1、 - 1 - 下学期高二数学 5 月月考试题 02 满分 150分，时间 120分钟 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每题只有一个正确答案，请将答案涂在答题卡上） 1已知全集 U=R，集合 | l g 0 , | 2 1 , ( )x UA x x B x C A B? ? ? ? ?则= A ( ,1)? B (1, )? C ? ?,1? D ? ?1,? 2若函数 ()y f x? 的定义域是 ? 1,1，则函数 2(log )y f x? 的定义域是 A -1,1 B 1 ,22 C 2,4 D 1,4 3 已知 f(x)是奇函数，则 | ( )|fx
2、一定是偶函数； ( ) ( )f x f x?一定是偶函数； ( ) ( ) 0f x f x? ? ?； ( ) | ( ) | 0f x f x? ? ?，其中错误的个数有 A 0个 B 1个 C 2个 D 4个 4设 123lo g 2 , ln 2 , 5a b c? ? ?，则 A abc? B c a b? C c b a? D b c a? 5已知命题: ,sin 1pxR x? ?，则p?是 A. ,sin 1xR x? ? B. ,sin 1x x? ? C. ,sin 1x x? ? D. ,sin 1xR x? ? 6若函数 ( ) lnf x x x? 的图像在 x=1
3、处的切线为 l ，则 l 上的点到圆 22 4 2 4 0x y x y? ? ? ? ?上的点的最近距离是 A 22 B 21? C 2 2 1? D 1 7函数 )(xfy? 满足 ( 2) ( )f x f x? ? ? ，当 ? ?2,2x? 时， 1)( ?xxf ，则 ()fx在? ?0,2012 上零点的个数为 A 1005 B 1006 C 2011 D 2012 8已知直线 1l 与圆 2220x y y? ? ?相切 ， 且与直线 2:l 3 4 6 0xy? ? ? 平行 ， 则直线 1l 的方程是 A 3 4 1 0xy? ? ? B 3 4 1 0xy? ? ? 或
4、3 4 9 0xy? ? ? C 3 4 9 0xy? ? ? D 3 4 1 0xy? ? ? 或 3 4 9 0xy? ? ? - 2 - 9 F1、 F2分别是双 曲线 221xyab?的左、右焦点， A是其右顶点，过 F2作 x轴的垂线与双曲线的一个交点为 P， G是 12PFF? 的重心，若 12 0GA FF?，则双曲线的离心率是 A 2 B 2 C 3 D 3 10若函数 3( ) log ( )af x x ax? )1,0( ? aa 在区间21(?， 0)内单调递增，则 a 的取值范围是 A 43,1) B 41,1) C49(， )? D (1，49) 11在椭圆2214
5、3xy?内有一点(1, )P?， F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点 M，使2MP MF?的值最小，则此最小值为 A52B 3 C 72D 4 12已知函数 ()fx的定义域为 ? ?2,? ? ，部分对应值如下表， ()fx? 为 ()fx的导函数，函数 ( )y f x? 的图象如右图所示： x -2 0 4 f(x) 1 -1 1 若两正数 a， b满足 4( 2 ) 1, 4bf a b a ? ?则 的取值范围是 A 64( , )73 B 37( , )53 C 26( , )35 D 1( 1, )2? 二、 填空题 （本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，请将答案写在答题卷
6、相应位置） 13求定积分： 3 23 9 x dx? ? 14方程 22131xykk?表示双曲线的充要条件是 15函数 )1,0(lo g1)( ? aaxxf a 的图像恒过定点 A，若点 A在直线 02?nymx 上，其中 ,0?mn 则 nm 11? 的最小值为 16已知椭圆 )0(1:2222 ? babyaxC 的离心率为 23 ，过右焦点 F 且斜率为 )0( ?kk 的-2yxO- 3 - 直线与 C相交于 A、 B两 点， 若 ? kFBAF 则,3 三、解答题（ 本大题共 6小题，共 70分 应写出相应的解题过程，只写答案不给分） 17 （本题满分 10分） 已知命题 p：
