1、合肥市第七中学合肥市第七中学 黄夏宁黄夏宁泰勒斯泰勒斯毕达哥拉斯毕达哥拉斯柏拉图柏拉图亚里士多德亚里士多德亚历山大亚历山大欧几欧几里得里得苏格拉底苏格拉底阿基米德阿基米德古希腊数学发展011.泰勒斯泰勒斯Thales 公元前公元前624年年公元前公元前546年年西方朴素唯物主义始祖西方朴素唯物主义始祖理性数学之父理性数学之父提出了提出了“水是万物的本源水是万物的本源”开创演绎推理的先河开创演绎推理的先河2.毕达哥拉斯毕达哥拉斯Pythagoras 约公元前约公元前580年年-前前500年年 毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派基本信条：万物皆数基本信条：万物皆数3.柏拉图柏拉图Plato 约公元前约公
2、元前427年年-前前347年年 拉斐尔拉斐尔1510年年 雅典学院雅典学院 4.亚历山大大帝亚历山大大帝Alexander the Great 约公元前约公元前356年年-前前323年年 智慧之都：亚历山大城智慧之都：亚历山大城 EuclidEuclid 公元前公元前330330年年公元前公元前275275年年 5.欧几里得欧几里得欧几里得轶事欧几里得轶事1）不懂几何者不得入内不懂几何者不得入内 欧几里得出生于欧几里得出生于雅典雅典，当时雅典是古当时雅典是古希腊希腊文明文明的中心的中心.浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待
3、地想进入当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入柏拉图学园柏拉图学园学习学习.一天，一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫中的柏一天，一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫中的柏拉图学园拉图学园.只见学园的大门紧闭着，门口挂着一块木牌，只见学园的大门紧闭着，门口挂着一块木牌，上面写着上面写着：“不懂几何者，不得入内不懂几何者，不得入内!”这是当年柏拉图亲自立下的规矩这是当年柏拉图亲自立下的规矩，为的是让学生们，为的是让学生们知道他对数学的重视，然而却把前来求教的年轻人给闹知道他对数学的重视，然而却把前来求教的年轻人给闹糊涂了糊涂了.有人在想，正是因为我不懂数学，才要来这儿有人在想，正是因为我不懂数学，
4、才要来这儿求教的呀，如果懂了，还来这儿做什么求教的呀，如果懂了，还来这儿做什么?正在人们面面正在人们面面相觑，不知是进是退的时候，欧几里得从人群中走了出相觑，不知是进是退的时候，欧几里得从人群中走了出来，只见他整了整衣冠，看了看那块牌子，然后果断地来，只见他整了整衣冠，看了看那块牌子，然后果断地推开了学园大门，头也没有回地走了进去推开了学园大门，头也没有回地走了进去.2）几何学里没有王者之路）几何学里没有王者之路 在柏拉图学派晚期导师普罗克洛斯（约在柏拉图学派晚期导师普罗克洛斯（约410485）的）的几何学发展概要几何学发展概要中，记载着这样一则中，记载着这样一则故事，说的是数学在欧几里得的推
5、动下，逐渐成为故事，说的是数学在欧几里得的推动下，逐渐成为人们生活中的一个时髦话题，以至于当时亚里山大人们生活中的一个时髦话题，以至于当时亚里山大国王托勒密一世也想赶这一时髦国王托勒密一世也想赶这一时髦，学习学习几何学几何学.他他问欧几里问欧几里得：得：“学习几何学有没有什么捷径学习几何学有没有什么捷径可走？可走？”欧欧几里得笑道：几里得笑道：“抱歉，抱歉，陛下陛下！学习学习数学数学和学习一切科学一样，是没有什么捷径可走和学习一切科学一样，是没有什么捷径可走的的.学习学习数学，人人都得独立思考，就像种庄稼一样，不耕数学，人人都得独立思考，就像种庄稼一样，不耕耘是不会有收获的耘是不会有收获的.在
6、这一方面，国王和普通老百在这一方面，国王和普通老百姓是一样的姓是一样的.”从此从此“在几何学在几何学里里，没有没有专为国王铺设的专为国王铺设的大道大道”成为成为千古传诵的学习箴言千古传诵的学习箴言.当时数学学科发展特点当时数学学科发展特点1.人们已经积累了许多几何学的知识人们已经积累了许多几何学的知识；2.大多数是片断、零碎的知识大多数是片断、零碎的知识，缺乏，缺乏系统性；系统性；3.随着社会经济的繁荣和发展随着社会经济的繁荣和发展，把几何学知识加，把几何学知识加以条理化和系统化已经以条理化和系统化已经刻不容缓刻不容缓.公元前公元前624624年年 前前546546年年公元前公元前580580
