1、 达州市达州市 2020 年高中阶段学校招生统一考试暨初中学业水平考试年高中阶段学校招生统一考试暨初中学业水平考试 数学数学 本试卷分为第本试卷分为第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 8 页页 考试时间考试时间 120 分钟，满分分钟，满分 120 分分 温馨提示：温馨提示： 1答题前，考生需用答题前，考生需用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题 卡对应位置待监考老师粘贴条形码后，再认真核对条形码上的信息与自己的准考证上的信卡对应位置待监考老师粘贴条形码后，
2、再认真核对条形码上的信息与自己的准考证上的信 息是否一致息是否一致 2选择题必须使用选择题必须使用 2B 铅笔在答题卡相应位置规范填涂如需改动，用橡皮擦擦干净后，再铅笔在答题卡相应位置规范填涂如需改动，用橡皮擦擦干净后，再 选涂其他答案标号；非选择题用选涂其他答案标号；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡对应的框内，对应的框内， 超出答题区答案无效；在草稿纸、试题卷上作答无效超出答题区答案无效；在草稿纸、试题卷上作答无效 3保持答题卡整洁，不要折叠、弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀保持答题卡整洁，不要折叠、弄破、弄皱，不得使
3、用涂改液、修正带、刮纸刀 4考试结束后，将试卷及答题卡一并交回考试结束后，将试卷及答题卡一并交回 第第卷（选择题卷（选择题 共共 30 分）分） 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1.人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈据中央电视台“朝日新闻”报道，截止北京时间 2020 年 6 月 30 日 凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到 1002 万1002 万用科学记数法表示，正确的是（ ） A. 7 1.002 10 B. 6 1.002 10 C. 4 1002 10 D. 2 1.002 10万 【答案】A 【解析】 【分析】 通过科学记数法的公式计
4、算即可：10110 n aa； 【详解】1002 万=10020000= 7 1.002 10 故答案选 A 【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确判断小数点位置是解题的关键 2.下列各数中，比 3 大比 4 小的无理数是（ ） A. 3.14 B. 10 3 C. 12 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】 根据无理数的定义找出无理数，再估算无理数的范围即可求解 【详解】解：四个选项中是无理数的只有 12和17，而 174 2，321242 174，3124 选项中比 3 大比 4 小的无理数只有 12 故选：C 【点睛】此题主要考查了无理数的定义和估算，解题时注意带根号的要开不
5、尽方才是无理数，无限不循环 小数为无理数 3.下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字其中，手的对面是口的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点逐项判断即可 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， A、手的对面是勤，所以本选项不符合题意； B、手的对面是口，所以本选项符合题意； C、手的对面是罩，所以本选项不符合题意； D、手的对面是罩，所以本选项不符合题意 故选：B 【点睛】本题考查了正方体相对面上的文字，属于常考题型，熟知正方体相对两个面的特征是解题的关键 4.下列说法正确
6、的是（ ） A. 为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查 B. 确定事件一定会发生 C. 某校 6 位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为 98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为 98 D. 数据 6、5、8、7、2 的中位数是 6 【答案】D 【解析】 【分析】 可用普查的定义或适用范围判断 A 选项；根据确定事件的定义判断 B 选项；用众数的概念判断 C 选项；最 后用中位数的定义判断 D 选项 【详解】全国中小学生数量极大，不适合全面普查，为了解全国中小学生心理状况，应采用抽样调查方式， 故 A 选项错误； 确定事件包括必然事件与不可能事件，不可能事件不会发生，
