1、f(t)e dt F(s)e ds复习st+jj12jF(s)=f(t)=L 1dstF(s)=Ldf(t)=02 101 01sL(t)=Let sint(t)=(s)2+2Res L(t)=1Res Let(t)=1sts(s)2+2Res t1(s)2Res an tn!(s)n+1Res an(t)=s(n)L例：F(s)=2=1+=1+24s+5s +5s+6s2+9s+11s +5s+63 7s+2 s+3f(t)=(t)+(7e3t 3e2t)(t)2.)求F（s）分母多项式等于零的根，将F（s）分解成部分分式之和3.)求各部分分式的系数4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变
2、换。5-5 拉普拉斯反变换1.)将F(s)化成最简真分式部分分式展开法留数法F(s)=f(t)=Kiesit(t)一、部分分式展开法（Haviside展开法）N(s)D(s)bmsm+bm1sm1+.+b1s+b0ansn+an1sn1+.+a1s+a0Kis sini=1F(s)=1、mn,D(s)=0无重根假设D(s)=0的根为s1，s2，sn，则可以将F(s)表示为：ni=1Ki i s|=si=+L+(s s1)(s s1)(s s1)+L+K1p=(ss1)D(s)s=s(s s1)D()s=spk()1 d pk p N(s)(pk)!ds D(s)s=s12、mn,D(s)=0有
3、重根（假设s1为p重根），pD(s)=(ss1)(ssp+1)L(ssn)N(s)D(s)K1p K1(p1)K12p p1 2K11 Kp+1s s1 s sp+1Kns sn1p N(s)1K1(p1)=p N(s)sd ds K1k=ss1 =+L+(s s1)(s s1)(s s1)+L+1 K1k (s s1)1 N(s)D(s)Kqe q(t)2、m=n时，先通过长除，将其变为一个关于s的真分式和多项式的和：然后在用1、2方法求解。其中要用到：(1)F(s)=2s +2s+53s (s +4)用部分分式法求原信号f(t)1s +5s+612 2(3)2(2)s2s+4s(s+1)(
4、4)有 R lim F(s)e ds=0或 R lim F(s)e ds=0AS平面BCRjw2、约当辅助定理1）lim F(s)=0s 2）est中的实部满足Re(st)0，积分曲线为ABCBt=n时，不能用此方法求解！Re s k =(n 1)!ds(s s k)F(s)e s=s kn st n 1 1 d n 1S1=0（二重）S2,3=j213s2(s2+4)例:F(s)=1）部分分式分解法只能解决有理函数，而留数法不受有理函数的限制；2）留数法不能解决m=n的情况，部分分式分解法可以；3）留数法在数学上比部分分式分解法严密。部分分式分解法涉及的基础知识比留数法简单。4、留数法与部分
5、分式分解法比较：三、极零点与极零图1、H(s)的极点和零点极点：使H(s)等于无穷大的s平面上的点，即D(s)=0的根。N(s)D(s)H(s)=零点：使H(s)等于零的s平面上的点，即N(s)=0的根。j 在s平面上将H(s)的极点和零点全部标出后的图。2、H(s)的极零图j 关于实轴对称N(s)D(s)H(s)=j1sHi(s)=1s+aHi(s)=1saHi(s)=0Hi(s)=H(s)的极点决定了其原函数中各个子信号的基本模式。负实轴上的极点对应的时间函数如：e-t，t e-t，t2 e-t 0 0 0 =02 j s js+j =2 21 1 1=s +例2：Lsint(t)=L 1
6、(e jt e jt)(t)2jUs例1：LU(t)=5-6.拉普拉斯变换的基本性质kifi(t)k F(s)sF(s)f(0 )f ()d f()d+eF(s)i0线性微分积分时移ni=1df(t)dtt f(t t0)(t t0)ni=1F(s)s sst0s0tf(t)eF(ss0)频移拉氏变换的基本性质（1）a a lim+f(t)=f(0 )=limsF(s)拉氏变换的基本性质（2）尺度变换f(at)1 s F +t0 slim f(t)=f()=limsF(s)t s0卷积定理f1(t)*f2(t)F1(s).F2(s)f1(t).f2(t)F1(s)*F2(s)12j初值定理终值
7、定理求Le (2t 1)1L(2t 1)=e sLe (2t 1)=例3：3t(2t 1)=(2(t 12)1sL(t)=12 s21sL(2t)=e12(s+3)3t1s+3121s=sF(s)f(0 )e dt=e df(t)dt0 0 f(t)(s)e dtf(t)+s0 f(t)e dt=f(0 )+sF(s)一、微分性质1.时域导数性质df(t)dtL00df(t)st st=ef(t)stst设：L f(t)=F(s)=uv vduudv=e st0st例1：L(t)=L (t)=sd f(t)dt =ssF(s)f(0 )f (0 )d f(t)dt=s F(s)s f(0 )L