7、“ 21,2, 0x x a? ? ? ? ”；命题 q：“ 2, 2 2 0x R x ax a? ? ? ? ? ?”若命题“ pq? ”是真命题，求实数 a的取值范围 18 （本题满分 12分） 已知函数 2ln(3 1)xy xm? ?的定义域为集合 A，集合 B= 2( 1) | 0xmx xm? ? () 当 m=3时，求 A B； () 求使 B? A的实数 m的取值范围 19（本题满分 12分） 已知双曲线221xyab?的离心率为 2，焦点到渐近线的距离等于 3，过右焦点 F2的直线 l交双曲线于 A、 B两点， F1为左焦点 ( )求双曲线的方程； ( )若 1FB?的面积
8、等于 62，求直线 l的方程 20（本小题满分 12分 ）已知函数 2( ) e ( )xf x x ax a? ? ?，其中 a 是常数 ( )当 1a? 时，求 ()fx在点 (1, (1)f 处的切线方程； ( )若存在实数 k ，使得关于 x 的方程 ()f x k? 在 0, )? 上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围 - 4 - 21（本小题满分 12分）在平面直角坐标系 xoy中 ， 设点 1( ,0)2F ， 直线 l : 12x? ， 点 P 在直线 l 上移动 ， R是线段 PF与 y轴的交点 ， RQ FP， PQ l ( )求动点 Q的轨迹的方程 C； ( )设圆
9、M过 A(1,0)， 且圆心 M 在曲 线 C上 ， 设圆 M过 A(1,0)， 且圆心 M在曲线 C上 ，TS是圆 M在 y 轴上截得的弦 ， 当 M运动时弦长 TS 是否为定值？请说明理由 22（本小题满分 12分）已知函数 2( ) , ( ) 2 ln (xf x g x a x ee?为自然对数的底数） ( )求 F(x)=f(x)? g(x)的单调区间，若 F(x)有最值，请求出最值； ( )是否存在正常数 a ，使 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出 a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由 - 5 - 参考答
10、案 一、选择题（本大题共 12小题，每 小题 5分，共 60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C A A C B D C A B D 二、 填空题（ 本大题共 4小题， 每 小 题 5分，共 20分） 13 92? ； 14 k3或 k31时， ? ?| 2 3 1A x x m? ? ? ? 要使 B? A， 必须221 3 1mmm? ? ? ?解得2 m 3 3若 m 31时， ? ?| 3 1 2A x m x? ? ? ?,要使 B? A,必须23112mmm? ?解得 11 2m? ? ? ，故 m 的范围 3,221,1 ? 19（本
11、题满分 12分） 已知双曲线221xyab?的离心 率为 2，焦点到渐近线的距离等于 3，- 6 - 过右焦点 F2的直线 l交双曲线于 A、 B两点， F1为左焦点 ( )求双曲线的方程； ( )若 1FB?的面积等于 62，求直线 l的方程 19 解 ：（）依题意，3, 2 1, 2cb a ca? ? ? ? ?，双曲线的方程为：22 1.3yx ?（ 4分） （）设 1 1 2 2( , ), ( , )AxyBxy， 2(20)F，直线: ( 2)lykx?， 由22( 2 )13y k xyx? ? ，消元得 2 2 2 2( 3) 4 4 30k x kxk? ? ?， 3k?时
12、，221 2 1 24 4 3,33kkx x xx ? ? ?， 1 2 1 2()y y k x? ?， 1FAB?的面积2 2 2 21 2 1 2 2(4 ) 4( 3)(4 3)22 3k k kS cy y k x x k k? ? ? ? ? ? ? ? ?2212 6 33kk k ? ? ?4 2 28 90 1 1k k k?， 所以直线 l的方程为( 2).yx?（ 12分） 20（本小题满分 12分）已知函数 2( ) e ( )xf x x ax a? ? ?，其中 a 是常数 ( )当 1a? 时，求 ()fx在点 (1, (1)f 处的切线方程； ( )若存在实数