7、故 B 选项错误； 众数为一组数据当中出现次数最多的数据，该组数据中 98，99 均分别出现两次，故众数为 98，99，C 选项 错误； 将一组数据按数值大小顺序排列，位于中间位置的数值为该组数据的中位数，2，5，6，7，8 中位数为 6， 故 D 选项正确； 综上：本题答案为 D 选项 【点睛】本题考查统计知识当中的相关概念，解答本题关键是熟悉各概念的定义，按照定义逐项排除即可 5.图 2 是图 1 中长方体的三视图，若用S表示面积， 2 3Sxx 主 ， 2 Sxx 左 ，则S 俯 （ ） A. 2 43xx B. 2 32xx C. 2 21xx D. 2 24xx 【答案】A 【解析】
8、 【分析】 直接利用已知视图的边长结合其面积得出另一边长，即可得出俯视图的边长进而得出答案 【详解】解：S主 2 3(3)xxx x，S左 2 (1)xxx x， 主视图的长3x，左视图的长1x ， 则俯视图的两边长分别为：3x、1x， S俯 2 (3)(1)43xxxx， 故选：A 【点睛】此题主要考查了已知三视图求边长，正确得出俯视图的边长是解题关键 6.如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为 m，下列代数式表示正方体上小球 总数，则表达错误的是（ ） A. 12(1)m B. 48(2)mm C. 12(2)8m D. 1216m 【答案】A 【解析】 【分析】
9、先根据规律求出小球的总个数,再将选项逐项化简求值即可解题. 【详解】解:由题可知求小球的总数的方法会按照不同的计数方法而规律不同,比如可以按照一共有 12 条棱, 去掉首尾衔接处的小球,则每条棱上剩下 12(m-2)个小球,加上衔接处的 8 个小球,则小球的个数为 12(2)81216mm, 选项 B 中48(2)mm1216m,故 B,C,D 均正确, 故本题选 A. 【点睛】 本题考查了图形的规律,合并同类项,需要学生具有较强的逻辑抽象能力,能够不重不漏的表示出小球 的总数是解题关键. 7.中国奇书易经中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”如图，一位母亲在 从右到左依
10、次排列的绳子上打结，满 5 进 1，用来记录孩子自出生后的天数由图可知，孩子自出生后的天 数是（ ） A. 10 B. 89 C. 165 D. 294 【答案】D 【解析】 【分析】 类比十进制“满十进一”，可以表示满 5 进 1 的数从左到右依次为：2 5 5 5，1 5 5，3 5，4，然后把它们 相加即可 【详解】依题意，还在自出生后的天数是： 2 5 5 5+1 5 5+3 5+4=250+25+15+4=294， 故选：D 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满 5 进 1 的规律列式计算 8.如图， 在半径为 5 的O中， 将劣弧AB沿弦AB翻折，
11、 使折叠后的AB恰好与OA、OB相切， 则劣弧AB 的长为（ ） A. 5 3 B. 5 2 C. 5 4 D. 5 6 【答案】B 【解析】 【分析】 如图画出折叠后AB所在的O ，连 OB，OA，根据题意可得 OBOB、OAOA，且 OB=OA=O B=OA,得到四边形 OBOA 是正方形，即O=90 ，最后根据弧长公式计算即可 【详解】解：如图：画出折叠后AB所在的O ，连 OB，OA AB恰好与OA、OB相切 OBOB、OAOA OB=OA=OB=OA, 四边形 OBOA 是正方形 O=90 劣弧AB的长为 902 55 3602 故答案为 B 【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的判
12、定与性质、弧长公式等知识点，其中掌握弧长公式和折叠的 性质是解答本题的关键 9.如图，直线 1 ykx与抛物线 2 2 yaxbxc交于 A、B 两点，则 2 ()yaxbk xc的图象可能是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题目所给的图像，首先判断 1 ykx中 k0，其次判断 2 2 yaxbxc中 a0，b0，c0，再根据 k、b、的符号判断 2 ()yaxbk xc中 b-k0，又 a0，c0 可判断出图像 【详解】解：由题图像得 1 ykx中 k0， 2 2 yaxbxc中 a0，b0，c0， b-k0， 函数 2 ()yaxbk xc对称轴 x=
13、 2 bk a 0，交 x 轴于负半轴， 当 12 yy时，即 2 kxaxbxc， 移项得方程 2 ()0axbk xc， 直线 1 ykx与抛物线 2 2 yaxbxc有两个交点， 方程 2 ()0axbk xc有两个不等的解，即 2 ()yaxbk xc与 x 轴有两个交点， 根据函数 2 ()yaxbk xc对称轴交 x 轴负半轴且函数图像与 x 轴有两个交点， 可判断 B 正确 故选：B 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象与性质，解题的关键是根据图像判断 k、a、b、c 的正负号， 再根据二次函数与一元二次方程的关系判断出正确图像 10.如图，45BOD，BODO，点 A 在O