7、年年 前前500500年年公元前公元前330330年年 前前275275年年公元前公元前427427年年 前前347347年年公元前公元前356356年年 前前323323年年原本简介02 欧几里得将公元前欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何学家世纪以来希腊几何学家积累起来的丰富成果整理、收集起来，并加以积累起来的丰富成果整理、收集起来，并加以系统化系统化.他从少数已他从少数已被经验反复验证被经验反复验证的公理出发，运用逻辑推理以及的公理出发，运用逻辑推理以及数学运算方法演绎出一系列定理数学运算方法演绎出一系列定理与推论，与推论，写成了十三卷在数学史写成了十三卷在数学史上的数学巨作原本，使几何上
8、的数学巨作原本，使几何学成为一门独立、演绎的科学学成为一门独立、演绎的科学.1.原本的诞生原本的诞生 含含5 5个公理、个公理、5 5个公设、个公设、119119个定义和个定义和465465个命题个命题第一卷第一卷 几何基础几何基础（2323个定义、个定义、5 5个公理、个公理、5 5个公设和个公设和4848个命题）个命题）第二卷第二卷 几何与代数几何与代数（1414个命题）个命题）第三卷第三卷 圆与角圆与角（3939个命题）个命题）第四卷第四卷 圆与正多边形圆与正多边形（1616个命题）个命题）第五卷第五卷 比例比例第六卷第六卷 相似相似第七卷第七卷 数论（一）数论（一）第八卷第八卷 数论（
9、二）数论（二）第九卷第九卷 数论（三）数论（三）（102102个命题）个命题）第十卷第十卷 无理量无理量（篇幅最长）（篇幅最长）第十一卷第十一卷 立体几何立体几何第十二卷第十二卷 立体的测量立体的测量第十三卷第十三卷 建正多面体建正多面体2.原本原本的主要内容的主要内容第47个定理就是直角三角形的勾股定理如完全平方如完全平方式和平方差式和平方差公式公式第一个就是求最大公第一个就是求最大公约数的方法（必修约数的方法（必修3 3）有关于直线和平面的定义定理，以及平行六面体的定义等等第14个定理就是证明三角形全等的边角边定理第15个证明等腰三角形两底角相等第12，13个命题就是现代的余弦定理等于同量
10、的量彼此相等等于同量的量彼此相等0101等量加等量，其和相等等量加等量，其和相等0202等量减等量，其差相等等量减等量，其差相等0303彼此能重合的物体是全等的彼此能重合的物体是全等的0404整体大于部分整体大于部分0505五条公理五条公理凡是直角都相等凡是直角都相等同平面内一条直线和另外两同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于的两个内角之和小于180180，则这两条直线经无限延长后则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交在这一侧一定相交有限直线可以无限地延长有限直线可以无限地延长过两点能作且只能作一直线过两点能作且只能作一直线以任一点为圆心
11、，任意长为半径，可作一圆以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆 几何原本在人类数学史中几何原本在人类数学史中第一次给出了公理第一次给出了公理化的数学体系，成为理性思维的象征化的数学体系，成为理性思维的象征.对整个数学发对整个数学发展产生了深远的影响展产生了深远的影响.3.原本的意义原本的意义 公理化方法作为一种理论形式公理化方法作为一种理论形式为人们普遍接受为人们普遍接受.人们普遍建立了人们普遍建立了这样的认识，所有的数学理论，这样的认识，所有的数学理论，都必须按照数学的都必须按照数学的定义、公理定义、公理与与三段论的逻辑论证来组织三段论的逻辑论证来组织.由于数学公理化方法表述的简捷性、条理性
12、、结构的合理性，其他学科纷纷效法，建立了自己的公理化体系.牛顿的牛顿的自自然哲学的数学原理然哲学的数学原理的的结构结构 定义定义1 1 物质的量是用它的密度和体积一起物质的量是用它的密度和体积一起来度量的来度量的。定义定义2 2 运动的量是用它的速度和质量一起运动的量是用它的速度和质量一起来度量的来度量的(动能动能)定义定义3 3 外加力是一种为了改变一个物体的静止外加力是一种为了改变一个物体的静止或匀速或匀速直线运动状直线运动状态而加于其上的作用力态而加于其上的作用力。牛顿第一定律：每牛顿第一定律：每个物个物体能保体能保持其静止或沿一直线持其静止或沿一直线作匀速作匀速运动的运动的状态，除非状
13、态，除非有外力有外力加于其上迫使它改变这种状态。加于其上迫使它改变这种状态。牛顿第二定律：运牛顿第二定律：运动的改变和所加的动力成正比，并且发生在所动的改变和所加的动力成正比，并且发生在所加的力的那个直线方向上。加的力的那个直线方向上。牛顿第三定律：每牛顿第三定律：每一个作用力总是有一个相等的一个作用力总是有一个相等的反向作反向作用和它相用和它相对抗对抗。牛顿的三大定律，就是他建立经典力学的公理化基础，也是他对物理学的一项伟大贡献。设设AB为已知的线段为已知的线段.要求：以线段要求：以线段AB为边建立一个等边三角形为边建立一个等边三角形.画法画法：以以A A为圆心、为圆心、ABAB为半径作圆为
