1、 - 1 - 下学期高二数学 3 月月考试题 05 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1.“因指数函数 xay? 是增函数（大前提） ,而 xy )31(? 是指数函数（小前提），所以 xy )31(?是增函数（结论）”，上面推理的错误是（ ） A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错 2.已知 i是虚数单位，则 31ii? = （ ） A .1-2i B.2-i C.2+i D .1+2i 3.在用数学归纳法证明等式 )12(2321 ? nnn时，当 1?n 时的左边等于（ ） .1 .2 .3 .4 4.函数 3
2、22 3 12 5y x x x? ? ? ?在 0， 3上 的最大值，最小值分别是 （ ） A 5， -15 B 5， -4 C -4， -15 D 5， -16 5.用反证法证明命题“ ab?N， ，如果 ab 可被 5整除，那么 a ， b 至少有 1 个能被 5整除”则假设的内容是（ ） a ， b 都能被 5整除 a ， b 都不能被 5整除 a 不能被 5整除 a ， b 有 1个不能被 5整除 6.函数 xxy 1? 的极值情况是 ( ) A.有极大值 2,极小值 -2 B.有极大值 -2,极小值 2 C.无极大值 ,但有极小值 -2 D.有极大值 2,无极小值 . 7. 把正整
3、数按下图所示的规律排序，则从 2003到 2005的箭头方向依次为 ( ) 8.函数 )0,4(2cos ?在点xy ? 处的切线方程是 （ ） A. 024 ? ?yx B. 024 ? ?yx C. 024 ? ?yx D. 024 ? ?yx 9.设函数 () xf x xe? ，则（ ） A. 1x? 为 ()fx的极大值点 B. 1x? 为 ()fx的极小值点 C. 1x? 为 ()fx的极大值点 D. 1x? 为 ()fx的极小值点 10. 计算定积分 ? dxxx11 2 )sin(（ ） A 25B 43C 23 D 211.若曲线 C: axaxxy 22 23 ? 上任意点
4、处的切线的倾斜角都是锐角 ,那么整数 a =( ) A.-2 B.0 C.1 D.-1 - 2 - 12.设函数 ()fx在 R 上可导，其导函数为 ,()fx，且函数 )()1( xfxy ? 的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） （ A）函数 ()fx有极大值 (2)f 和极小值 (1)f （ B）函数 ()fx有极大值 (2)f ? 和极小值 (1)f （ C）函数 ()fx有极大值 (2)f 和极小值 (2)f ? （ D）函数 ()fx有极大值 (2)f ? 和极小值 (2)f 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13.若 biaii ? )2)(1( ，其中 ,a
5、b Ri? 为虚数单位，则 ab? 14.已知 ? ?31 2 10)3( dxkx，则 k = _. 15. 用数学归纳法证 *1 1 1 1 1 1 1 11 ( )2 3 4 2 1 2 1 2 2 nNn n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的过程中，当 n=k到 n=k+1时，左边所增加的项为 _ 。 16.右图是函数 ()y f x? 的导函数 ()y f x? 的图象，给出下列命题： 3? 是函数 ()y f x? 的极值点； 1? 是函数 ()y f x? 的最小 值点； ()y f x? 在 0x? 处切线的斜率小于零； ()y f x? 在区间
6、( 3,1)? 上单调递增 . 则正确命题的序号是 三、解答题（第 17题 10分，第 18-22题每题 12 分，共 70分） 17.复数 z = )22lg( 2 ? mm （ 232 ? mm ） i， 求：当实数 m取什么值时， z是纯虚数； 当实数 m取什么值时， z是实数 xyO 1-2-3 -1- 3 - 18.用长为 90cm， 宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器 ， 先在四角分别截去一个小正方形 ， 然后把四边翻转 90 角 ， 再焊接而成 (如图 )， 问该容器的高为多少时 ， 容器的容积最大 ？最大容积是 多少 ？ 19.在 ABC中，角 A、 B、 C成等差数
7、列。边 a、 b、 c成等比数列，求证 ABC为等边三角形。 20.已知函数 ()fx= 2axxb?在 x 1处取得极值 2 （）求函数 ()fx的解析式； （）实数 k 满足什么条件时，函数 ()fx在 区间 (2 , 4 1)kk? 上 单调 递 增？ 21.设112( ) , 1 , ( ) ( 2 , )2 nnxf x x x f x n n Nx ? ? ? ? ?（ 1）求 234,x x x 的值； （ 2）归纳 nx 的通项公式，并用数学归纳法证明。 x x - 4 - 22.已知 3x? 是函数 ? ? ? ? 2ln 1 1 0f x a x x x? ? ? ?的一个