14、B上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点 E， 连接OE交AD于点 F下列 4 个判断：OE平分BOD；OFBD； 2DFAF ；若点 G 是线段OF的中点，则AEG为等腰直角三角形正确判断的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 ，先说明 OBD 是等腰三角形，再由矩形的性质可得 DE=BE，最后根据等腰三角形的性质即可判断； 证明 OFA OBD 即可判断；过 F 作 FHAD，垂足为 H,然后根据角平分线定理可得 FH=FA,再求得 HDF=45 ，最后用三角函数即可判定；连接 AG,然后证明 OGA ADE,最后根据全等三角形的性质
15、 和角的和差即可判断 【详解】解：BODO OBD 是等腰三角形 四边形ABCD是矩形 DE=BE= 1 2 BD，DAOB OE平分BOD，OEBD 故正确； OEBD, DAOB，即DAO=DAB EDF+DFE=90 ，AOF+AFO=90 EDF=AOF DAOB，45BOD OA=AD 在 OFA 和 OBD 中 EDF=AOF ,OA=AD,DAO=DAB OFA OBD OF=BD,即正确； 过 F 作 FHAD，垂足为 H, OE平分BOD，DAOB FH=AF 45BOD，DAOB HDF=45 sinHDF= 2 2 HFAF FDFD ,即2 DFAF ；故正确； 由得E
16、DF=AOF， GOF 中点 OG= 1 2 OF DE=BE= 1 2 BD，OF=BD OG=DE 在 OGA 和 AED 中 OG=DE, EDF=AOF，AD=OA OGA AED OG=EF,GAO=DAE GAE 是等腰三角形 DAOB OAG+DAG=90 DAE+DAG =90 ,即GAE=90 GAE 是等腰直角三角形，故正确 故答案为 A 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质 以及解直角三角形等知识点，考查知识点较多，故灵活应用所学知识成为解答本题的关键 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 90 分）分） 二、填空题（
17、每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11.2019 年是中华人民共和国成立 70 周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动其中， 群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统 计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图以下是打乱了的统计步骤： 绘制扇形统计图 收集三个部分本班学生喜欢的人数 计算扇形统计图中三个部分所占的百分比 其中正确的统计顺序是_ 【答案】 【解析】 【分析】 制作扇形统计图的一般步骤是：1、计算各部分在总体中所占的百分比；2、计算各个扇形的圆心角的度数； 3、在圆中依次作出上面的扇
18、形，并标出百分比；据此解答即可 【详解】解：正确的统计顺序是： 收集三个部分本班学生喜欢的人数； 计算扇形统计图中三个部分所占的百分比； 绘制扇形统计图； 故答案为： 【点睛】本题考查了扇形统计图的相关知识，解题的关键明确制作扇形统计图的一般步骤 12.如图，点 ( 2,1)P 与点Q( , )a b关于直线(1)l y 对称，则ab_ 【答案】-5 【解析】 【分析】 根据点 ( 2,1)P 与点Q( , )a b关于直线(1)l y 对称求得 a，b 的值，最后代入求解即可 【详解】解：点 ( 2,1)P 与点Q( , )a b关于直线(1)l y 对称 a=-2， 1 1 2 b ,解得
19、 b=-3 a+b=-2+（-3）=-5 故答案为-5 【点睛】本题考查了关于 y=-1 对称点的性质，根据对称点的性质求得 a、b 的值是解答本题的关键 13.小明为测量校园里一颗大树AB的高度，在树底部 B 所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与 B 相距 8m的位置，在 D 处测得树顶 A 的仰角为52若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为_ （结 果精确到1m参考数据：sin520.78,cos520.61,tan521.28 ） 【答案】11m 【解析】 【分析】 过 D 作 DEAB，解直角三角形求出 AE 即可解决问题 【详解】如图，过 D 作 DEAB，则四边形 BCDE
20、是矩形， BC=DE，BE=CD， 在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为 52 ， ADE=52 ， BC=DE=8m， AE=DE tan52 81.2810.24m， AB=AE+BE=AE+CD=10.24+1=11.24m11m. AB 约为：11m. 故答案为：11m 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形是解答的关键 14.如图，点 A、B 在反比函数 12 y x 的图象上，A、B 的纵坐标分别是 3 和 6，连接OA、OB，则OAB 的面积是_ 【答案】9 【解析】 【分析】 设 BDy 轴于点 D，ACy 轴于点 C，AC 与 OB 的交点为点 E