14、半径作圆BCD(BCD(公设公设1.3);1.3);再以再以B B为圆心，以为圆心，以BABA为半径作圆为半径作圆ACE(ACE(公设公设1.3)1.3)；两圆相交与两圆相交与C C点，连接点，连接CACA、CB.CB.圆：由一条线包围着的平面图形，圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条直线上任何一点其内有一点与这条直线上任何一点所连成的线段都相等所连成的线段都相等.证明证明：因为因为A点是圆点是圆CDB的圆心，故的圆心，故AC等于等于AB（定义定义I.15）.又点又点B是圆是圆CAE的圆心，故的圆心，故BC等于等于BA（定义定义I.15），），因为等于同量的量彼此相等（公理因为等于同
15、量的量彼此相等（公理I.1）；）；所以所以CA等于等于CB.所以三条线段所以三条线段CA、AB、BC相等相等.所以三角形所以三角形ABC是建立在线段是建立在线段AB上的等边三角形上的等边三角形.证毕证毕 命题命题I.1 I.1 已知一条线段可作一个等边三角形已知一条线段可作一个等边三角形 以定点为圆心及定长的线段为半径可作圆以定点为圆心及定长的线段为半径可作圆.公 设 I.3定 义 I.1 5命 题 I.1公 理 I.14.原本原本命题举例命题举例尺规作图尺规作图 首先，希腊数学的基本精神是从不多的几个基本假定出发，首先，希腊数学的基本精神是从不多的几个基本假定出发，推导出一系列的定理推导出一
16、系列的定理.它要求基本假定越少越好，推出的命它要求基本假定越少越好，推出的命题越多越好题越多越好.因此，对于作图工具，自然也相应地限制到不因此，对于作图工具，自然也相应地限制到不能再少的程度能再少的程度.其次，其次，几何学除了有实用价值外，还有训练智力的巨大几何学除了有实用价值外，还有训练智力的巨大作用作用.几何能给人以直观印象，将逻辑推理体现在具体的图几何能给人以直观印象，将逻辑推理体现在具体的图形之中形之中.最后最后，以毕达哥拉斯学派为代表的希腊人认为，圆是最，以毕达哥拉斯学派为代表的希腊人认为，圆是最完美的平面图形，圆和直线是几何学最基本的研究对象，有完美的平面图形，圆和直线是几何学最基
17、本的研究对象，有了尺规，圆和直线已经能够作出，因此就规定只能用这两种了尺规，圆和直线已经能够作出，因此就规定只能用这两种工具了工具了.原本原本中的几何作图，规定只能用直尺和圆规中的几何作图，规定只能用直尺和圆规.尝试用尺规作图作出正三角形、正方形尝试用尺规作图作出正三角形、正方形.正五边形呢？正五边形呢？第五公设第五公设 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于的两个内角之和小于180180，则这两条直线经无限延长后在，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交这一侧一定相交.5.原本原本的局限的局限 理论体系并不是完美无
18、缺的理论体系并不是完美无缺的.有些不证自明的公理，却难以自明有些不证自明的公理，却难以自明.非欧几何的诞生03 平行公理不同平行公理不同 欧氏几何：过直线外一点有且只有一条直线与已知 直线平行.罗氏几何：过已知直线外一点至少可以引两条直线与 已知直线不相交.非欧几何对直线对直线、平面的、平面的认识不同认识不同 观察下观察下的直线、平面，即为事实上的直线、平面，即为事实上的的直线、平面直线、平面.观察下观察下的直线、平面，是事实上的直线、平面，是事实上的的曲线、曲面曲线、曲面.黎曼几何：在同一平面内任何两条直线都有公共点罗巴切夫斯基几何罗巴切夫斯基几何(双曲几何双曲几何)黎曼几何（椭圆几何）黎曼
19、几何（椭圆几何）数学以直观为基础数学以直观为基础的时代进入以理性的时代进入以理性为基础的时代的重为基础的时代的重要标志要标志引起了一些重要数引起了一些重要数学分支的产生学分支的产生使数学从传统的形而上使数学从传统的形而上学的束缚下解放出来学的束缚下解放出来为爱因斯坦发展广义为爱因斯坦发展广义相对论提供了思想基相对论提供了思想基础和有力工具础和有力工具非欧几何的意义非欧几何的意义你觉得欧几里得是一个什么样的人？你觉得欧几里得是一个什么样的人？A A沉迷学术沉迷学术B B善于思考善于思考C C敢做敢想敢做敢想伟大的数学家伟大的数学家“几何之父几何之父”作业作业1.细读欧几里得原本的若干定义、公理、公设和命题.2.简述原本在数学史上的意义.3.写一篇有关公理化方法的小论文.
