1、 - 1 - 下学期高二数学 5 月月考试题 01 一、选择题：（ 本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分在每小题的 4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知 i 为虚数单位，复数 52z i? ? ，则复数 z 的共轭复数的虚部为 A. 1 B. i? C. 1? D. i 2. 如图是选修 1 2 第二章 “ 推理与证明 ” 的知识结构图 (部分 )，如果要加入知识点 “ 分析法 ” ，则应该放在图 A “” 处 B “” 处 C “” 处 D “” 处 3. 实数的乘法运算与向量的数量积运算类比，不成立的运算律是 A a b b a类比 ab b a? ? B a( b
2、 c) (a b) c类比 ( ) ( )a b c a b c? ? ? ? ? ? C a2 |a|2类比 22()a a a a? ? ? ? D acabcba )( ? 类比 ()a b c a b a c? ? ? ? ? ? ? ? ? 4. 若 ,ab为非零实数，且 ab? ，则下列命题成立的是 A 22ab? B 22ab ab? C2211ab ab?D baab? 5. 在复平面内， O是原点， OA? ， OB? ， AC? 表示的复数分别为 2 i， 3 2i， 1 5i，那么BC? 表示的复数为 A 2 8i B 2 3i C 4 4i D 4 4i 6. 在数列
3、?na 中， 114, ( )nna a f a?，且 ()fx满足下表，则 2013a = x 1 2 3 4 5 ()fx 5 4 2 1 3 合情推理 推 理 与 证明 推理 演绎推理 直接证明 证明 间接证明 第 2题图 - 2 - A 2 B 4 C 5 D 3 . 7. 用反证法证明某命题时，对结论 “ 自然数 ,abc中恰有一个偶数 ” 正确的反设为 A ,abc中至少有两个偶数或都是奇数 B ,abc都是奇数 C ,abc中至少有两个偶数 D ,abc都是偶数 8. 已知直角三角形的周长为定值 2l ，则它的面积的最大值为 A 222l B 232l C 2(3 2 2)l?
4、D 2(3 2 2)l? 9. 在复平面内，复数 2(1 3 )1 i ii ? 对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 10. 定义某种运算 S a b? ，运算原理如流程图所示，则式子11( 2 t a n ) ln lg 1 0 0 ( )43e? ? ? ?的值为 A 4 B 6 C 8 D 10 11. 若 ( ,1)x? ，则函数 2 4722xxy x? ? 有 A最大值 -3 B最大值 3 C最小值 3 D最小值 -3 12. 给出命题：若 a， b 是正常数，且 a b， x， y (0， )，则ybxa 22yxa 2)( b(当且仅当ybxa时等号成
5、立 )根据上面命题，可以得到函数 f(x)x2x219?(x ? 210 ，)的最小值及取最小值时的 x值分别为 A 11 6 2 ，132B 25，51C 11 6 2 ，51D 5，132. 二 ?填空题：（ 本大题共 4小题 ,每小题 5分 ,共 20分 将答案填在题中横线上 ） 13. 以模型 kxy ce? 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 lnzy? ，其变换后得到线性回归方程 0.3 4zx?，则 c = 14. 某工程由 A， B， C， D 四道工序组成，完成它们需用的时间依次为 2， 5， X， 4 天。四道工序的先后顺序及相互关系是： A， B可以同时开工； A完成
6、后， C可以开工； B， C完成后，D可以开工。若完成该工程共需 9天，完成工序 C需要的天数最 多 是 . 15. 若复数 i2 i22a a 的模为 3 ，则实数 a的值是 16. 椭圆的中心在坐标系原点， F 为左焦点， A 为右顶点， B 为上顶点，当 AB FB? 时，第 11 题 开 始?ab?结 束否 是 ab输 入 两 个 数 和( 1)ab?输 出( 1)ab?输 出- 3 - 其离心率为 512? ，此类椭圆称为 “ 黄金椭圆 ” ，类比 “ 黄金椭圆 ” 可推出 “ 黄金双曲线 ” 的离心率为 三、解答题：（ 本大题共 6小题 ,共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演
7、算步骤） 17.（本题满分 10 分）在调查某地区电视观众对某类体育节目收视情况时，将日均收看该体育节目时间不低于 40分钟的观众称 为 “ 体育迷 ” ， 随机对 100名观众进行调查，其中 “ 体育迷 ” 的男人有 15人， “ 体育迷 ” 的女人有 10人， “ 非体育迷 ” 的男人有 30 人， “ 非体育迷 ” 的女人有 45 人。 （ 1）根据以上数据建立 22 的列联表； （ 2）据此资料你是否有 95%把握认为 “ 体育迷 ” 与性别有关？ 参考公式： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b ck a b c d a c b d? ? ? ? ?参考数据： 2
8、0()Pk k? 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18.（本题满分 12 分）关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y（单位：万元） ，有如下统计资料 x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 由资料可知 y与 x 有 线性相关关系，试求： （ 1） 该线性回归方程； （ 2） 估计使用年限为 10年时，维修费用是多少万元？ 参考数据： 2 2 . 2 3 3 . 8 4 5 . 5 5 6 . 5 6 7 . 0 1 1
9、2 . 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 参考公式： 1221niiiniix y n x ybx nx? ?， a y bx? ? ? 19. （本题满分 12分）已知 ,abc是不全相等的正数，且 01x?， 求证： l o g l o g l o g l o g l o g l o g2 2 2x x x x x xa b b c a c abc? ? ? ? ? ? ?. 20.（本题满分 12分） 已知关于 x 的方程 1xbax?，其中 ,ab为实数 。 （ 1） 若 13xi? 是该方程的根，求 ,ab的值； . （ 2）当 14ba? 且 0a? 时，证明：该方程没有实
10、数根。 . 21（本题满分 12分） 选修 4-5：不等式选讲 - 4 - 已知 ( ) 2 3f x x x? ? ? （ 1）解不等式 ( ) 7fx? ； （ 2）若关于 x 的不等式 ( ) 2 3 0f x t? ? ?有解，求实数 t 的取值范围。 22.（本题满分 12分） 观察下列各等式 (i为虚数单位 )： (cos 1 isin 1)(cos 2 isin 2) cos 3 isin 3； (cos 3 isin 3)(cos 5 isin 5) cos 8 isin 8； (cos 4 isin 4)(cos 7 isin 7) cos 11 isin 11； (cos
11、6 isin 6)(cos 6 isin 6) cos 12 isin 12 记 f(x) cos x isin x (1)猜想出一 个用 ( ), ( ), ( )f x f y f x y?表示的反映一般规律的等式，并证明其正确性； (2)根据 (1)的结论推 出 f n(x)的表达式； (3)利用上述结论计算： 2007i21 2 3 125 s i n i 125 c o s 12s i n i 12 c o s ? 答案 一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C B C D C A D B C A B 二、填空题： 13. 14. 3 15. 16.