21、，证得 S四边形EBDC=S AOE即可得 S AOB=S四 边形ABDC，根据梯形的面积公式求解即可 【详解】如图，设 BDy 轴于点 D，ACy 轴于点 C，AC 与 OB 的交点为点 E， A、B 的纵坐标分别是 3 和 6， 代入函数关系式可得横坐标分别为 4,2； A（4,3） ，B（2,6） ； AC=4，BD=2，CD=3 由反比例函数的几何意义可得 S BOD=S AOC， S四边形EBDC=S AOE， S AOB=S四边形ABDC= 1 9 2 ACBDCD， 故答案为：9 【点睛】本题考查了反比例函数中三角形面积的求解，要能够熟练掌握反比例函数的性质和几何意义；双 曲线上
22、任意一点向 x 轴或 y 轴引垂线，则该点、垂足、原点组成的三角形的面积相等，都是 2 k 15.已知ABC的三边 a、b、c 满足 2 |3|84119bcaab ，则ABC的内切圆半径=_ 【答案】1 【解析】 【分析】 先将 2 |3|84119bcaab 变形成 2 2 12|3|40bca ， 然后根据非负性的性 质求得 a、b、c 的值，再运用勾股定理逆定理说明 ABC 是直角三角形，最后根据直角三角形的内切圆半 径等于两直角边的和与斜边差的一半解答即可 【详解】解： 2 |3|84119bcaab 2 2 1414|3|8160bbcaa 2 2 12|3|40bca 则 12b
23、 =0，c-3=0，a-4=0，即 a=4，b=5，c=3， 42+32=52 ABC 是直角三角形 ABC的内切圆半径= 345 22 acb =1 故答案为 1 【点睛】本题考查了非负数性质的应用、勾股定理逆定理的应用以及直角三角形内切圆的求法，掌握直角 三角形内切圆半径的求法以及求得 a、b、c 的值是解答本题的关键 16.已知 k 为正整数，无论 k 取何值，直线 1: 1lykxk与直线 2: (1)2lykxk都交于一个固定 的点，这个点的坐标是_；记直线 1 l和 2 l与 x 轴围成的三角形面积为 k S，则 1 S _， 123100 SSSS的值为_ 【答案】 (1). 1
24、,1 (2). 1 4 (3). 50 101 【解析】 【分析】 联立直线 1 l和 2 l成方程组，通过解方程组，即可得到交点坐标；分别表示出直线 1 l和 2 l与 x 轴的交点，求得 交点坐标即可得到三角形的边长与高，根据三角形面积公式进行列式并化简，即可得到直线 1 l和 2 l与 x 轴围 成的三角形面积为 k S的表达式， 从而可得到 1 S和 123100 SSSS， 再依据分数的运算方法即可得解 【详解】解：联立直线 1: 1lykxk与直线 2: (1)2lykxk成方程组， 1 (1)2 ykxk ykxk ， 解得 1 1 x y ， 这两条直线都交于一个固定的点，这个
25、点的坐标是 1,1 ； 直线 1: 1lykxk与 x 轴的交点为 1,0k k ， 直线 2: (1)2lykxk与 x 轴的交点为 2 ,0 1 k k ， 121111 1 2211 k kk kkk S k ， 1 1 4 S ， 123100 1111111 1 22334100101 1111111 1 11 223341001 11 2222 01 1 1 101 50 , 101 1 2 1 2 SSSS 故答案为： 1,1 ； 1 4 ； 50 101 【点睛】本题考查了一次函数y kxb （k0，b 为常数)的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与 x 轴的交 点的纵坐标为 0，
26、与 y 轴的交点的横坐标为 0；也考查了坐标与线段的关系、三角形的面积公式以及分数的 特殊运算方法解题的关键是熟练掌握一次函数y kxb （k0，b 为常数)的图象与性质，能灵活运用分 数的特殊运算方法 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共 72 分）分） 17.计算： 2 20 3 1 2(5)125 3 【答案】1 【解析】 【分析】 先运用乘方、负整数指数幂、零次幂、立方根的知识化简，然后计算即可 【详解】解： 2 20 3 1 2(5)125 3 =4 9 1 5 =1 【点睛】本题考查了乘方、负整
27、数指数幂、零次幂、立方根等知识，掌握相关知识的运算法则是解答本题 的关键 18.求代数式 2 212 1 121 xx x xxx 的值，其中 2 1x 【答案】 2 xx，22- - 【解析】 【分析】 先根据分式的混合运算法则化简原式，再把 x 的值代入化简后的式子计算即可 【详解】解：原式= 2 2 2112 11 1 xxx xx x = 2 2 12 12 xxx xx = 2 21 12 x xx xx =1x x = 2 xx， 当 2 1x 时，原式= 2 212122 【点睛】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算 法则是解题的关