8、 f(0 )22L 22 dt2nnLn n1 n1df(t)dtddt=11s()=(2)例2：Lt (t)=(1)()ds s=(n+1)ds s+例1：Lt(t)=d 1 1ds s sn n d n 1nn!s(d 1)=1(s+)2 =t例3：Lte2.频域导数性质dF(s)dsLt f(t)=设：L f(t)=F(s)L f()d=F(s)L =sF(s)f(0 )证：令L f()d=?(s)F(s)=s?(s)f()d t=00Lf()d=Lf()d+L f()dL1 1f()d=f()d+F(s)s s二.积分性质t01st0f()dddtL f(t)=Ltt0F(s)s?(s
9、)=设：L f(t)=F(s)t0df(t)dtt0t0 f(t,a)L =f(t,a)da=F(s,a)ds复频域微分与积分dF(s)dsLt f(t)=f(t)s对参变量微分与积分Lf(t,a)=F(s,a)aF(s,a)aa2a1a2a1Lf(t)(t)ttf(t-t0)(t-t0)t0tf(t)(t-t0)t0三.平移性质设：L f(t)=F(s)1.时域平移(延迟定理)F(s)st0L f(t t0)(t t0)=e例1：有始周期函数的拉氏变换.tf(t)1T/2 T设f1(t)为第一个周期函数L f1(t)=F 1(s)F 1(s)sT11e则：L f(t)=证：f(t)=f1(t
10、)+f1(t T)(t T)+f1(t 2T)(t 2T)+sT 2sTsT2sT3sT=F 1(s)1+e+e+e+F 1(s)sT=11eF1(s)=(e1e s s)=()s1 1 1 sT/2sTF(s)=)T2f 1(t)=(t)(t T1 1e 2s sF 1(s)sTL f(t)=11e1 1s 1+esT/2.tf(t)1T/2 T1eF(s)=2 2TTf(t)例2：f(t)=t(t)(t T)(t T)T(t T)es s s思考：这个信号的收敛域？f(t)=t(t)(t T)sTs sLt(t)=2s+(s+)+Lcost=2 22.频域平移性质Letf(t)=F(s+)
11、例2：Let cost(t)=2 21(s+)2(t)=t例1：Lte1sss +=sF(s)f(0 )=df(t)st0 dt e dt=e dt+dt dte dt =f(t)|0 +dte dt=f(0 )f(0 )+df(t)stsF(s)=f(0 )+df(t)st+t0 s初值定理：如果f(t)和 f(t)的导数也存在，并有拉普拉斯变换，则：证明：Ldf(t)dt0+0df(t)st df(t)0st 0+df(t)0ste dte dtdtdt00求f(0 )=lim+2s+3)s(sF(s)=2=1 2但 limsF(s)=lim 2+1s s初值定理：如果f(t)和 f(t)
12、的导数也存在，并有拉普拉斯变换，则：+t0 s+3s2+4s+5s(s2+2s+3)例1：已知F(s)=3s2+4s+52=3s2s +11s +1f(t)=(t)-sint(t)f(0+)=0s3s初值定理：如果f(t)和 f(t)的导数也存在，并有拉普拉斯变换，则：这时可以先通过长除将F(s)变成一个真分式Fp(s)与一个关于s的多项式之和，然后将初值定理表示为：+t0 s+t0 s如果f(t)中含有冲激函数（或其导数）或lim F(s)不存在，就不能用上式直接求初值。s dlim 0 dtf(t)e dt=limsF(s)f(0 )f(t)lime dt =f(ft()f(0 )=lim
13、sF(s)f(0 )stst s0s0ddt0 s0 0 s0lim f(t)存在时t证：利用导数性质limsF(s)=lim f(t)=f()s0 t则：终值定理：如果f(t)和f(t)的导数存在，f(t)的LT也存在，且F(s)的极点位于s平面的左半平面，在s=0上至多存在单极点，lim 0 sF(s)=1 a=0limsF(s)=lim f(t)=f()s0 tF(s)的极点位于s平面的左半平面，在s=0上至多存在单极点例：f(t)=eat(t)f()=0a0F(s)=1sa limsF(s)=0 a 0卷积定理f1(t)*f2(t)F1(s).F2(s)f1(t).f 2(t)F1(s
14、)*F2 (s)12j时域卷积定理复频域卷积定理 f1 2(t)de dt()fstt00 t0 0 0 0 0 0=F 1(s)F2(s)f1(t)*f2(t)LTf1(t)*f2(t)F1(s).F2(s)1 1 (s+)(s+)Let(t)=Lf1 t)=F 1(s)(t)=Lf2(t)=F2(s)1()=et ()t 1(s+)(s+)例：F(s)=F(s)=1 求原函数f(t)(et et)(t)1 f(t)=(et et)(t)1 1s+Le t1s+tt0e t=e (t)e t (t)积分(t)(t)t(t)tn(t)11S1S2 n!Sn+1小结：-t1S+-t nn!(S+)n+1sint(t)cost(t)esint(t)-ts2+2ss2+2(s+)2+2ecost(t)ts+(s+)2+2(s1)e(s+1)+4e cos(t1)(t2)2(1)(2)3st练习1