12、 三、解答题： 17.解： （ 1） 2 2列联表如下： 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 ? .5分 (2)假设是否晕机与性别无关，则 2k 的观测值 21 0 0 ( 3 0 1 0 4 5 1 5 ) 1 0 0 3 . 0 3 07 5 2 5 4 5 5 5 3 3k ? ? ? ? ? 所以 3.030 3.841? ，我们 没有 95%的把握认为“体育迷”与 性别有关 ? 10分 4e 10? 152?- 5 - 18. 解： (1) 5 5122512?iiiiixxyyyxxb?)( 5 112.3 5 4 590
13、5 42 12.310 1.23 xb?ya? 5 1.23 4 0.08 回归直线方程为 y? 1.23 x 0.08 ? 8分 (2)当 10x? 时， y? 1.23 10 0.08 12.38万元，即估计用 10年时，维修费约为 12.38万元 ?.? ? .12分 19要证明 l o g l o g l o g l o g l o g l o g2 2 2x x x x x xa b b c a c abc? ? ? ? ? ? ?只需证 l o g ( ) l o g ( )2 2 2xxa b b c a c abc? ? ? ?因为已知 01x? 所以只需证 2 2 2a b
14、b c a c abc? ? ? ? .6分 因为 0 , 0 , 02 2 2a b b c a ca b b c a c? ? ? ? ? ? ? 而 ,abc是不全相等的正数，将上述三式相乘，得 2 2 22 2 2a b b c a c a b c a b c? ? ? ? 即 2 2 2a b b c a c abc? ? ? ?成立 所以 l o g l o g l o g l o g l o g l o g2 2 2x x x x x xa b b c a c abc? ? ? ? ? ? ?成立 ? .12分 20.解： （ 1）将 13xi? 代入 1xbax?，化 简得 1
15、 3 3( ) ( ) 144b biaa? ? ? ? 所以1 143304bab a? ? ?所以 2ab? ?.? 6 分 （ 2）证明：原方程化为 2 0x ax ab? ? ? 假设原方程有实数解，那么 2( ) 4 0a ab? ? ? ? ?即 2 4a ab? 因为 0a? ，所以 14ba? ，这与题设 14ba? 矛盾 所以假设错误，原方程有实数根正确。 ? .12分 21.解：（ 1）原不等式可化为 32 ( 3) 7xxx? ? ? ?或 302 ( 3) 7xxx? ? ? ? ? ?或 02 ( 3) 7xxx? ? ? ?- 6 - 即 43x? ? ? 或 30
16、x? ? ? 或 0 10x? 所以原不等式解集为 ? ?4 10xx? ? ? ? 6分 （ 2）关于 x 的不等式 ( ) 2 3 0f x t? ? ?有解 ? 关于 x 的不等式 ( ) 2 3f x t? ? 有解， 即 min( ) 2 3f x t? ? ? 又 33( ) 2 3 3 3 3 030xxf x x x x xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当 3x? 时， ( ) 6fx? ；当 30x? ? ? 时， 3 ( ) 6fx? ? ? ；当 0x? 时， ( ) 3fx? 所以 ( ) 3fx? ，即 min( ) 3fx ? 所以 3 2 3t
17、? ? ? ， 即 2 3 3t?，则 3 2 3 3t? ? ? ? ，所以 03t? ? 12分 22. (1)f(x)f(y) f(x y) ? ? .2分 证明 ： f(x)f(y) (cos x isin x)(cos y isin y) (cos xcos y sin xsin y) (sin xcos y cos xsin y)i cos(x y) isin(x y) f(x y) ? 5分 (2) f(x)f(y) f(x y)， )()()()()( nxfxfxfxfxf n ? ?nxnx sinicos ? ?.? .8 分 (3) 2007i21 2 3 125 i s i n 125 c o s 12i s i n 12c o s ? 62007 i s i n 62007 c o s 2i s i n 2c o s ? i ? 2669 is in 2669 c o