28、键 19.如图，点 O 在ABC的边BC上，以OB为半径作 O，ABC的平分线BM交O于点 D，过点 D 作DEBA于点 E （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） ，补全图形； （2）判断O与DE交点的个数，并说明理由 【答案】 （1）见解析； （2）O与DE有 1 个交点，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）根据已知圆心和半径作圆、作已知角的平分线、过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图的步骤作 图即可； （2）连接 OD，由 OB=OD，得到1=2，再由角平分线得出1=3，等量代换进而证出 ODBA，根 据两直线平行同旁内角互补，得到ODE=90 ，由此得出 OD 是O的切线，即O与
29、DE有 1 个交点. 【详解】解： （1）如下图，补全图形： （2）如下图，连接 OD， 点 D 在O上， OB=OD， 1=2， 又BM 平分ABC， 1=3， 2=3， ODBA， ODE+BED=180 ， DEBA ODE=90 ， OD 是O的切线， O与DE有 1 个交点. 【点睛】本题考查尺规作图、圆的切线的判定，熟练掌握尺规作图的步骤及圆的切线的判定定理是解题的 关键. 20.争创全国文明城市，从我做起尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况， 随机抽取了 20 名学生的测试成绩，分数如下： 94 83 90 86 94 88 96 100 89 82 94
30、 82 84 89 88 93 98 94 93 92 整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图： 等级 成绩/分 频数 A 95100 x剟 a B 9095x 8 C 8590 x 5 D 8085x 4 根据以上信息，解答下列问题 （1）填空：a_，b_； （2）若成绩不低于 90 分为优秀，估计该校 1200 名八年级学生中，达到优秀等级人数； （3）已知 A 等级中有 2 名女生，现从 A 等级中随机抽取 2 名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好 抽到一男一女的概率 【答案】 （1）3，40； （2）660 人； （3） 2 3 【解析】 【分析】 （1）用 20 分别减去其它
31、三个等级的人数即为 a 的值，用 B 等级的频数除以 20 即可求出 b 的值； （2）用 A、B 两个等级的人数之和除以 20 再乘以 1200 计算即可； （3） 先画出树状图求出所有等可能的结果数，再找出恰好抽到一男一女的结果数，然后根据概率公式解答 【详解】解： （1）20 8 5 43a ； 8 20=40%，b=40； 故答案为：3，40； （2） 38 1200660 20 人； 答：估计该校 1200 名八年级学生中，达到优秀等级的人数是 660 人； （3）记 A 等级中的 2 名女生为 M、N，1 名男生为 Y，所有可能的情况如图所示： 由上图可知：共有 6 种等可能的结果
32、，其中恰好抽到一男一女的结果有 4 种， 恰好抽到一男一女的概率= 42 63 【点睛】本题考查了频数分布表、扇形统计图、利用样本估计总体和求两次事件的概率等知识，属于常考 题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键 21.如图，ABC中，2BCAB， D、 E 分别是边BC、AC的中点 将 CDE绕点 E 旋转 180 度， 得AFE （1）判断四边形ABDF的形状，并证明； （2）已知3AB ，8ADBF，求四边形ABDF的面积 S 【答案】 （1）菱形，理由见解析； （2）6 【解析】 【分析】 （1）根据三角形中位线定理可得DF AB，根据旋转的性质，BD AF，可证明四边形是平
33、行四边形， 再根据2BCAB，D、E 分别是边BC、AC的中点，可知BDAB，所以四边形是菱形； （2）由（1）得菱形的对角线互相垂直平分，再根据8ADBF，可得到4BOAO，利用勾股定理 可求出 BO 和 AO，再根据菱形的面积求解公式计算即可； 【详解】 （1）四边形 ABCD菱形，理由如下： D、E 分别是边BC、AC的中点， DFAB， 又CDE绕点 E 旋转 180 度后得 AFE， CFAE ， BDAF， 四边形 ABCD 是平行四边形， 又 2BCAB， ABBD， 四边形 ABCD 是菱形 （2）如图，连接 AD、BF， 四边形 ABCD 是菱形， AD 与 BF 相互垂直且