13、 k ，使得关于 x 的方程 ()f x k? 在 0, )? 上有两个不相等的实数根 ，求k 的取值范围 20 解 ： ( )由 2( ) e ( )xf x x ax a? ? ?可得 2( ) e ( 2 ) xf x x a x? ? ? ? 2分 当 a=1时 ， f(1)=e , (1) 4ef ? ? 4分 曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线方程为 ? ?e 4e 1yx? ? ? ，即 4e 3eyx?；（ 5分） ( )令 2( ) e ( ( 2 ) ) 0xf x x a x? ? ? ?，解得 ( 2)xa? ? 或 0x? ? 6分 当 ( 2)
14、 0a? ? ? ，即 2a? 时，在区间 0, )? 上， ( ) 0fx? ，所 以 ()fx是 0, )? 上的增函数 所以 方程 ()f x k? 在 0, )? 上不可能有两个不相等的实数根 ? 8分 - 7 - 当 ( 2) 0a? ? ? ，即 2a? 时， ? ?( ),f x f x 随 x 的 变化情况如下表 x 0 (0, ( 2)a? ( 2)a? ( ( 2), )a? ? ? ()fx 0- 0 + ()fx a? 24eaa? 由上表可知函数 ()fx在 0, )? 上的最小值为24( ( 2) e aafa ? ? ?（ 10 分 ） 因为 函数 ()fx是 (
15、0, ( 2)a? 上的减函数，是 ( ( 2), )a? ? ? 上的增函数， 且当 xa? 时，有 ()fx e ( )a aa? ? ? . ? 11分 所以 ， 要使方程 ()f x k? 在 0, )? 上有两个不相等的实数根， k 的取值范围必须是 24( , eaa a? ? ? 12分 21（本小题满分 12分）在平面直角坐标系 xoy中 ， 设点 1( ,0)2F ， 直线 l : 12x? ， 点 P 在直线 l 上移动 ， R是线段 PF与 y轴的交点 ， RQ FP， PQ l ( )求动点 Q的轨迹的方程 C； ( )设圆 M过 A(1,0)， 且圆心 M 在曲 线
16、C上 ， 设圆 M过 A(1,0)， 且圆心 M在曲线 C上 ，TS是圆 M在 y 轴上截得的弦 ， 当 M运动时弦长 TS 是否为定值？请说明理由 21 解 ： ( ) 依题意知 ,直线 l 的方程为： 1x? ? 1分 点 R是线段 FP的中点 ， 且 RQ FP， RQ是线段 FP的垂直平分线 ? 2分 |PQ|是点 Q到直线 l 的距离 点 Q在线段 FP 的垂直平分线 ， PQ QF? ? 4分 故动点 Q的轨迹 E 是以 F为焦点 ， l 为准线的抛物线 ， 其方程为： 2 2 ( 0)y x x? ? 6分 ( ) CyxM ? ) , ( 00 ,M 到 y 轴的距离为 00
17、| xxd ? ? 7分 圆的半径 2020 )1(| yxMAr ? ? 8分 则 1222 02022 ? xydrTS , CyxM ?) , ( 00 ? 10分 由 ( )知 020 2xy ? ，所以 2122 020 ? xyTS ，是定值? ? 12分 22（本小题满分 12分）已知函数 2( ) , ( ) 2 ln (xf x g x a x ee?为自然对数的底数） - 8 - ( )求 F(x)=f(x)? g(x)的单调区间，若 F(x)有最值，请求出最值； ( )是否存在正常数 a ，使 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出 a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在 ，请说明理由 22 解 ： ( ) 32 2 2 ( )( ) ( ) ( ) ( 0 )x a x e aF x f x g x xe x e x? ? ? ? ? ? ? ? ? 1分 当 a? 0时， ( ) 0Fx? ? 恒成立 ， F(x)在 (0,+? )上是增函数， F(x)只有一个单调递增区间 (0,+? )，没有最值 ? 2分 当