8、极值点。 （）求 a ； （）求函数 ?fx的单调区间； （）若直线 yb? 与函数 ? ?y f x? 的图象有 3个交点，求 b 的取 值范围。 参考答案 17.解：由复数 )22lg( 2 ? mm （ 232 ? mm ） i是纯虚数 ,有? ? ? 023 0)22lg( 22 mm mm 所以 m=3 由题意? ? ? 023 0)2222 mm mm 得 m=-1，或 m=-2 18、 解：设该容器的高为 xcm。容器的容积为 ycm3。依题意有 y=(90 2x)(48 2x)x (0x24) 即 y=4(x3 69x2+1080x) y? =4(3x2 138x+1080)=
9、12(x 10)(x 36)=0 x=10 x=36(舍去 ) 当高为 10cm时，容器的容积最大，最大容积是 19600cm3 19.详见课本 85页“例 1”。 20.解： ( )已知 函数 ()fx=2axxb?， 222 2 2 2( ) ( 2 )() ( ) ( )a x b a x x a x a bfx x b x b? ? ? ? ? ?. 又函数 ()fx在 x=1 处取得极值 2， (1) 0,(1) 2,ff? ? ?即 (1 ) 2 0,21a b aab? ? ? ? ? 4,1.ab? ? 24() 1xfx x? . ( )由 222 2 2 24 ( 1 )
10、4 ( 2 ) 4 (1 )( ) 0 1( 1 ) ( 1 )x x x xf x xxx? ? ? ? ? ? ? ? ?. x ( , 1)? 1? ( 1， 1) 1 (1, )? ()fx? 0 + 0 ()fx 单调递减 极小值 2 单调递增 极大值 2 单调递减 所以24() 1xfx x? ?的单调增区间为 1,1? . 若函数 ()fx在 区间 (2 , 4 1)kk? 上 单调 递 增，则有 2 1,4 1 1,4 1 2 ,kkkk?解得 1 0.2 k? ? ?- 5 - 即 1( , 02k?时，函数 ()fx在 区间 (2 , 4 1)kk? 上 单调 递 增 .
11、21 解：（ 1）42 1 3 2 32 12 22 1 2 23 2( ) , ( ) , ( )213 2 4 52232x f x x f x x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 2）根据计算结果，可以归纳出 2 ,1nx n? ? . 6分 证明： 当 n=1时 , 1 2 1,11x ?与已知相符，归纳出 的公式成立。 ? 8分 假设当 n=k( *kN? )时，公式成立，即 2 ,1kx k? ?那么 , 1222 421 ,22 2 4 ( 1 ) 121kkkx kxx k kk? ? ? ? ? ? ? ?所以，当 n=k+1时公式也成立。 ? 11分 由知
12、， *nN? 时，有 21nx n? ?成立。 ? .12 22.【解】：（）因为 ? ? 2 101 af x xx? ? ? ， 所以 ? ? 3 6 10 04af ? ? ? ? 因此 16a? （）由（）知， ? ? ? ? ? ?21 6 ln 1 1 0 , 1 ,f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ?2 2 4 31xxfx x? ? 当 ? ? ? ?1,1 3,x? ? ?时， ? ? 0fx? ；当 ? ?1,3x? 时， ? ? 0fx? 所以 ?fx的单调增区间是 ? ? ? ?1,1 , 3,? ? ，单调减区间是 ? ?1,3 （）
13、由（）知， ?fx在 ? ?1,1? 内单调增加，在 ? ?1,3 内单调减少，在 ? ?3,? 上单调增加，且当 1x? 或 3x? 时， ? ? 0fx? 所以 ?fx的极大值为 ? ?1 16ln 2 9f ?，极小值为 ? ?3 32 ln 2 21f ? 因此 ? ? ? ?21 6 1 6 1 0 1 6 1 6 ln 2 9 1ff? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 3 2 1 1 2 1 3f e f? ? ? ? ? ? ? ? 所以在 ?fx的三个单调区间 ? ? ? ? ? ?1,1 , 1,3 , 3,? ?直线 yb? 有 ? ?y f x? 的图象各有一个交点，当且仅当 ? ? ? ?31f b f? ，因此， b 的取值范围为 ? ?3 2 ln 2 2 1,1 6 ln 2 9?。 - 6 - -温馨提示： - 【 精品教案、课件、试题、素材、教学计划 】 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： 【 163 文库】： 1， 上传优质课件 试题 教案 资料赚钱； 2， 便宜下载精品资料的好地方！