34、平分， 又 8ADBF， 4AOBO， 令AOx，4BOx， 在 Rt ABO 中，3AB ， 222 BOAOAB , 即 2 22 4-3xx， 解得： 1 42 2 x ， 2 4- 2 2 x ， 即由图可知 4- 2 2 AO ， 42 2 BO ， 42AD ， 42BF ， 111 4242126 222 SADBO 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质综合应用，准确理解中位线定理和旋转性质是解题的关键 22.某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表： 原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套） 餐桌 a 380 940 餐椅 140a 160 已知
35、用 600 元购进的餐椅数量与用 1300 元购进的餐桌数量相同 （1）求表中 a 的值； （2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张若 将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进 货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】 （1）a=260； （2）购进餐桌 30 张、餐椅 170 张时，才能获得最大利润，最大利润是 9200 元 【解析】 【分析】 （1）用含 a 的代数式分别表示出 600 元购进的餐椅数量与用 1300 元购进的餐桌数量，再根据二者数量相 等即可列出关于
36、 a 的方程，解方程并检验即得结果； （2）设购进餐桌 x 张，销售利润为 W 元根据购进总数量不超过 200 张，得出关于 x 的一元一次不等式， 解不等式即可求出 x 的取值范围，再根据“总利润成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即 可得出 W 关于 x 的一次函数，然后根据一次函数的性质即可解决问题 【详解】解： （1）根据题意，得：1300 600 140aa ， 解得：a=260， 经检验：a=260 是所列方程的解， a=260； （2）设购进餐桌 x 张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为 W 元 由题意得：x+5x+20200，解得：x30 a260，餐桌的进价
37、为 260 元/张，餐椅的进价为 120 元/张 依题意可知： W 1 2 x (9402604 120）+ 1 2 x (380260）+（5x+20 1 2 x 4） (160120）280 x+800， k2800， W 随 x 的增大而增大， 当 x30 时，W 取最大值，最大值为 9200 元 故购进餐桌 30 张、餐椅 170 张时，才能获得最大利润，最大利润是 9200 元 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，属于常考题型，解题的关键是： （1）正确理解题意、由数量相等得出关于 a 的分式方程； （2）根据数量关系找出 W 关于 x 的函数解析式，
38、灵活应用一次函数的性质 23.如图，在梯形ABCD中，/ABCD，90B ，6cmAB ，2cmCDP 为线段BC上的一动点， 且和 B、C 不重合，连接PA，过点 P 作PEPA交射线CD于点 E 聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究： （1）通过推理，他发现ABPPCE，请你帮他完成证明 （2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点 P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值： 当6cmBC =时，得表 1： /cmBP 1 2 3 4 5 /cmCE 0.83 1.33 1.50 1 33 0.83 当8cmBC 时，得表 2： /cmBP 1 2 3 4 5 6 7 /cmC
39、E 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17 这说明，点 P 在线段BC上运动时，要保证点 E 总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制 填空： 根据函数的定义， 我们可以确定， 在BP和CE的长度这两个变量中， _的长度为自变量， _ 的长度为因变量； 设cmBCm，当点 P 在线段BC上运动时，点 E 总在线段CD上，求 m 取值范围 【答案】 （1）证明见解析； （2）BP，CE；0m4 3 【解析】 【分析】 （1）由同角的余角相等可得APBCEP，又因为BC90 ，即可证得相似； （2）由题意可得随着 P 点的变化，CE 的长度在变化，即可判断自变量和因变
40、量； 设 BP 的长度为 xcm，CE 的长度为 ycm，由 ABPPCE，利用对应边成比例求出 y 与 x 的函数关系 式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定 m 的取值范围； 【详解】解： （1）证明：PEPA， APE90 ， APBCPE90 ，CEPCPE90 ， APBCEP， 又BC90 ， ABPPCE； （2）由题意可得随着 P 点的变化，CE 的长度在变化，所以 BP 的长度为自变量，CE 的长度为因变量； 故答案为：BP，CE； 设 BP 的长度为 xcm，CE 的长度为 ycm， ABPPCE， ABBP PCEC ，即 6 m x xy ， y 2 1 6
