析几何中求哪个点的轨迹，就把哪个点的坐标设为(x,y)，然后再去寻求关系，点M的坐标（x,y）随着哪个量的变化而变化呢？或者说选哪个量为参数呢？设点M的坐标是(x,y)，是以Ox为始边，OA为终边的正角，取为参数，那么x=ON=|OA|cosy=NM=|OB|sin即sincosbyax椭圆的基本性质椭圆的基本性质