41、xmx 2 1 6224 mm x ， 当 x 2 m 时，y 取得最大值，最大值为 2 24 m ， 点 P 在线段 BC 上运动时，点 E 总在线段 CD 上， 2 24 m 2， 解得 m4 3， m 的取值范围为：0m4 3 【点睛】本题考察了代数几何综合题、相似三角形的判定与性质、梯形的性质、二次函数最值等知识点， 所涉及考点众多，有一定的难度注意第（2）问中求 m 取值范围时二次函数性质的应用 24.（1） 【阅读与证明】 如图 1，在正ABC的外角CAH内引射线AM，作点 C 关于AM的对称点 E（点 E 在CAH内） ，连 接BE，BE、CE分别交AM于点 F、G 完成证明：点
42、 E 是点 C 关于AM的对称点， 90AGE ，AEAC，12 正ABC中，60BAC ，ABAC， AEAB，得34 在ABE中，126034180 ，13 _ 在AEG中，3190FEG ，FEG_ 求证：2BFAFFG （2） 【类比与探究】 把（1）中的“正ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图 2类比探究，可得： FEG_； 线段BF、AF、FG之间存在数量关系_ （3） 【归纳与拓展】 如图 3，点 A 在射线BH上，ABAC，0180BAC ，在CAH内引射线AM，作点 C 关于AM的对称点 E（点 E 在CAH内） ，连接BE，BE、CE分别交AM于点 F、G则线
43、段BF、AF、 GF之间的数量关系为_ 【答案】 （1）60 ，30 ；证明见解析； （2）45 ；BF= 2(AF+FG)； （3） 2sin 2 sin 2 FG BF 【解析】 【分析】 （1）根据等量代换和直角三角形的性质即可确定答案；在 FB 上取 AN=AF，连接 AN先证明 AFN 是等边三角形，得到 BAN=2=1，然后再证明 ABNAEF，然后利用全等三角形的性质以及线段 的和差即可证明； （2）类比（1）的方法即可作答； （3）根据（1） （2）的结论，即可总结出答案 【详解】解： （1）12 ，34 ， 126034180 213120 ，即13 60 ； 3190FEG
44、 903130FEG 故答案为 60 ，30 ； 在 FB 上取 FN=AF，连接 AN AFN=EFG=60 AFN 是等边三角形 AF=FN=AN FN=AF BAC=NAF=60 BAN+NAC=NAC+2 BAN=2 点 C 关于AM的对称点 E 2=1,AC=AE BAN=2=1 AB=AC AB=AE 在 ABN 和 AEF FN=AF,BAN=1,AB=AE ABNAEF BN=EF AGCE，FEG=30 EF=2FG BN=EF=2FG BF=BN+NF BF=2FG+AF （2）点 E 是点 C 关于AM的对称点， 90AGE ，AEAC，12 正方形 ABCD 中，90B
45、AC ，ABAC， AEAB，得34 在ABE中，129034180 ， 13 45 在AEG中，3190FEG ， FEG45 故答案为 45 ； 在 FB 上取 FN=AF，连接 AN AFN=EFG=45 AFN 是等腰直角三角形 NAF=90 ，AF=AN BAN+NAC=NAC+2=90 ,FN= 2AF BAN=2 点 C 关于AM的对称点 E 2=1,AC=AE BAN=2=1 AB=AC AB=AE 在 ABN 和 AEF FN=AF,BAN=1,AB=AE ABNAEF BN=EF AGCE，FEG=45 EF= 2FG BN=EF= 2FG BF=BN+NF BF= 2FG
46、+2AF （3）由（1）得：当BAC=60 时 BF=AF+2FG= 60 2sin302sin 60sin302 sin 2 FGFG AFAF2sin 2 sin 2 FG BFAF ； 由（2）得：当BAC=90 时 BF= 2AF+22FG= 90 2sin452sin 90sin452 sin 2 FGFG AFAF ； 以此类推，当当BAC= 60 时， 2sin 2 sin 2 FG BFAF 【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的 判定与性质以及三角函数的应用，灵活应用所学知识是解答本题的关键 25.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线 1 2 2 yx与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，过 A、B 两 点的抛物线 2 yaxbxc与 x 轴交于另一点 ( 1,0)C （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点 P，使 P A BO A B SS？若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点 M 为直线AB下方抛物线上一点，点 N 为 y 轴上一点，当 MAB 的面积最大时
